大学概率论与数理统计复习资料全

第一章 随机事件及其概率

知识点：概率的性质 事件运算 古典概率

事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式

常用公式

(1)P(A)r/nP(Ai)P(Ai)i1i1nn )L(A)/L(S)P(A(2)P(AB)P(A)P(B)P(AB)(加法定理)(设A1,A2An两两互斥,有限可加性)P(Ai)1[1P(Ai)]i1i1nn(A1,A2,An相互独立时)(3)P(B/A)P(AB)/P(A)(4)P(AB)P(A)P(B/A)P(B)P(A/B)P(AB)P(A)P(B)P(AB)0(A与B独立时)(A,B互不相容时)(当BA时)(5)P(AB)P(AB)P(A)P(AB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)n(6)P(B)P(Ai)P(B/Ai)(全概率公式)i1(其中A1,A2An为的一个划分,且P(Ai0))

(7)P(Ai/B)P(Ai)P(B/Ai)P(A)P(B/A)iii1n(逆概率公式). 学习帮手 .

.. . . ..

应用举例 1、已知事件（ ）。

2、已知事件A,B相互独立，P(A)k,P(B)0.2,P(AB)0.6，则

k（ ）。

A,B满足P(AB)P(AB)，且P(A)0.6，则P(B)3、已知事件（ ）。

A,B互不相容，

P(A)0.3,P(B)0.5,则P(AB)4、若P(A)0.3, P(B)0.4,P(AB)0.5,P(BAB)（ ）。

5、A,B,C是三个随机事件，CB，事件AUCB与A的关系是（ ）。

6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 7、某人下午5:00下班。他所积累的资料表明：

到家时间 乘地铁 乘汽车

5:30~5:40 5:40~5:50 5:50~6:00 6:00以后 0.3 0.2

0.4 0.3

0.2 0.4

0.1 0.1

某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率；

（2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设A1={他是乘地铁回家的}，A2={他是乘汽车回家

的}，Bi={第i段时间到家的}，i1,2,3,4分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有

. 学习帮手 .

.. . . ..

P(B2)P(A1)P(B2|A1)P(A2)P(B2|A2)

由上表可知P(B2|A1)0.4，P(B2|A2)0.3，P(A1)P(A2)0.5

P(B2)0.50.40.30.50.35

（2）由贝叶斯公式

P(A1|B2)P(A1B2)0.50.44 P(B2)0.3578、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。

看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16

第二章 随机变量及其分布

知识点：连续型（离散型）随机变量分布的性质

连续型（离散型）随机变量分布（包括随机变量函数的分布） 常用分布

1.分布函数的性质

（1）F(x)单调递增，即x1x2F(x1)F(x2)重要内容

（2）F()limF(x)0xF()limF(x)1x（3）F(x)右连续，即F(x0)F(x)(4)0F（x）1xR

2．分布律的性质

. 学习帮手 .

.. . . ..

（1）非负性 （2）规范性

0pi1,(i1,2...)pii13.分布密度函数的性质

（ 1 ）非负性

f ( x) 0（xR）

（2）规范性

f(x)dx14. 概率计算

P(Xa)F(a) P(x1Xx2)P(Xx

2)P(Xx1)P(Xa)F(a)F( a0)X为连续型随机变量：

P(Xa)F(a)F (a0)0a

P(Xa)f(x)dx



P(aX)f(x)dx

ax2P(x

1Xx2)x)dxxf(1 5. 常用分布

二项分布:

P{|. X   |  1   }  2  (1 )  1  68 . 27 % 学习帮手 P{|X|2}2(2)195.45%P{|X|3}2(3)199.73%.  .. . . ..

记为X~B（n,p）或X~b(n,p)P(Xk)Cpq泊松分布knknk,(k0,1,...n)X~()或X~P（）P(Xk)kk!e,(k0,1,...;0)nk泊松定理Cp(1p)

knkkk!e,(np)

条件：ｎ较大且ｐ很小均匀分布X~U (a,b) 1,axbf(x)ba

 0，其他

指数分布X~E( )ex,x0,( 0)f(x) 0，其他

正态分布f(x)1X~N(, )e(x)2222

2,x(,)(1)(0)0.5. 学习帮手 .

