冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论解析

冲激信号δ(t)的三种定义与相关性

质的简单讨论

信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224

有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.

冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：

定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：

1(t)limtt （1-1）

0221τ冲击信号的波形就如1-1(b)所示.

δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在

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箭头旁边注上E。

也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有

(t)limSa(kt) （1-2）

kk对式（1-2）作如下说明：

 Sa(t)是抽样信号，表达式为

Sa(t)其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t随t的增大而减小，sint是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；

sint （1-3） t并且是一个偶函数，当t=±,±2, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其

零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。t0时，Sa(t)1，并且有：

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因其是偶函数有

0Sa(t)dt2

Sa(t)dt （1-4）

由式（1-4）知

Sa(kt)d(kt) （1-5） kSa(kt)dt1k式（1-5）表明，Sa(kt)曲线下的面积为1，且k越大，函数的振幅

越大，振荡频率越高，离开原点时，振幅衰减越快，当k时，即得到冲激函数，波形表示如图1-3.

实际上，脉冲函数的选取并不

限于矩形脉冲与抽样函数，其他如三角形脉冲、双边指数脉冲等地极限，

也可以变为冲激函数，作为冲激函 数的定义。相应可以表示为： 三角形脉冲：

1||（1-6）(t)lim1tt 0t双边指数脉冲：

1|t|(t)lime（1-7）  02钟形脉冲：

t21e (t)lim （1-8） 0 - 3 -

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这些脉冲波变为相应的冲激函数，如图1-4(a)、(b)、(c).

定义二：狄拉克(Dirac)定义.狄拉克给出冲激函数的定义式为

δ(t)dt1-δ(t)dt0t0 （2-1）

t0这一定义与上述的脉冲极限的定义式一致的，因此把δ函数称为狄拉克函数。

现给出δ函数三个有用的特性：

性质一：展缩特性.冲击函数是一个高而窄的峰，时间缩放会改变其面积。由于δ(t)的面积为1，时间压缩的冲激信号δ(at)的面积为

1，由于冲激信号δ(at)仍在t=0处发生，所以它可以被看做一个未|a|压缩的冲激

11(at)，即有(at)(at)。 |a||a|由于时间位移不会影响面积的大小，所以有

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a(tt0)1（2-2） (tt0)

|a|式（2-2）可以用定积分中的变量代换法加以证明。特别的当

a1,t00时，式（2-2）变为

(t)(t) (2-3) 从式（2-3）可以看出，δ(t)是一个偶信号。

性质二：抽样特性（筛选性）. 用冲激函数(tt0)乘以任意连续信号f(t)，就可以得到一个冲激函数，它的强度等于f(t)在tt0处的值。即筛选出了f(t0)。从而有 类似有

- (t)f(t)dt(t)f(0)dtf(0)(t)dtf(0) （2-4）

--- (tt0)f(t)dt(tt0)f(t0)dtf(t0)(tt0)dtf(t0) （2-5）

--式（2-4）和式（2-5）表明：当连续时间函数f(t)与单位冲激信号(t)或(tt0)相乘，并在,时间内积分，可以得到f(t)在tt0处的函数值。

性质三：位移特性. 性质一和性质二表明乘积

f(t)(tt0)f(t0)(tt0)的面积等于f(t0)，也就是说(tt0)移除了

f(t)在tt0处的值。



-(tt0)f(t)dtf(t0) （2-6）

值得指出的是，冲激信号与阶跃信号的关系：

t- ()du(t) （2-7）

du(t) （2-8） dt ()(t)的狄拉克定义也可以表示为

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δ(t)0δ(t)δ(t)dt1t0t0 （2-6）

上式与式（2-1）一样都表示，t0处，是一个间断点，但作为数学抽象式，式（2-1）中采用δ(t)dt1的约束条件，已经概括了间断点t0得邻域内的积分0δ(t)dt1，反映出t0时(t)的趋势，

-0因此采用（2-1）的描述更合适。

另一方面，狄拉克-函数的定义在数学上也是不严格的。如函数

(t)'(t)也满足式（2-1）

其中: '(t)d(t)为冲激偶信号，但(t)'(t)并不是单位冲激信号。 dt为了给出奇异函数(t)的严格定义，我们先引入分配函数的概念。 概念引出（1950年，L. Schwartz）

电压v(t) 表示方法：

分析说明：

① 读数并不是直接待测物理量本身，而是待测函数v(t)与测试仪表特性h(t)二者综合结果

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② 电压v(t)的存在和性质借助h(t)来体现（测量系统是检测电压v(t)特性的手段），故称h(t)为检试函数。

下面给出分配函数定义：

定义三：用分配函数定义(t).

(t)指定给(t)的值为(0).

通过上面所给出的几种定义和性质，我们可以总结推导关于(t)的一些基本运算特性。

（1） 相加:

(3-1)

（2） 相乘:

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(3-2)

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（3）反褶:

（3-3）

证明参见性质一. （4）尺度:

（3-4）

（5）时移:

证明参见性质二. （6）卷积:

（3-5）

仅对i)进行如下证明：

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（7）复合函数：

（3-7）

证明：用泰勒级数展开，f(ti)0，忽略高次项。

复合函数形式的 f(t)可化简为位于tti处的一系列冲激函数的叠加，强度为

参考文献：

［1］ 樊尚春，周浩敏.2011.信号与测试技术.2版.北京：北京航空航天大学出版社.

［2］ 邹云屏，林桦，邹旭东.2009.信号与系统分析.2版.北京：科学出版社. ［3］ 彭军，李宏.2009.信号与信息处理基础.北京：中国铁道出版社.

1。 |f'(ti)| - 9 -