第１４卷第４期 高等数学研究 Ｖｏ１．１４．Ｎｏ．４ ２０１１年７月 ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ Ｊｕ１．，２０１１ 数 学 课 程 韦伊 文／陈天权 译 （清华大学数学科学系，北京１０００８４） 译者按 本文译自《韦伊论文集》（Ａ．Ｗｅｉｌ’Ｓ Ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ Ｐａｐｅｒｓ．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２００９：１２１—１２６）．原文题名 Ｔｈｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ：ａ ｓｈｏｒｔ ｇｕｉｄｅ ｆｏｒ ｓｔｕｄｅｎｔｓ，是原作者于１９５４年在芝加哥大学任教时指导学生学习数 学的文章．虽然文章写于半个世纪以前，但由于原作者对数学的深刻理解及其丰富的数学教育经验，文章的许多方 面对今天的数学教育仍有借鉴价值．例如，对美国大学生（与欧洲大学生相比）弱点的批评，对（初级阶段）数学学习 所作的三个部分的划分，以及对美国大学数学教学中没有习题因而忽略后两部分的批评，对数学教学中数学语言 的语法及词汇的解释，对过早专门化致使学生失去理智地确定自己工作领域机会的反对，并为此详细列出学生应 有的基本知识，以及为了激发学生对数学的热爱应该让学生对数学史有所了解等主张．所有这些对我们今天的高 等院校的数学教育仍未失去它重要的参考价值．当然任何人的主张都可能有偏颇，特别是半个世纪以前的主张不 可能考虑到随后五十年的数学发展与社会变迁，因此在参考原作者意见的同时，读者也应该有自己的主见． 关键词 大学生｝数学学习；数学语言；专门化；数学史 中圈分类号 Ｎ４１；Ｇ６４２．４ 文献标识码 Ｃ 文章编号 １００８－１３９９（２０１１）０４－０００１－０３ 和欧洲大学生相比，美国大学生为自身的严重 容．几乎无需说明，大学学习进行时，学生课堂学习 缺点所困扰．严肃地指出这些缺点，让大家及早认识 收效的大小将愈来愈依赖于他（她）记笔记的能力． 它们并采取措施努力克服它们是非常必要的．除了 Ｃ．中等程度的学生不擅于用确切而有说服力 早期数学（或选择攻读的其它领域）的训练不足外， 的语言作书面或口头的陈述．考虑到现有考试制度 美国学生还缺乏基本技巧——阅读、写作和口述 的要求及他（她）今后可能担任教职的前景，他（她） ——的训练．换言之，他（她）们因不擅长运用书面 必须学会不仅能用流畅的口语表述数学内容，而且， 及口头语言而苦恼．例如： 更重要的是，在做简短报告时，善于组织题材，清晰 Ａ．中等程度的学生不擅于从书本中学习，除非 地陈述他（她）的题目的全部内容．为了在书面陈述 该书已把内容切割成许多小块，像母亲给婴儿喂食 中达到同样的目的，除了在英语作文上下功夫外，别 那样．为了在数学或其它科学上有所成就，他（她） 无他途．因为应用于科学题材的作文原理与一般的 必须认识，多数课题只包含很少几个基本思想，一旦 作文原理并无区别．遗憾的是，我们不得不提醒许多 掌握了这几个基本思想，通往课题细节的大道便畅 学生，在科学领域中，通常的英语拼写和语法规则仍 通无阻了．阅读一本书或一篇或长或短的文章绝不 然应该遵守的． ’ 应该绕着课题的边缘爬行，而是应以最适合自己的 无疑，学习与训练上述技巧是中学教育的任务， 方式直插课题的核心．从这儿出发可以清晰地看到 进入大学时尚未掌握上述技巧的学生（在现在的大学 课题的全貌．这是任何指望成功的科学家必须学会 生中占多数）必须努力补学这些技巧．不然，他（她） 的最重要的技巧． 就不可能达到硕士学位或哲学博士学位所要求的科 Ｂ．中等程度的学生不擅于机智地、有选择地记 学上成熟的程度．应该明白，在他（她）的大学老师那 笔记，这是因为听课时他（她）不能敏捷地分辨必须 ＪＩ．ＡＩＩＩ难得到太多帮助．大学老师首先是科学家，他们 记下的重要内容和以后很容易推出的可以省略的内 的主要兴趣是在它们的专题上．他们把自己的大部分 收穑日期ｔ２０１１—０３—１４，修改日期。