函数的奇偶性的典型例题

函数的奇偶性的典型例题

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数f(x)的定义域内任意一个x：

⑴f(x)f(x) f(x)是偶函数； ⑵f(x)f(x)f(x)奇函数；

函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立； ③、可逆性： f(x)f(x) f(x)是偶函数；

f(x)f(x)f(x)奇函数；

④、等价性：f(x)f(x)f(x)f(x)0

f(x)f(x)f(x)f(x)0

⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；

⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、

非奇非偶函数。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查f(x)是否与f(x)、f(x) 相等，判断步骤如下：

①、定义域是否关于原点对称；

②、数量关系f(x)f(x)哪个成立；

例1：判断下列各函数是否具有奇偶性

⑴、f(x)x2x ⑵、f(x)2x3x

xxx132342⑶、f(x) ⑷、f(x)x x1,2

2 1

⑸、f(x)x22x ⑹、f(x)x121x2

解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数

⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数 注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。 x2(x0)例2：判断函数f(x)的奇偶性。 2(x0)x解:f(0)02f(x)22

当x0,即x0时,有f(x)(x)x2f(x)2

当x0,即x0时,有f(x)(x)(x)f(x)总有f(x)f(x),故f(x)为奇函数.

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为

空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。

命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分

条件。

此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。

此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。

命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。

此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=f(x),(f(x)0f(x),(f(x)0),不能保证f(-x)=f(x)或

f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。

命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶

函数。

2

此命题错误。如函数f(x)=2x,(x2n,nN)x,(x2n1,nN) 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点

对称，也不关于y轴对称，故此函数非奇非偶。

命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。 此命题正确。由函数奇偶性易证。

命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 此命题正确。由奇函数的定义易证。

命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。 此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x0)=0，则f(-x0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。

五、关于函数按奇偶性的分类

全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。

六、关于奇偶函数的图像特征

例1：已知偶函数yf(x)在y轴右则时的图像如图（一）试画出函数y轴右则的图像。

Y Y 1 1 1 2 X -2 -1 0 1 2 X

图（一）

图（二）

七、关于函数奇偶性的简单应用

1、利用奇偶性求函数值

例1：已知f(x)xaxbx8且f(2)10，那么f(2)

2、利用奇偶性比较大小

例2：已知偶函数f(x)在,0上为减函数，比较f(5)，f(1)，f(3)的大小。

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3.利用奇偶性求解析式

例3：已知f(x)为偶函数当0x1时,f(x)1x,当1x0时，求f(x)的解析式？

4、利用奇偶性讨论函数的单调性

例4：若f(x)(k2)x2(k3)x3是偶函数，讨论函数f(x)的单调区间？

5、利用奇偶性判断函数的奇偶性

例5：已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)是偶函数，判断g(x)ax3bx2cx的奇偶

性。

6、利用奇偶性求参数的值

例6：定义在R上的偶函数f(x)在(,0)是单调递减，若f(2a2a1)f(3a22a1)，则a的取值范围是如何？

7、利用图像解题

例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则fx0的解是 .

8.利用定义解题 例8.已知函数f(x)a

121x.，若fx为奇函数，则a________。

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