数 学
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 共55分)
一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
2－i3
1.复数＝( )
1－2·iA.－i B.i
C.22－i D.－22＋i
2.函数y＝2x2－2(x≤－1)的反函数是( )
1212
A.y＝－x＋1(x≥0) B.y＝x＋1(x≥0)
221212
C.y＝－x＋1(x≥2) D.y＝x＋1(x≥2) 22
3.若函数f(x)＝excosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
π
A.0 B.锐角 C. D.钝角
2
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为( )
A.
2663 B. C. D. 6346
ππ1
5.曲线y＝2sin(x＋)cos(x－)和直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为
442
P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于( )
A.π B.2π C.3π D.4π
6.已知α、β是平面，m、n是直线，则下列命题不正确的是( ) ．．．
A.若m∥n，m⊥α，则n⊥α B.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C.若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β D.若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
a＋3
7.设函数f(x)是定义在R上的以5为周期的奇函数，若f(2)>1，f(2 008)＝，则a的
a－3
取值范围是( )
A.(－∞，0) B.(0,3)
C.(0，＋∞) D.(－∞，0)∪(3，＋∞)
y
8.设f(x)＝x2－6x＋5，若实数x，y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则的最大值是( )
x
A.9－45 B.1 C.3 D.5
22xy
9.已知点A，F分别是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的右顶点和左焦点，点B为椭圆短轴的一个
ab端点，若BF·BA＝0，则椭圆的离心率e为( )
5－13－1
B. 2252C. D. 22
10.在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择了3个点，刚好构成直角三角形的概率是( )
1111A. B. C. D. 5432
11.已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b>0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2,3,4}，则整数对(a，b)的个数为( )
A.20 B.30 C.42 D.56
第Ⅱ卷(非选择题 共95分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
2
12.(x3－)4的展开式中的常数项等于 .
x
13.已知|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设
A.
m
OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则等于 .
n
14.编辑一个运算程序：1].
1
15.已知函数f(x)＝()x－log2x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足
3
f(a)f(b)f(c)<0，若实数d是方程f(x)＝0的一个解，那么下列四个判断：
①d 设函数f(x)＝2cosx(cosx＋3sinx)－1，x∈R. (Ⅰ)求f(x)最小正周期T； (Ⅱ)求f(x)单调递增区间. 17.(本小题满分13分) 某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作.规定：至少正确完成其中2题的便可通过.已知6道备 2 选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都为，且每3 题正确完成与否互不影响. (Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算其数学期望； (Ⅱ)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力. 18.