２０１１一Ｏ５—２１． 精力与时间都贡献到专题的教学与研究上，很少有人 作者简介；韦伊（Ａｎｄｒ￣Ｗｅｉｌ，１９０６—１９９８），法国数学家，Ｂｏｕｒｂａｋｉ学 对教学过程中的问题有强烈兴趣，很少有人愿意直接 派的创始人之一，伦敦数学会荣誉会员，法兰西科学院院 去教这方面的问题．这是美国高等教育的最严重的几 士，英国皇家学会外籍会员，美国国家科学院外籍院士． 个问题之一．使它更为严重的是，假若学生不能认识 曾在众多数学分去中做出过划时代的贡献．１９７９年获 自身在智力准备上的不足（这是常见的），便会不自觉 Ｗｏｌｆ数学奖，１９８０年获Ｓｔｅｅｌｅ奖的终身成就奖，１９８０年获 Ｂａｒｎａｒｄ奖章，１９９４年获Ｋｙｏｔｏ奖． 地将自己沉浸在日常作业和写得并不十分鼓舞人的 陈天权（１９３７－－）。男，江苏海门人，教授，主要从事非平衡 教材的烦锁学习中去．这并非说，学习数学不需要掌 态统计力学研究．Ｅｍａｉｌ：ｔｃｈｅｎ＠ｍａｔｈ．ｔｓｉｎｇｈｕａ．ｅｄｕ．ｅｎ． 握细节．这只是说，学习数学也和学习其它科学一样， ２ 高等数学研究 ２０１１年７月 这样一种掌握只能通过对实质的深刻理解而获得．从 大量细节中提炼出对实质的深刻理解是需要技巧的， 这是必须努力学会，也是可以学会的． 以上所述适用于任何学科，下面我们对数学教 学说几句．任何（初级阶段的）数学课的学习都包含 以下几方面：（ａ）掌握主要概念和定理．这些概念和 定理在数量上是很少的，但它们构成了教学内容的 核心；（ｂ）日常的习题训练，通过这种训练加强了与 基本概念的接触以达到复习的效果；（ｃ）包含一定 数学难度的问题的求解．通过这样的问题的求解可 以发展学生联系这些概念的创造性思维和想象能 力．在初级阶段，这三方面是同样重要的．进入高级 阶段后，（ｂ）的重要性减弱了，或者与（ｃ）难于区分 了．所以高级阶段的书或教材把许多东西留给学生 自己去思考，自己去完成．专门设置习题的必要性逐 渐消失．学生在很大程度上已成为教师的积极合作 者．除非学生在初级阶段解决（ｃ）型问题上有足够 训练・他（她）是不能指望在学术上取得成功的． 不言自明，假若没有灵活地使用数学概念解决具 体问题的能力，真正理解这些基本概念是不可能的．反 之，未理解这些基本概念而想利用这些概念去解决具 体问题更是不可思议的．因此，学习过程的（ａ），（ｂ）和 （ｃ）三方面是不可分割的．也许是受了工程学院的影 响，或者是由于所谓的数学实际应用的错误观念的作 祟，美国学院的数学教学传统上包含了或多或少的机 械式的训练．这种训练在教小学生学习乘法的九九表 时是完全合适的，但对其它内容的学习则很少有用了． 在我系数学教学的新安排中，教学的重点又放到了它 原来应该放的地方：主要概念的理解上．这也许会导致 对学习过程中（ｂ）和（ｃ）这两部分的忽视．由于必修教 材的讲授被要求在很短的学时内完成，这样的忽视将 变得非常可能了．首先，美国学生进入大学时几乎没有 什么值得说的数学知识；其次，美国尚未实行别的国家 已经实行的方法：每一门数学课应配有合格的助手担 任的经常性的习题课，以保证教授集中精力于他（她） 感兴趣的理论研究时，教学中的练习部分也能得到它 应得的重视．由于教学过程中（ｃ）部分的重要性，现在 它还只能说是刚刚受到它应得的考虑．因为我们的大 部分课程都是三学时的，重点放在（ａ）上的决策将不可 避免地以削弱（ｂ）和（ｃ）为代价．然而本系教师正对所 有这些问题给予应有的注意，正在许可的条件下，努力 改进教学的各个方面．当然，改进将是逐步的．同学们， 特别是决定选择数学为自己职业的同学必须尽一切努 力保持（ａ），（ｂ）和（ｃ）三方面的平衡．在即将到来的日 子里，（ｃ）是最容易被忽视的，也许选一本和所学的课 题有关并含有需要用非常规方法求解的问题的习题集 （美国或外国出版的均可），可以弥补这方面的不足． 下面我们想讨论构成我们教学计划中各门课的 内容及其相互关系．过去，传统课程的安排是简单 的．在初级阶段，它包括：二维及三维（平面及空间） 的解析几何，与所谓的大学代数，即初等方程式论， 目的是求实系数一元方程的数值解．