光杠杆法测钢丝 弹性模量
二零一一年十一月
目录
一、摘要 ................................................. 3 二、实验原理 ............................................. 3 三、实验仪器 ............................................. 5 四、实验步骤 ............................................. 5 五、数据记录与处理 ....................................... 6 六、 实验讨论 ............................................ 8 七、总结 ................................................ 12
一、摘要
物体在外力的作用下， 或多或少都要发生形变。 当形变不超过某个限度时， 外力撤销后 形变会随之消失，
这种形变称为“弹性形变” 。发生弹性形变时，物体部会产生恢复原状的
应力。弹性模量就是描述材料变形与应力关系的重要特征量。 是工程技术中常用的一个参数。
在实验室施加的外力使材料产生的变形相当微小， 难以用肉眼观察，同时过大的载荷又会使
得材料发生塑形变形，所以要通过将微小变形放大的方法来测量。 本实验通过光杠杆将外力
产生的微小位移放大，从而测量出氏弹性模量，具有较高的可操作性。
、实验原理
一条各向同性的金属丝，原长为
L,截面积为S,在外力F作用下，伸长L。忽略
金属棒本身重力，则棒中任一截面上，部恢复力必与外力相等。在弹性限度，定义:
L
应变
£
L
应力（T
弹性模量E与外力F、物体长度L以及截面积的大小 S均无关，只取决定于棒的材料
性质，是表征材料力学性能的一个物理量。
若金属棒为圆柱形，直径为 D，在金属棒下悬一重物产生拉力 F。则:
根据上式，测出等号右边各项，就可算出金属弹性模量，式中的
F、L、D可用一般方
法测得。测量难点是，在线弹性限度，
光杠杆法进行。
一个直立的平面镜装在倾角二次架上，与标尺、望远镜和二次反射镜组成光杆杆测量 系统。如图所示:
F=mg不可能很大，相应的不可能很大，只能用采用
AZ
实验时，将光杠杆两个前足尖放在弹性模量测定仪的固定平台上，后足尖放在待测金
属丝的测量端面上。当金属丝受力后，产生微小伸长，后足尖便随着测量端面一起作微小移 动，并使得光杠杆绕前
足尖转动一个微小角度， 从而带动光杠杆反射镜转动相应的微小角度，
这样标尺的像在光杠杆反射镜和二次反射镜之间反射， 便把这一微小角位移放大成较大的线 位移。这
就是光杠杆法放大的基本原理。
设开始时反射镜与标尺在同一平面， 在望远镜中读到的标尺读数为
ro，反射镜后足下降
后读到的标尺读数为ri，则放大后的钢丝伸长量为 C r - ro，由图有:
2 tan 2
C /2 H
C 4H
L b ? tan
联立得到:
b ，式中b为光杠杆前后足距离，称为光杠杆常数。 bC 4H
4FL
代入E —4^ ，即可得:
n D L
2
16FLH D2bC
三、实验仪器
弹性模量测定仪（包括：细钢丝、光杠杆、望远镜、标尺和拉力测量装置） ；钢卷尺、 游标卡尺和螺旋测微
器。
四、实验步骤
（1）调整测量系统
1、目测调整
首先调整望远镜， 使其与光杠杆等高， 然后左右平移望远镜与二次反射镜， 直到凭目测 从望远镜上方观察到
光杠杆反射镜中出现二次平面镜的像， 再适当转动二次平面镜直到出现 标尺的像。
2、调焦找尺
首先调节望远镜目镜旋轮，使“十”字叉丝清晰成像（目镜调焦） ；然后调节二次望远 镜物镜焦距，直到标尺
像和“十”字叉丝无视差。
3、细调光路水平
观察望远镜水平叉丝所对应的标尺读数和光杠杆在标尺上的实际位置读数是否一致， 若 明显不同， 则说明入射
光线与反射光线未沿水平面传播， 可以适当二次平面镜的俯仰， 直到 望远镜读出的数恰好为其实际位置为止。 二次
过程中还应该兼顾标尺像上下清晰度一致， 若 清晰度不同，则可以适当二次望远镜俯仰螺钉。
（2）测量数据
1、首先预加 10kg 的拉力，将钢丝拉直， 然后逐次改变钢丝拉力， 测量望远镜水平叉丝对应 的读数。
2、根据量程及相对不确定度大小，用钢卷尺测量 L和H，游标卡尺测量 b。千分尺在钢丝
的不同位置测量多组 D取平均值。
(3) 数据处理
用逐差法处理数据， 并估算不确定度。其中L、H、b只测量一次，由于实验条件的限制,
其不确定度不能简单地由量具仪器规定的误差限决定。
。、测量钢丝长度 L时，由于钢丝上下端装有紧固夹头，米尺很难测准，故误差限应该取 0.3 cm；
2
、测量镜尺间距 H时，难以保证米尺水平，不弯曲和两端对准，若该距离为 1.0~1.5m,
则误差限应该取 0.5cm；
3
、用卡尺测量光杠杆前后足距
b时，不能完全保证是垂直距离，该误差限可定为
0.02cm。
五、数据记录与处理
(1)计算钢丝弹性模量 钢丝长度L=38.52cm，平面镜到标尺的距离 H=90. 45cm，光杠杆前后足间距 b=8.50 ±
cm