(本小题满分14分) 如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D是侧棱CC1 的中点，直线AD与侧面BB1C1C所成的角为45°. (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长； (Ⅱ)求二面角A－BD－C的大小； (Ⅲ)求点C到平面ABD的距离. 19.(本小题满分14分) 1 已知数列{an}中，an＝2－(n≥2，n∈N＋)， an－1 31 (Ⅰ)若a1＝，数列{bn}满足bn＝(n∈N＋)，求证数列{bn}是等差数列； 5an－13 (Ⅱ)若a1＝，求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由； 5 (Ⅲ)若1 1 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y＝x2的焦点， 4 25 离心率等于. 5 (Ⅰ)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，求证：λ1＋λ2为定值. 21.(本小题满分14分) 3 已知函数f(x)＝ln(2＋3x)－x2. 2 (Ⅰ)求f(x)在[0,1]上的极值； 11 (Ⅱ)若对任意x∈[，]，不等式|a－lnx|－ln[f ′(x)＋3x]>0成立，求实数a的取值范围； 63 (Ⅲ)若关于x的方程f(x)＝－2x＋b在[0,1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围. 安徽省淮南市高三第一次模拟考试 32－i2＋i(2＋i)(1＋2i)3i 1.B 【解析】据题意得：z＝＝＝＝＝i，故选B. 331－2i1－2iy＋2 2.A 【解析】由已知当x≤－1时，y＝2x－2≥0，且y＝2x－2⇒x＝，由于x≤ 2 2y＋2 －1，故x＝－，因此反函数为： 22x＋2 y＝－(x≥0). 2 3.D 【解析】本题考查导数几何意义的应用；据题意得： f ′(x)＝(excosx)′＝excosx－exsinx，设切线倾斜角为θ，则 tanθ＝f ′(1)＝ecos1－esin1＝e(cos1－sin1)<0，故倾斜角为钝角. 4.C 【解析】据题意设BC＝a，则易得：CC1＝CD＝3a，连接AB1，则∠AB1C即为两异面直线所成的角，由AB1＝6a，AC＝2a， (6a)2＋(2a)2－(2a)26B1C＝2a，据余弦定理得：cos∠AB1C＝＝， 42×6a×2a 故选C. 5.A 【解析】本题考查已知三角函数值求角及三角函数的图象与性质；由已知得： ππππ f(x)＝2sin(＋x)cos(x－)＝2cos(－x)cos(x－) 4444 π 1＋cos2(－x) π4 ＝2cos2(－x)＝2×＝1＋sin2x， 42 2π 由三角函数的图象与性质可得：|P2P4|＝＝π. 2 6.D 【解析】本题考查平行与垂直关系的推理与空间想象能力；D项若直线m在平面β内，则由线面平行的性质定理可推出m∥n，但条件中没有给出，故命题错误. 7.B 【解析】据题意由周期性及奇偶性可得： f(2 008)＝f(3)＝f(－2)＝－f(2)，故由已知得： a＋3 ＝f(－2)＝－f(2)<－1，解不等式得：0 2 2 2 2 2 y 可行域，易知()≤kAO＝5. x bb 9.A 【解析】据已知得：A(a,0)，B(0，b)，F(－c,0)，故BF·BA＝0⇔kBF·kBA＝×c－a5－1 ＝－1，整理得：b2＝ac，即a2－c2＝ac，两边同除以a2得：1－e2＝e，解得：e＝. 2 10.C 【解析】据题意圆上的10个等分点对应圆的5条直径，从5条直径中选1条直 1C11115C8径和另外的8个点可构成直角三角形，共有C5C8个直角三角形，故其概率为：3＝. C103 ba 11.B 【解析】据题意A∩B＝{x| baba 若{x| rr12－4r3 12.－32 【解析】由通项：Tr＋1＝C4(－2)x，令12－4r＝0得常数项为：T3＋1＝C4(－3 2)＝－32. 13.3 【解析】易错点诊断：对已知条件OC＝mOA＋nOB，系数m，n的意义理解易出错. (法一)：如图由平面向量的分解定理可知|OE|＝m|OA|＝m，|OF|＝n|OB|＝3n(易误|OF|3n 将m，n分别作为OE和OF的长度)，在直角三角形OEC中由已知条件得tan30°＝＝ |OE|m m ⇒＝3. n (法二)：转化为坐标运算：|OA|＝1，|OB|＝3，OA·OB＝0，点C在AB上，且33∠AOC＝30°.设A点坐标为(1,0)，B点的坐标为(0， 3)，C点的坐标为(x，y)＝(，)，OC 44 31m ＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＝，n＝，＝3. 44n 14.－2 004 【解析】注意类比数列知识解答此类问题； 据已知得：m*(n＋1)－m*n＝2， 令m＝1得：1]⇒x＝－2 004. 1 15.①②③ 【解析】由于f(x)＝()x－log2x为减函数，且数列a，b，c公差大于0，故 3 f(a)f(b)f(c)<0时有如下可能性： f(a) 或f(a)<0＝f(d) 16.