公开课--正弦、余弦函数的定义教学设计

任课老师：李保英

教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节 一、教学目标 1．知识与技能目标

（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用； （2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．

2.过程与方法目标

（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．

（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力． 3．情感、态度、价值观目标

在学习中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．

二、教学重难点 教学重点:

任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用。

教学难点:

1.任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解. 2.特殊角的正弦、余弦函数的计算。 三、教学方法与教学手段

问题讨论与类比、合作探究、讲练结合及多媒体课件演示的方法

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四、教学过程

教学内容 （一） 回顾旧知， 问题引入（2分钟） 教师活动 问1：初中我们学过锐角三角形的正弦与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？你还记得30°45°、60°的正弦、余弦值是多少吗？ 学生活动 学生回答： sin=对边/斜边，cos=邻边/斜边；sin30°=cos60°=1/2; cos30°=sin60°= sin45°=cos45°= 设计 意图 温故而知新 问2：我们在前面已学过的任意角，那么 任意角的正弦、余弦函数又该如何定义和求解呢？ （提示：把角引用到直角坐标系中探究） 【师】为任意角（包括正角、负角和零角），前一节我们已学过，显然利用初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足需求，因此，我们必须重新定义正弦、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨 [课堂探究] 如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角为α，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。 问3：任意角有不同的象限角，那么，其他象限角的正弦、余弦函数是否也得到这样的结果？ 学生思考 跟着教师思维走进新课堂 （二） 新知探究----— 正弦、余弦函数的准确定义及性质（20分钟） 讨论：在单位圆中，任意角的sin α与cosα函数值又是什么？（构建三角形，可直接用锐角三角形的正弦、余弦公式求解） 得出结果： sinMPv,OPOMcosuOP启发学生学会在坐标轴上构建三角形，利用学过的三角函数套入公式 (已知|op|=1)，得出任意角的正弦、余弦函数定义 继续构建三角形，用学过的知识进一步求证 培养学生独立思考、多角度考虑问题的能力 得出任意角的正弦问4：大家得出其他象限里任意角的正弦、【学生归纳】函数、余弦函数定义： 余弦是否与第一象限一致呢？ 点P的纵坐标V定义为角（提示：讨论的前提条件都是在单位圆的正弦函数，记作v=sin;点P内） 的横坐标u定义为角的余弦函数，记作u=cos。 问5：由图可知，对于给定的角，点P的横、纵坐标都是唯一确定的，那么，正弦、余弦函数又是一个什么量呢？ 学生思考，可能得出结论： 正弦、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。 2

问6：如果我们用x表示自变量（即x表示任意角大小），用y表示函数值，则得到任意角的正弦函数又如何表达呢？ 问7：我们学过函数的定义域和值域，那么在上述定义中，任意角的正、余弦函数的定义域与值域分别是什么呢? 学生思考并作回答：正弦为y=sinx;余弦为 ycosx；（是一个y关于x为自变量的函数） 结合单位圆图形分析得出： x表示任意角的大小，所以定义域为：全体实数R； 而在单位圆中显然y∈[1,1]，故值域为：[1,1] 学生自由探讨 培养学生学会从特殊现象里找出普遍现象。 问8：在单位圆里，任意角的正、余弦函数定义域是如此，那如果终边上一点P（u,v）不在单位圆上时（即在圆外）,它的三角函数定义域及值域还成立吗? （二） 新知探究----— 正弦、余弦函数的准确定义（15分钟） 引导学生根据所学相似三角形性质得出结论：三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，所以定义域成立。 问9：对于任意角α（正角、负角）的三角函数定义都成立，那么对于零角，它是否还成立呢？ 算出：op= 利用相似三角形性质得出： sin  =y/ cos =x/ 发现: 三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，只与坐标比值、角度有关。 学生动手，简单证明 （结论依然成立） 得出结论：正余弦函数是以角度学生齐读正弦、余弦函数的让学生通过读为自变量,以单位圆上点的坐标或坐定义，进一步理解函数的定义。 书加深标的比值为函数值的函数。又因为角对定义的集合与实数集之间可以建立一一的理解 对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数. 当角的终边分别在第一、第二、学生思考，填写课本15页表格 第三、第四象限时，角弦函数值、 余弦函数值的有正负之分吗？ （完成课本P15页表格） 引导学生根据坐标轴取值进行讨论 得出结论：有符号之分 （采用记忆法：“一正正，二正负，三负负，四负正”．） 课堂练习—巩固提升 1.判断下列各式的符号：

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体现出坐标轴与函数的关系 加强学生对函数性质的记忆 （三） 问题探究----讨论函数在每一象限上的取值（8分钟） 学生思考练习 （1）sin105°.cos230°； （2）cos3.tan(-2/3 π)； 例2--在直角坐标系的单位圆中，/4， 学生自主学习 （1）画出角； （2）求出角的终边与单位圆的交点坐标； 分析：把弧度制化为角度制，再按顺时针画角度。利用三角形正弦、余弦函数的定义求出坐标。 学生思考并计算 学以致用，巩固新知 （四）、 新知应用 变式训练1—正余函数的应用 3(2),（12分钟） 1.已知角α 终边上一点P ,2 求角α的正弦函数值、余弦函数值 教师演示计算过程与结果 通过变式提升学生多角度思考、解决问题能力 变式训练2--- 2.已知角α的终边过点P（12，a）且tanα=5/12,求sina +cos a的值； 教师小结---利用三角函数的定义求值的策略 （五） 问10：我们知道，在直角坐标系的单位圆拓展延伸中，有各种特殊角，请问你能求出各种特（5分钟） 殊角的正弦、余弦函数吗？同时，你会发现这些特殊角的函数值会有什么规律？ 学生学习 学生填写课本16页的表格，观察各种特殊角的坐标，引出周期函数的探究与学习。 抛问题，让学生学会发现与归纳问题 （六） 这节课你学到了什么？ 提示： 课堂小结① 正弦、余弦函数定义与初中时的定义（3分钟） 有何异同？ ② 正弦函数与余弦函数是如何定义的？在应用时应注意什么？ ③你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? 学生总结 培养学生良好的学习习惯 五、教学反思

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