.. . . ..

(2)(x)1(x)

xF(x)

P{|X|1}68.27% P{|X|2}95 .45%P{|X|3}99 .73

应用举例 1、设

f(x)ke2x(x0)是某随机变量的密度函数，则

k（ ）。

2、设随机变量X的概率密度为f(x)1cosx,2P(1X0)＝（ ）。

(x)，则

220,3、设随机变量X的分布函数为F(x)lnx,1,P(X2)=（ ）。

x1,1xe, 则 xe.4、设X~N(,2),满足P(X1)P(X1)的参数（ ）。

5、离散型随机变量X的分布律为P(Xk)11(k1,2,3)，则c=

ck!（ ）。

6、土地粮食亩产量（单位：kg）X~N(360,602).按亩产量高

低将土地分成等级.若亩产量高于420kg为一级，在

. 学习帮手 .

.. . . ..

360~420kg间为二级，在315~360kg间为三等，低于315kg

为四级.求等级

Y的概率分布。

((0)0.5,(1)0.8413,(0.75)0.7734) 解

1420X2360X420Y

3315X3604X3157、110在长度为t的时间(单位：h)间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为1t的泊松分布,而与时间间隔的起点无关.

2求某一天中午12时至下午3时至少收到1次呼救的概率。 解

te()k2X的分布律为P(Xk)k!t2(k0,1,2,)

中午12时到下午3时，表明t3 求P(X1)

8、一批产品由8件正品、2件次品组成。若随机地从中每次抽取一件产品后，无论抽出的是正品还是次品总用一件正品放回去，直到取到正品为止，求抽取次数X的分布律。 解

看作业习题2: 4，7, 17，20，24，26, 27，28

. 学习帮手 .

X所有可能的取值为1,2,3

Ai={第i次取到正品}（i1,2,3）

.. . . ..

第三章 多维随机变量及其分布

知识点：二维连续型（离散型）随机变量分布的性质 二维连续型（离散型）随机变量的分布（包括边际分布） 随机变量的独立性 二维常用分布 内容提要 1.概率分布的性质

离散型非负性pij0,i,j1,2,归一性pi1j1ij1. 学习帮手 .

.. . . ..

连续型归一性2.二维概率计算

f(x,y)dxdy1P{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG3.边际密度函数计算

4.常用分布

均匀分布

二维正态分布

fX(x)f(x,y)dy;fY(y)f(x,y)dx1f（x，y）A0（x，y）D其他2122(X,Y)~N(1,2,,,)X~N(1,),Y~N(2,)F(x,y)FX(x)FY(y)pijpipj(i,j1,2,)21225.随机变量的独立性

f(x,y)fX(x)fY(y). 学习帮手 .

.. . . ..

6.正态分布的可加性

应用举例

1、设X,Y的密度函数（ ）。

2、设离散型随机变量

(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

P1/61/91/181/3设i~N(i,)(i1,2Ln)且1,2,Ln相互独立,则2i12Ln~N(i,)2ii1i1nnkex2y,x0,y0fx,y0,其他则

k=

(X,Y)的联合分布律为

且X,Y相互独立，则（ ）。

3、某箱中有100件产品，其中一、二、三等品分别为70、20、10件，现从中随机的抽取一件，记Xi0其它，1抽到i等品i1,2,3求（1）X1和X2的联合分布律；（2）并求P(X1X2)。

. 学习帮手 .

.. . . ..

4、设随机变量(X,Y)在曲线yx，yx围成的区域D里服从

均匀分布，求联合概率密度和边缘概率密度。 5、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

2122xyxy1 求P(YX) f(x,y)4其它06、设随机变量X1,X2,X3相互独立，并且均服从正态分布

Xi~N(i,),i1,2,3，则X(aiXibi)~（ ）。

2i3i1

看作业习题3： 1,2,3,4,5,6,7,9,10，11,12,13,18

第四章 随机变量的数字特征

知识点：随机变量的数学期望的性质与计算

随机变量的方差（协方差、相关系数）的性质与计算 主要内容

1、数学期望的计算

. 学习帮手 .

.. . . ..