解：f(x)＝cos2x＋23sinxcosx＝3sin2x＋cos2x π ＝2sin(2x＋) (6分) 62π (Ⅰ)T＝＝π. (9分) 2 πππ (Ⅱ)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，得： 262 ππ kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)， 36 ππ f(x)单调递增区间是[kπ－，kπ＋] (k∈Z) (12分) 36 17.解：(Ⅰ)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为ξ、η， 则ξ取值分别为1,2,3；η取值分别为0,1,2,3. (2分) 21C11C234C24C2P(ξ＝1)＝3＝，P(ξ＝2)＝3＝， C65C6530 CC1 P(ξ＝3)＝432＝. C65 ∴考生甲正确完成题数的概率分布列为 ξ 1 2 3 131 P 555 (4分) 131 Eξ＝1×＋2×＋3×＝2. (5分) 555 231 ∵P(η＝0)＝C03(1－)＝， 3272128 同理：P(η＝1)＝，P(η＝2)＝，P(η＝3)＝. 272727 ∴考生乙正确完成题数的概率分布列为： η 0 1 2 3 16128P 27272727 (8分) 16128 Eη＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. (9分) 27272727 1312 (Ⅱ)∵Dξ＝(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2×＝， 555516128 Dη＝(2－0)2×＋(2－1)2×＋(2－2)2×＋(2－3)2× 27272727 2＝. 3 212 (或Dη＝npq＝3××＝).∴Dξ ∵P(ξ≥2)＝＋＝0.8，P(η≥2)＝＋≈0.74， 552727 ∴P(ξ≥2)>P(η≥2). 从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从做对题数的方差考察，甲较稳定；从至少完成2题的概率考察，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. (13分) 说明：只根据数学期望与方差得出结论，也给4分. 18.解：(Ⅰ)设正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为x.取BC中点E，连AE. ∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC. 又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC. ∴AE⊥侧面BB1C1C. 连ED，则直线AD与侧面BB1C1C所成的角为∠ADE＝45°. AE3在Rt△AED中，tan45°＝＝，解得x＝22. EDx21＋ 4 ∴此正三棱柱的侧棱长为22. (5分) 注：也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法1：过E作EF⊥BD于F，连AF， ∵AE⊥侧面BB1C1C，∴AF⊥BD. ∴∠AFE为二面角A－BD－C的平面角. 在Rt△BEF中，EF＝BEsin∠EBF，又 CD233BE＝1，sin∠EBF＝＝＝，∴EF＝. BD322＋(2)23又AE＝3， AE ∴在Rt△AEF中，tan∠AFE＝＝3. EF 故二面角A－BD－C的大小为arctan3. (10分) 解法2：(向量法，见后) (Ⅲ)解法1：由(Ⅱ)可知，BD⊥平面AEF，∴平面AEF⊥平面ABD，且交线为AF，∴过E作EG⊥AF于G，则EG⊥平面ABD. 33×AE×EF330 在Rt△AEF中，EG＝＝＝. AF10322 (3)＋()3 230 ∵E为BC中点，∴点C到平面ABD的距离为2EG＝. (14分) 10 解法2：(思路)取AB中点H，连CH和DH，由CA＝CB，DA＝DB，易得平面ABD⊥平面CHD，且交线为DH.过点C作CI⊥DH于I，则CI的长为点C到平面ABD的距离. 解法3：(思路)等体积变换：由VC－ABD＝VA－BCD可求. 解法4：(向量法，见后) 题(Ⅱ)，(Ⅲ)的向量解法： (Ⅱ)解法2：如图，建立空间直角坐标系O－xyz. 则A(0,0， 3)，B(0，－1,0)，C(0,1,0)，D(－2，1,0). 设n1＝(x，y，z)为平面ABD的法向量. n1·AB＝0，由 得 y＝－3z n2·AD＝0 . 2x－y＋3z＝0 取n1＝(－6，－3，1). 又平面BCD的一个法向量n2＝(0,0,1). ∴cos〈nn1·n2(－6，－3，1)·(0，0，1)101，n2〉＝|n＝＝. 1||n2|1×(－6)2＋(－3)2＋1210结合图形可知，二面角A－BD－C的大小为arccos 1010 . (10分) (Ⅲ)解法4：由(Ⅱ)解法2，n1＝(－6，－3，1)，CA＝(0，－1，∴点C到平面ABD的距离 d＝|CA·n1||n＝(0，－1， 3)·(－6，－3，1)1|(－6)2＋(－3)2＋1 2 ＝23010 . (14分) 19.