解析几何的表 述形式是十八世纪Ｃｌａｉｒａｕｔ，Ｅｕｌｅｒ和Ｌａｇｒａｎｇｅ达到 的水平（虽然它的边缘由于此后的磨损而显得十分 模糊了）．代数基本上是Ｎｅｗｔｏｎ改进后的Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ 的代数．紧接着便是微积分及其在曲面和曲线上的 应用，这基本上仍是Ｅｕｌｅｒ定下的格式．再后面便是 所谓的应用数学，它沿着Ｎｅｗｔｏｎ的道路被以后的 作者发展起来的初等理论力学．微积分又发展到单 元复变函数理论，它是Ｃａｕｅｈｙ，Ｒｉｅｍａｎｎ和 Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ工作的大大删节后的综述．最后，当学 生已经学过椭圆函数的定义及它的一些公式后，他 （她）便被认为是一个训练有素的数学家，适于从事 他（她）的课题的高级研究工作了． 不幸，今天数学系的教师及学生已不可能再过这 样轻松的生活了．上述课题仍然不失为基本的，但已是 远远不够的了．因此，必须尽一切努力使学生在较短的 时间内学习更多的东西．还因为过去半个世纪左右的 抽象数学及公理化方法的发展已经使我们愈来愈清楚 地认识到以下事实：从某个方面看，数学是一种语言， 这种语言必须跟上和满足日益发展的需要．这种语言 有它自己的语法及词汇，我们必须学会它的语法，掌握 它的词汇．近代数学的语法和词汇首先是由抽象集合 论，然后是由一般拓扑和抽象代数提供的．它们都是数 学的一些辅助分支，但它们却有着显著的差别：抽象集 合论建立不到一百年，而一般拓扑只有五十年，两者皆 可认为是成熟的（至少从今天的数学的需要来看）数学 分支．代数虽然起源于巴比仑人，但至今仍在茁壮地发 展中．无论如何，它们都已渗透到传统的数学课题（如 微积分与几何）中去了．远在人们认识到在许多不同的 课题中支离破碎地重复研究它们是浪费时间之前，这 种渗透早已发生了．例如，把二次型化为平方和的方法 只不过是巴比仑人早就知道的解二次方程的配方法， 它对平面和立体解析几何的二次曲线及二次曲面的研 究和射影几何来说都是基本的方法，它在高维情形的 推广对于微积分中极大极小的研究，Ｈｉｌｂｅｒｔ空间正交 化方法和在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间尚未引入数学以前的许多具体 问题的研究中也有着根本的意义．将所有这些课题中 的概念，以它在各种应用中最合适的方式统一起来，毕 其功于一役地加予处理，既能节省时间，更重要的是还 能揭示方法的内在联系，这是值得尝试的． 当然不应忘记，学习一种语言的语法是不能在 使用这种语言之前进行的（也许对于语言学家是例 外）．语法的学习应与语言的使用手拉手地进行．同 第１４卷第４期 韦伊（文）／陈天权（译）：数学课程 ３ 样，数学中的抽象概念必须逐步地谨慎地引进，这对 早愈好．具体地说，经验似乎告诉我们，不要比两年 于初学者来说尤应如此．幸运的是，一般拓扑中的大 微积分学完还要晚．以上说明是针对集合论和一般 多数概念和代数（线代数和矩阵轮）中的大多数概 拓扑课程的．虽然这两门课程的实质内容都很平凡， 念有着强烈的几何背景，它们都可以用几何语言来 但是它们提供了一种语言，这种语言使得以后要学 表述，因而比较容易被接受． 习的大部分课题能方便地陈述出来． 以上所述解释了当今数学课程的安排．预科水平 在以上描述的课程完成以后，接着便应进行专门 的课程是提供给需要补初等数学知识（例如解析几何， 化（分科化）的学习了．虽然，不知道Ｇａｌｏｉｓ理论可以成 三角学，复数等以后经常要用的知识）的学生的．预科 为一个好的分析学家，不懂得Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分可以成为 之后是微积分，它的主要目的是对满足适当的光滑性 一个好的代数学家，不了解代数数论也可以成为一个 条件的函数的局部性质，即函数在某个邻域中的性质． 好的拓扑学家．但是，这样做法并非是应该鼓励的．现 在近代数学中这类函数已不像一百年前或五十年前那 在，全能的数学家比以前愈来愈稀罕了．我们不准备在 样占有重要位置了．