（1）已知X的分布,求E(X).E(X)离散型xpiiiE(X)连续型xf(x)dx（2）已知X的分布,且Yg(X),求E(Y).E(Y)离散型g(x)piiiE(Y)连续型g(x)f(x)dx（3）已知(X,Y)的联合分布，且Zg(X,Y),求E(Z).E(Z)离散型g(x,y)pijij离散型ijE(Z)连续型g(x,y)f(x,y)dxdyR2连续型（4）已知(X,Y)的联合分布,求E(X)或E(Y).方法1:E(X)

xpiijjijE(X)E(Y)连续型 xf(x,y)dxdyR2E(Y)离散型yjipijyf(x,y)dxdyR2 方法2:先求出边际分布,则E(X) (Y)E

离散型xpiijji.E(X)E(Y)连续型xfX(x)dx离散型2、性质

yp.j连续型yfY(y)dyE(X1X2Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)当随机变量相互独立时

. 学习帮手 .

.. . . ..

E(XY)E(X)E(Y);E(X1X2LXn)E(X1)E(X2)LE(Xn).3、方差的计算

4,、方差性质

即D(X)E(XEX)22易证D(X)E(X)[E(X)](1)D(c)02(2)D(aXb)aD(X)2特别地,D(aX)aD(X)2 (XY)D(X)D(Y)2E{[XE(X)][YE(Y)]}(3)D特别地,当X与Y独立时,D(XY)D(X)D(Y)

推广 :当X1,X2LXn相互独立时,有5、协方差与相关系数 协方差的计算

D(Xi)DXii1i1nnCov(X,Y)E[XE(X)][YE(Y)]COV(X,Y)EXYEXEY

COV(X,Y)XYDXDY

COV(X,Y)DXDY相关系数的计算XY

应用举例

1. 某农产品的需求量X(单位：吨)服从区间[1200,3000]上的

. 学习帮手 .

.. . . ..

均匀分布。若售出这种农产品1吨，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大平均利润？

解 设每年准备该种产品k吨（12002kYｇ(X)2X(kX)Xk（此时无库存）Xk　（此时有库存）E(Y)E[g(X)]

2.设随机变量

X和

Y

的方差存在且不等于０，则（ ）。

D(XY)D(X)D(Y)是X和Y

A、不相关的充分条件，但不是必要条件 B、独立的充分条件

C、不相关的充分必要条件 D、独立的充分必要条件

3.已知D(X)4,D(Y)2，X与Y相互独立，则D(aXbYc)=

（ ）。

4.设随机变量X与Y相互独立，且X与Y有相同的概率分布，数学期望与方差均存在，记2XY，X3Y，求 解：因为X与Y相互独立，则E(XY)EXEY

X与Y有相同的概率分布，则EXEY,DXDY

Cov(,)DDEEEDD

E()E(2XY)(X3Y）

22 =E(2X5XY-3EY)

. 学习帮手 .

.. . . .. 22 =2EX25EXEY3EY2=EX5(EX)

看作业习题4

第五章 大数定律和中心极限定理

知识点：切比雪夫不等式 大数定律和中心极限定理 内容提要

1. 切比雪夫不等式

P{|XEX|}DX2P{|XEX|}1DX22. 独立同分布的中心极限定理

设X1,X2X100独立同分布，且Xi~U[0,2]，

1则 EXi1,DXi

3100X~N(100,) （近似）中心极限定

则（1） i3i1理

100i1100X（2）标准化后

i-100~N(0,1)

1003. 学习帮手 .

.. . . ..

Xi1100i-100的分布函数是(x)，

1003即

P(i1X100i-100x)(x)

1003(3)P(aXib)P(i1100

a1001003Xi110i1001003b100)1003b100a100()()10010033100

(4)P(Xi100)1i1D(Xi)i12100100132

（切比雪夫不等式）

1X(5)同理1001Xi~N(1,) （近似） 300i11001100标准化后

Xi1100i-1~N(0,1)

1300. 学习帮手 .

.. . . ..

