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一道经典的抛物线弦长问题

来源：小奈知识网

一道经典的抛物线弦长问题

设过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，直线OA与

OB的斜率分别为k1,k2，直线l的倾斜角为，

求证： AFpp2p,BF,AB。

1cos1cossin2证明：由yk1x2p2p得，同理。 xxAB222k1k2y2px22因为OA1k1x1，所以OA1k12p22p，同理，。 OB1k222k2k1设l:xtyp222，代入抛物线方程y2px得y2ptyp0， 2所以y1y22pt,y1y2p2，所以x1x2t(y1y2)p2pt2p

12p). tan2sin2122由y2ptyp0得yptp1t2，又因为t，

tanp(cos1)p(cos1),y2所以不妨设y1，

sinsin所以ABx1x2p2pt2p2p(1t)2p(122y12p(1cos)2所以x1， 22p2sinp2(1cos)4p2(1cos)2p2所以OAxy（明显得不到！！！） L4sin4sin2(1cos)222121搞得我证了很久，去百度了一下，才知道你的前两个结论有误，应该是AF与BF。

AF1t2y11p(cos1)p(1cos)p. sinsin1cos21cosBF同样可推导出。

p。

1cosp2p再计算得出BF，所以ABAFBF

1cossin2另证：由抛物线定义，AFAFcosp，所以AF

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