i x /mm 1 0.798 2 0.798 3 0.799 4 0.800 5 0.798 0. 798 0. 798 0. 799 0. 800 0. 798 5
钢丝直径D测量结果
mm 0.798mm
加力后标尺的读数r
- 5
D
i 1
Di i m / kg 1 10.0 2 12.0 3 14.0 4 16.0 5 18.0 6 20.0 7 22.0 8 24.0 r /cm 2. 78 3.18 3.55 3.90 4.32 4.64 5.05 5.44
r- / cm 2.80 3.20 3.60 3.90 4.30 4.65 5.10 5.40 r r r ----------- / cm 2.790 3.190 3.575 3.900 4.310 4.645 5.075 5.420 2 用逐差法求标尺读数改变量
i Ci (ri 5 - ri) / cm 4
1 1.520 2 1.455 3 1.500 4 1.520 C 1.499 Ci
i 1
1.520 1.455 1.500 4
1.520 cm
1.499cm
16mgLH
~—2
D bC
16 8 9.8012 0.3852 0.9045
3774__(0. 798__10-3)2__0. 0850__1.499__1Q71
1.714 1011Pa
（2）计算钢丝弹性模量的不确定度 L、H、b只测量一次，只有 b=0.02cm，故:
B 类不确定度，估计其误差限为△
L=0.3cm ,△ H=0.5cm ,△
0.3 ——cm ■- 3
u
0.173cm
b 0.02
u』b) — —:—cm
.3 . 3
D的不确定度:
5
_
（H
）
0.5 ——cm ■- 3
0.289cm
0.0115cm
(Di - D)2
u a(D)
i 1
5 (5 1)
0.
000663cm
u
—D 0f 5mm 0.00289cm b(D)
..Ua®)
2
2 u
Ub (D)
,0. 000663 0. 0002892 mm 0. 00296mm
( D)
C的不确定度:
I 5
((Ci - C)2
i 1
0. 0071cm
Ua(C
)
\\ 5 (5 1)
C 0.05
Ub(C) —j=^
73
cm 0.0289cm
u (C)
.U2
2
a (C)
U2b (C)
,0. 0372 0. 02892cm 0. 0296cm
厂 16mgLH
E
一 2 —
In E In L In H 2InD In b In C In16
In m In g In
D bC
两边同时求微分，得到:
dE dL dH 2dD db dC
E L H
D b C
将上式中d改为u,并取平方和的根:
u(E) [K
L)]2 [u(H)]2 [2u( D)]2 小b)/
[u(C)]2 E
L ]
[
H ]
[
D ]
[
b ]
[
C ]
(0.173)2 ( 0.289)2 ( 000296)2 4 (0. 0115)2 ( 0. 0296)2
J 39.52\" (90.45) ( 0.798 ” (
8.50 ) ( 1.499 )
0. 0225
故: u(E) E ?
1. 714 1011
0. 0225Pa 0. 039 1011Pa
最终结果为：E
u(E)
(1.72 0. 04) 1011Pa
六、实验讨论
（一）误差分析
通过试验，我们知道，仪器的调节对实验的影响是非常大的。
仪器调节的规与否直接关系到实验的精度，所以仪器的调节显得尤为重要， 为了研究仪器调节对实验结果的影响， 们选择了其中的一个方面作为研究对象： 反射面与支架三足点不垂直， 例如，反射面与支架
三足点倾斜角为5°，会对实验结果照成怎样的影响?
我
下面是我们将支架三足点角度调为
5度时的实验数据分析，从中我们可以得出这一改变
对实验结果的影响：
钢丝长度L=38.52cm，平面镜到标尺的距离 H=90. 45cm，光杠杆前后足间距 b=8.50 ± 0.02cm
钢丝直径D测量结果
i x /mm
1 0.798 2 0.798 3 0.799 4 0.800 5 0.798 0. 798 0. 798 0. 799 0. 800 0. 798
----------------------------------------------------------- mm 0.798mm
5
加力后标尺的读数r
i m / kg r /cm r一 / cm r 1 10.0 2.81 2.80 2.805 2 12.0 3.20 3.22 3.21 3 14.0 3.59 3.58 4 16.0 5 18.0 6 20.0 4.68 4.69 7 22.0 5.09 5.12 8 24.0 5.47 5.50 3. 94 4. 36 3.95 4.36 4.36 r r 2 / cm 3.585 3.945 4.685 5.105 5.485 用逐差法求标尺读数改变量C
i Ci (ri 5 - ri) / cm 1 1.555 2 1.475 3 1.520 4 1.540 C 1.523
4
C
ii 1
Ci
1.555
1. 475
4
1. 520
1. 540
4
, 523cm cm 1.
