概率论与数理统计公式整理(超全版)

2011-1-1

第六章 样本及抽样分布

（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称 个体 样本  （x1,x2,,xn） 为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（x1,x2,,xn）为一个统计量。 1

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常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 2 1nxxi. ni11n2S(xx). in1i1 样本标准差 1n2S(xx). in1i1 样本k阶原点矩 1nkMkxi,k1,2,. ni1样本k阶中心矩 1n(xix)k,k2,3,. Mkni1E(X)，D(X)2n， E(S2)2，E(S*2)2n12, n1n2其中S*(XiX)，为二阶中心矩。 ni1（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 2ut分布 defx/n~N(0,1). 2设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 tdefxs/n~t(n1), 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。 1

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2分布 设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,)的一个样本，则样本函数 2w2def(n1)S22~2(n1), 2其中(n1)表示自由度为n-1的分布。 F分布 2设x1,x2,,xn为来自正态总体N(,1)的一个样本，而2y1,y2,,yn为来自正态总体N(,2)的一个样本，则样本函数 F其中 defS12/12S/2222~F(n11,n21), 1n1S(xix)2, n11i1211n2S(yiy)2; n21i122F(n11,n21)表示第一自由度为n11，第二自由度为n21的F分布。 （3）正态总体下分布的性质 X与S2独立。 第七章 参数估计

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（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数1,2,,m，则其分布函数可以表成F(x;1,2,,m).它的k阶原点矩vkE(Xk)(k1,2,,m)中也包含了未知参数1,2,,m，即vkvk(1,2,,m)。又设x1,x2,,xn为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为 1nkxi (k1,2,,m). ni1这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有 1nv1(1,2,,m)nxi,i11n2v2(1,2,,m)xi,ni1 nv(,,,)1xim.m12mni1由上面的m个方程中，解出的m个未知参数(1,2,,m)即为参数（1,2,,m）的矩估计量。 ˆ)为g()的矩估计。 若为的矩估计，g(x)为连续函数，则g(1

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极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为f(x;1,2,,m)，其中1,2,,m为未知参数。又设x1,x2,,xn为总体的一个样本，称 L(1,2,,m)f(xi;1,2,,m) i1n为样本的似然函数，简记为Ln. 当总体X为离型随机变量时，设其分布律为P{Xx}p(x;1,2,,m)，则称 L(x1,x2,,xn;1,2,,m)p(xi;1,2,,m) i1n为样本的似然函数。 若似然函数L(x1,x2,,xn;1,2,,m)在1,,,m处取2到最大值，则称1,,,m分别为1,2,,m的最大似然估计值，2相应的统计量称为最大似然估计量。 lnLni 0,i1,2,,m iiˆ)为g()的极大若为的极大似然估计，g(x)为单调函数，则g(似然估计。 （2）估计量的评选标准 无偏性 设(x1,x2,,xn)为未知参数的估计量。若E （）=，则称 为的无偏估计量。 E（X）=E（X）， E（S）=D（X） 2有效性 设11(x1,x,2,,xn)和22(x1,x,2,,xn)是未知参数的两个无偏估计量。若D(1)D(2)，则称1比2有效。 1

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一致性 设n是的一串估计量，如果对于任意的正数，都有 nlimP(|n|)0, 则称n为的一致估计量（或相合估计量）。 ˆ)0(n),则为的一致估计。 若为的无偏估计，且D(只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。 （3）区置信区间估计 间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数。如果我们从样本x1,x,2,,xn出发，找出两个统计量11(x1,x,2,,xn)与22(x1,x,2,,xn)(12)，使得区间[1,2]以1(01)的概率包含这个待估参数，即 P{12}1, 那么称区间[1,2]为的置信区间，1为该区间的置信度（或置信水平）。 单正总体期望方差区间计 态的和的估2设x1,x,2,,xn为总体X~N(,)的一个样本，在置信度为1下，我们来确定和的置信区间[1,2]。具体步骤如下： （i）选择样本函数； （ii）由置信度1，查表找分位数； （iii）导出置信区间[1,2]。 21

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已知方差，估计均值 （i）选择样本函数 ux0/n~N(0,1). (ii) 查表找分位数 xP1. 0/n（iii）导出置信区间 00x,x nn未知方差，估计均值 （i）选择样本函数 t xS/n~t(n1). (ii)查表找分位数 xP1. S/n（iii）导出置信区间 SSx,x nn方差的区间估计 （i）选择样本函数 w(n1)S22~2(n1). （ii）查表找分位数 (n1)S2P21. 21（iii）导出的置信区间 n1n1S,S 21第八章 假设检验

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基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。 为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。 这里所说的小概率事件就是事件{KR}，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。 基本步骤 假设检验的基本步骤如下： (i) 提出零假设H0； (ii) 选择统计量K； (iii) 对于检验水平α查表找分位数λ； (iv) 由样本值x1,x2,,xn计算统计量之值K； 将K与进行比较，作出判断：当|K|(或K)时否定H0，否则认为H0相容。 两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{否定H0|H0为真}=； 此处的α恰好为检验水平。 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记为犯此类错误的概率，即 P{接受H0|H1为真}=。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时，变小，则变大；相反地，变小，则变大。取定要想使变小，则必须增加样本容量。 在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

第二类错误 1

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单正态总体均值和方差的假设检验

条件 零假设 统计量 对应样本 函数分布 否定域 H0:0 已知 2|u|uUx0 12 H0:0 H0:0 H0:0 0/nN（0，1） uu1 uu1 |t|tTx0S/n 12(n1) 未知 2H0:0 H0:0 t(n1) tt1(n1) tt1(n1) 2w(n1)或H0:22 未知 22wH0:220 (n1)S202w 212(n1) 2(n1) w12(n1) 2w(n1) 2H0:20

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