用变分渐近法进行复合材料壳体简化建模及三维场精确重构.

用变分渐近法进行复合材料壳体简化建模及三维场精确重构

(9) 壳体变形后位置向量转换为变形状态的位置向量，后者可通过引入与变形形状相关的单位向量唯一确定。值得注意的是仅是为方便表达向量引入的工具，其方向不必与变形壳体相切。和的关系可由方向余弦函数矩阵确定为 (10) 变形壳体上任一点的位置向量可表示为 (11) 式中是翘曲分量。在这里视为未知的三维函数求解。 由于翘曲函数的引入，式(11)有6次冗余，需选择6个约束条件在和之间建立一一对应的关系。与式(2)类似，可定义在变形壳体的中间面层，这样，翘曲函数必须满足以下3个约束： (12) 将设为与变形壳体参考面垂直可确定其它两个约束。最后一个约束可由的旋转得到，。 基于旋转张量分解理论[9-10]，由局部小旋转的条件，Jauman-Biot-Cauchy应变分量可表示为 (13) 式中是变形梯度张量的混合基分量， (14) 式中：；为逆变基向量，，；为变形状态的协变基，可由下列广义二维应变得到 (15) 式中：为阶二维平面应变；为变形曲面的曲率，为未变形几何曲率和翘曲曲率之和。 对于薄壳体结构（分别为三维壳体的厚度和曲率半径），阶次项可忽略不计；对大多数中等厚度的壳体结构，需对阶次项进行修正(几何精细化)；由文献[11]的数值算例表明二维壳体模型在阶次内可得到满意的预测结果，因此可对二维模型修正到阶次项(剪切修正)。作如上近似后，由阶次项表示的三维应变场为 (16) 式中：，下同； (17) 算子可参阅文献[8]。 壳体结构总应变能可表示为 (18) 式中：三维壳体未变形状态所占空间；为未变形参考面区域； (19) 每单位面积的应变能为 (20) 式中：为来自四阶弹性矢量的阶材料矩阵。该矩阵完全填充，若复合层合壳体各层相对于中间层单斜对称，且绕局部法线旋转，则不论倾角如何变化材料矩阵中的某些元素始终为零。 为分析作用载荷产生的虚功，对位移场作拉格朗日变分得到虚拟位移为 (21) 式中：参考面的虚拟位移为 (22) 参考面的虚拟旋转定义为 (23) 由于应变很小，可安全地忽略虚拟旋转中翘曲与载荷的乘积项。由载荷，，（分别作用在壳体的顶面、底面和厚度

方向）产生的虚功为 (24) 式中：视为变形；, ，下同。 通过引入列阵，并由式(1)、(10)和(11)得到矩阵形式的虚功 (25) 式中：；(26) 根据虚功原理，三维壳体变形后的能量问题可完整表述为 (27) 式中有三个虚拟量：虚拟位移，虚拟旋转和翘曲场变量。前两个量可由二维壳体变形分析求解，是建模过程中唯一需要确定的未知量。 根据总势能最小原理，未知翘曲函数可通过式(12)约束下对能量泛函最小化求得：

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