但是对于培养有前途的数学家和 这里讨论这种过早的专门化可能带来的灾难性后果， 专将数学用于解决某个科学问题的科学家来说，研究 但愿意指出，本系不愿意鼓励这种过早的专门化．我们 这类函数仍是数学教育中不可缺少的部分．而且在初 希望所有的学生获得纯数学主要分支的基本知识，这 级阶段，学生数学知识的实质部分（相对于形式部分而 将使他（她）们能发展自己的才能，并在确定今后的工 言）主要还是来自这方面的学习．微积分的学习被组织 作领域时能做出理智的选择．我们要求学生应理解的 成连贯的四个学期，初学者可望逐个学习．这些课程中 知识包括：（ａ）分析中的近代积分理论的某些知识，（最 包括一些例解说明，但从长远的观点看，更多的例解材 好不要仅限于一元和多元实变函数的Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分， 料应放在初等微分几何与初等力学这样的课程中，后 而应扩展到紧和局部紧空间上的积分理论），Ｈｉｌｂｅｒｔ空 者又为进一步学习铺平道路． 间的知识，常微与偏微分方程的知识，一元复变函数的 学生开始学习微积分的同时或稍晚，便应该开 知识；（ｂ）代数中域与域的扩张（包括Ｇａｌｏｉｓ理论）的知 始熟悉一些今后对他（她）不可缺少的抽象概念，这 识；（ｃ）某些数论的知识，至少应包括二次可逆定律和 就是一系列代数课的目的之一．以通常的整数和解 二次域中的理想理论；（ｄ）几何中的几何与群论的关系 析几何中的二维、三维向量空间为背景，一系列代数 （在欧氏，射影，非欧几何中就是Ｅｒｌａｎｇｅｒ纲领）和 课将向学生介绍群、环、域、向量空间和线性变换等 ，Ｐｄｅｍａｎｎ几何中的活动标架方法；（ｅ）拓扑中的基本群 概念和关于这些概念的基本定理．这些概念已渗透 及纳覆空间，一维同调群的知识，闭曲面的分类的知 到近代数学的大部分领域中，包括微积分课程的一 识．在很大程度上这些知识可以互相独立地学习，只在 些课题（如曲线与曲面积分，各种形式的Ｓｔｏｋｅｓ公 高级阶段，数学各分支之间的相互作用才变得重要起 式所需要的Ｇｒａｓｓｍａｎｎ代数的知识，它是重线性代 来．学习它们的顺序可以根据学生的爱好和方便去决 数的基本部分，它又和行列式理论不可分割）．因此， 定，这只是个选择和机会的问题． 细心地弥合代数课与微积分课之间的缝隙是必要 最后，学生必须认识到，数学是一门有着悠久历 的．同时，代数课中的许多知识又和与之有紧密联系 史的科学．假若对它的历史背景没有一些了解，要真 的仿射几何，射影几何，任意维的欧氏几何不可分 正理解它是不可能的．首先，时间绘出了数学与数学 割．假若代数课的讲授不是形式地进行的，而是在每 分支的图象的一个维数．另外，数学中主要概念是不 个可能的场合尽力地提高和发展学生的几何直观， 多的，清晰地理解它们的最好途径是寻找它们互相 那么专门开设这些几何课就没有必要了． 渗透时逐步发展的线索，这对于各级有远见的数学 学习代数与微积分时，学生已经接触到集合的 教师来说尤其重要．对于他（她）们来说，在课堂上 一般概念（实数集合，函数集合，群的元素的集合 干巴巴地讲述知识远不如阐述隐藏在这些知识背后 等），并认识到集合运算（并、交、积等）的重要性．在 的主要思想来得重要．应该指出，数学研究是一种知 代数里，学生已认识到，一些数学对象并非作为先天 识的探索．除非让学生感受到伟大的智慧发现的激 存在而被接受的，它们是由一些刻画它们的性质描 动人心，他（她）会失去对数学的兴趣．这种激动很 述的．这些性质也未必唯一地确定它们．换言之，学 难从教科书的学习中获得，也很难从为了获得哲学 生已经接触到抽象集合的处理方法，即公理化方法． 博士而攻读的文献中获得．在眼前的情况下，不能指 不到五十年前，这些训练被认为对逻辑学家比对数 望学生对数学史有一个全面的了解，除非他（她）是 学家更合适．数学的发展已经产生了这样的影响，不 专攻数学史的．而且专攻数学史的也未必有此了解． 仅这样的训练对于数学系学生是必要的，而且只要 然而，可以指望他（她）对他（她）特别感兴趣的几个 学生在智力上已有接受它的准备，它应该提前得愈 方面的过去数学家的原著有所了解． 口