匚 16mgLH
E
16 8 9.8012 0. 3852 0. 9045
0. 0850 1.523
—2 —
D bC
3. 14 (0.798 10-3)2
Pa 1.688 1011Pa
10 2
（二）计算钢丝弹性模量的不确定度
L、H、b只测量一次，只有 b=0.02cm，故:
B类不确定度，估计其误差限为△ L=0.3cm ,△ H=0.5cm ,△
L 0.3 疔 TJcm
0.5 ——cm 3
0.173cm
u
（H
0.289cm
b 0.02
u』b) 石 PTcm
0.0115cm
D的不确定度:
u a(D)
i1
5
(Di - D)2 5 (5 1)
0.
000663cm
u b(D)
2
D 0.005
mm 0.00289cm
3 3
u（D） ua(D)
2
ub(D)
、0.
0006632
0. 000289 mm 0. 00296mm
2
C的不确定度:
5
u a(C)
-
.5
i 1
(G - C)2
(5 1)
0.05
0.
0173cm
u
b(
C)
cm 0.0289cm
u (C) ua2(C) ub2(c) .0.01732 0.02892cm 0.03368cm
E 16｛少巴 D bC
in E in L In H 21 nD In b In C In 16 In m Ing In
两边同时求微分，得到：
dE T
dL dH 2dD db T \"H
dC ~b
~C
武
将上式中d改为u,并取平方和的根：
u(E)
[U(L)]2
[
[MH)”
]
[
[ 2u( D)]2
] [
[db)”
[
「(C)”
]
[
L H D ]
b C
]
“ 0. 173、2 0. 289 2 ■( ) ( ) .39. 5 90. 45 0. 0240
0。00296 ( )
0. 798
0. 0115 2 4 ( )
8. 50
0. 03368 2 ( )
.523 1
故：u( E)
E ? u(E)
E E u(E)
1.688 1011
024 Pa 0. 040 1011Pa 0.
最终结果表示为：
(1. 69
0. 04) 1011Pa
通过以上数据分析，我们可以得知:
两次实验相对误差:
E1 E2
从上面数据分析可以看出，如果反射面与支架三足点不垂直，有一个
百
100%
1.72 1.69 1. 72
100% 17.44%
倾斜角5°，则相
比准确条垂直的试验条件，会有
17.44%的实验误差，因此，得出结论，实验仪器的调节对
实验结果的影响是很大的。做实验时，我们需要对实验仪器进行准确的调节。
（三）实验后收获和感想：
通过做这个研究性试验，我们懂得了仪器调节的重要性。下面是我们经过实验总结出的 一些实验仪器快速准确的调节方法:
首先使望远镜与光杠杆反射镜等高 , 然后把望远镜光轴调节到和光杠杆镜面法线大致 水平, 将眼睛从望远镜外沿着准星方向观测反射镜中是否有标尺的像 , 若没有 , 可以把望远 镜镜筒上下转动去寻找标尺的像 , 当标尺的像出
现在反射镜中 ,微调光杠杆镜面 , 使人眼能 看到标尺零刻度线位置。当望远镜低于光杠杆水平轴线时 , 可以微微向上转动望远镜的镜 筒。当望远镜镜筒高于光杠杆水平轴线时 , 可以微微向下转动望远镜的镜筒。
七、总结
本实验通过光杠杆的放大作用， 测出了在载荷作用下钢丝的微小变形， 从而测量出了钢 丝的氏弹性模量。
光杠杆的放大作用同时也启发我们， 放大微小位移时可以通过光学仪器或 者光学规律将微小位移转化成或放大成可
测量的较大位移。 由此我们可以将这个思想推广到 任何微小位移的测量上去， 故而本实验具有重大的启发意义。
实验中我通过仔细琢磨原理和 小心操作仪器， 顺利地解决了一些故障和意外， 但是仍然存在测量精度不足的问题，
故而仍 需要再接再厉。
原始数据附录
b=8.50 ± 0.02cm
L=38.52cm H=90.45cm
钢丝直径D i D 1 0.798 2 0. 798 3 0.799 4 0.800 5 0.798 i M/kg 1 10 2.78 2.80 2 12 3.18 3.20 3 14 3.55 3.60 4 16 3.90 3.90 5 18 4.32 4.30 6 20 4.64 4.65 7 22 5.05 5.10 8 24 5.44 5.40 r /cm r- / cm
原始数据（改变反射面与支架角度 5°）附录二:
b=8.50 ± 0.02cm
L=38.52cm H=90.45cm
钢丝直径D i D 1 0.798 2 0. 798 3 0.799 4 0.800 5 0.798 i M/kg 1 10 2.81 2.80 2 12 3.20 3.22 3 14 3.59 3.58 4 16 3.94 3.95 5 18 4.36 4.36 6 20 4.68 4.69 7 22 5.09 5.12 8 24 5.47 5.50 r /cm r- / cm
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