11001D(X)i11001100i1300P(Xi12)2 2100i12275（切比雪夫不等式）

3． 定理2

设随机变量Xn~B(n,p),(n1,2L),则对任意xR,有XnnplimP{x}(x)nnp(1p)第六章 数理统计的基本概念

知识点：抽样分布 内容提要

1、 基本概念 样本 统计量（常用统计量） 2、 抽样分布定理 （1）

设Xi~N(0,1)(i1,2Ln),且相互独立,称2XXXXi2~（n）221222ni1n22若X~N(0,1),则X~(1) 特别地：

（2） 设X~N(0,1),Y~2(n),且X与Y相互独立,则称 XT~t(n) T2~F(1,n)

Y/n （3）

设X1~2(n1),Y~2(n2),且X与Y相互独立,则称. 学习帮手 .

.. . . ..

X1/n11F~F(n1,n2) ~F(n2,n1) Y/n2F （4）

设X1,X2,Xn是从正态总体N(,)中抽取的一个2简单随机样本,则对样本均值X及样本方差S,有:212X~N(,)

nX~N(0,1) /n

定理3 设X1,X2LXn1是来自N(1,2),2Y,YLY是来自N(,)的两个独立样本,n22 1222X,Y分别表示样本均值,S,S12表示样本方差.

X~t(n1) s/n(n1)S22~(n1) 2 则统计量

(XY)(12)(n11)S(n21)S11()n1n22n1n22122~t(n1n22). 学习帮手 .

.. . . ..

S21S2~F(n11,n21)2

1.设总体

X,Y相互独立，且都服从

N(0,32). 学习帮手

而

.

， .. . . ..

(X1,X2,,X9)和（Y1,Y2,,Y9）分别来自X和Y的样本，问：

（1）X1X2X9服从什么分布？ (2)若C(Y221Y2Y29)服从2分布，C?

解： X2i~N(0,3)i1,29

X1X2X9~N(0,92) Y2i~N(0,3)i1,29

Yi3~N(0,1)i1,29

9则(Yi)2~2(9)i13 c=1/9

. 学习帮手 .

.. . . ..

第七章 参数估计

知识点：点估计 区间估计 估计量的评价标准 主要内容 1、 矩法

矩估计法的具体步骤:

(1)求出

vXrrE()vr(1,2,Lk)r1,2,Lk(2)A1nrrnXir1,2,L,ki1(3)令vrAr这是一个包含k个未知参数1,2,L,k的方程组.(4)解出其中1,2,L,k用,ˆ1,ˆ2,L,ˆk表示.(5)用方程组的解ˆ1,ˆ2,L,ˆ k分别作为1,2,L. 的估计量 , 这个估计量称为矩估计量 学习帮手 . .

k, .. . . ..

2、 极大似然估计法

(1)构造似然函数: LL(1,2Lk)f(xi,1,2Lk) i1n (2)得似然方程(组):L(1,2Lk)0或

i（3）解方程组求出估计量 3、估计量的评价标准 无偏性

^lnL(1,2Lk)0i(i1,2Lk)若E()则为的无偏估计

^X是总体均值EX的无偏估计，即EXEXS2是总体方差2的无偏估计,即ES224、区间估计

单正态总体均值的置信区间 P132(79),

. 学习帮手 .

(711)

.. . . ..

应用举例 1．

P1417

X 1 2 3 2. 设总体X的概率分布为

p 2(1) 2 122

其中1(0)2是未知参数，利用总体X的如下样本值：

x11，x23，x33，x42，x51。求的矩估计值和极大似

然估计值。

解 E(X)343

2

x1ˆ2  6L()P(X11,X23X33,X42,X51,)

. 学习帮手 .

.. . . ..

=44(1)6

3.

P1414

，

第八章 假设检验

知识点：假设检验 主要内容

1

、假设检验的基本步骤 （1）. 提出检验假设H0(称为原假设)和备择假设;

. 学习帮手 .

.. . . ..

（2）. 寻找检验统计量g(X1,…,Xn), 并在H0为真的情况下确定其分布(或极限分布);

（3）. 给定显著水平α(0<α<1), 确定拒绝域W; （4）. 由样本值x1,…,xn计算出统计量g(X1,…,Xn)的值; （5）作判断: 若g(x1,…,xn)落在拒绝域W内, 则拒绝H0 ; 否则接受H0 (相容).

2、范围

单侧与双侧检验

总体均值P1478.2.1总体方差P1508.2.2

. 学习帮手 .