解：(Ⅰ)b11an－11 n＝a－1＝2－1＝a，而bn－1＝ nn－1－1an－1－1 a－1 n－1 ∴ban－11 n－bn－1＝a－＝1.(n∈N＋) n－1－1an－1－1 ∴{bb15 n}是首项为1＝a1＝－2，公差为1的等差数列. (5分) 1－(Ⅱ)依题意有a15 n－1＝b，而bn＝－＋(n－1)·1＝n－3.5， n2 ∴a11 n－1＝n－3.5. 对于函数y＝x－3.5 ， 在x>3.5时，y>0，且在(3.5，＋∞)上为减函数. 故当n＝4时，a＋1 n＝1n－3.5 取最大值a4＝3. 而函数y＝1 x－3.5 在x<3.5时，y<0，且在(－∞，3.5)上也为减函数. 故当n＝3时，a＋1 n＝1n－3.5 取最小值a3＝－1. (9分) (Ⅲ)先用数学归纳法证明1 x 2>0， 故1＝f(1) 下证：an＋1 an＋1－an＝2－(an＋)<2－2an·＝0⇒an＋1 所以，1 20.解：(Ⅰ)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)， ab 则由题意知b＝1. a2－b225125∴＝.即1－2＝.∴a2＝5. 2a5a5 2x2 ∴椭圆C的方程为＋y＝1. (5分) 5 (Ⅱ)方法一：设A、B、M点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0). 易知F点的坐标为(2,0). ∵MA＝λ1AF，∴(x1，y1－y0)＝λ1(2－x1，－y1). ∴x1＝ 2λ1y ，y1＝0. (8分) 1＋λ11＋λ1 12λy 将A点坐标代入到椭圆方程中，得(1)2＋(0)2＝1. 51＋λ11＋λ1 22 去分母整理得λ1＋10λ1＋5－5y0＝0. (10分) 2 同理，由MB＝λ2BF可得：λ22＋10λ2＋5－5y0＝0. ∴λ1，λ2是方程x2＋10x＋5－5y20＝0的两个根， ∴λ1＋λ2＝－10. (12分) 方法二：设A、B、M点的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0).又易知F点的坐标为(2,0). 显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y＝k(x－2). 将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得 (1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. (7分) 20k2－520k2 ∴x1＋x2＝，xx＝. (8分) 1＋5k2121＋5k2又∵MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，将各点坐标代入得 x1x ，λ2＝2. 2－x12－x2 2(x1＋x2)－2x1x2xx ∴λ1＋λ2＝1＋2＝＝…＝－10. (12分) 2－x12－x24－2(x1＋x2)＋x1x2 －3(x＋1)(3x－1)3 21.解：(Ⅰ)f ′(x)＝－3x＝， 2＋3x3x＋21 令f ′(x)＝0得x＝或x＝－1 (舍去) 31 ∴当0≤x<时， f ′(x)>0， f(x)单调递增； 31 当 11 ∴函数f(x)在[0,1]上有极大值f()＝ln3－ 36 (Ⅱ)由|a－lnx|－ln[f ′(x)＋3x]>0得 33 a 2＋3x2＋3x 2x＋3x23 设h(x)＝lnx－ln＝ln， 2＋3x3λ1＝ g(x)＝lnx＋ln 33x ＝ln， 2＋3x2＋3x 11 依题意知a 63 2＋3x3(2＋3x)－3x·32 ∵g′(x)＝·＝>0， 23x(2＋3x)x(2＋3x) 2＋6x31 h′(x)＝>0， 2·(2＋6x)＝2x＋3x32x＋3x211 ∴g(x)与h(x)都在[，]上单增，要使不等式①成立， 6311 当且仅当a 6351 即a 363 32 (Ⅲ)由f(x)＝－2x＋b⇒ln(2＋3x)－x＋2x－b＝0. 2 32 令φ(x)＝ln(2＋3x)－x＋2x－b， 2 7－9x23 则φ′(x)＝－3x＋2＝， 2＋3x2＋3x77当x∈[0，]时，φ′(x)>0，于是φ(x)在[0，]上递增； 3377当x∈[，1]时，φ′(x)<0，于是φ(x)在[，1]上递减. 3377而φ()>φ(0)，φ()>φ(1)， 33 ∴f(x)＝－2x＋b即φ(x)＝0在[0,1]恰有两个不同实根等价于 φ(0)＝ln2－b≤0 7727φ()＝ln(2＋7)－＋－b>0363 －b≤0φ(1)＝ln5＋12 47－71 所以，ln5＋≤b 综评：试题有一定难度，具有较高的区分度，可用在二轮复习检测使用.试题突出了对分析问题解决问题能力的考查，选择和填空题10,11,13,14,15题命题都很有新意，解答题题量不少，每个题均有二至三小问，对考生的运算速度是一个不小的考验，如何在解题中做到既快又准确，是考生在复习到一定阶段后应该要有意识去解决的一个首要问题. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容