山东大学 高等数学 【三套试题汇总】

一 求下列极限 1

111lim0limsinn sinn1  limsinn0 nnnnnnlim2 求

x0

x

x1xx0limxx1 limx01xxx1 limx0

1xxx

不存在

1x不存在

3 求

limex0



x0elime, lime0 limx0x04sinxx1xsinx 原式=lim x0sin5xlimx0xsin5x1x1一 求下列极限

1

111limcosn  cosn1, lim0  limcosn0

nnnnnn2x2xx2lim1, lim2 求lim lim2x2x2xx22x2x1x0xlimx2x2x21

lim2x不存在

x22x3 求x0

lim2

1x

lim2x01x21x0xlim, lim22x01x0



lim2x01x不存在

4sinx12x2sinx3x求limlimx0x3sinx 原式=x0sinx4 13x1limtgn 不存在 nnxaxa12x

xa一 求下列极限

1

2 求lim

limxaxaxalimxaxaxaxaax1,limlim1, lim不存在

xaxaxaxaxaxaxa12x3 求x0

.

lime

x0lime12x, limex00 limex012x不存在

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4limsinmxlimx0sinnx 原式=x0sinmxmxnxmxmlim

mxsinnxnxx0nxnexx0af(x)取什么值，连续 二

axx0解：i) x0，x0时，f(x)均连续

ii)x0时，f(0)a

f(00)1 f(00)a

所以a1时f(0)f(0)1，

f(x)在x0处连续

综上所述，a=1时f(x)连续

二讨论sinxf(x)x0x0x0在 x=0 处的连续性 sinxsinxlimfx11 解： limfxxxx0x0

 fx在x0处不连续，0点为可去间断点。

xf(x)2xx0x0，讨论f（x）在x0处的导数

二已知解：

f01, f00,  fx在x0处不可导。

.

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三 计算下列各题 1 已知

y2sinxlnx1y2cosxlnx2sinx y 求解：x, 2 已知y解：

f(ex)ef(x)，求y,

yexfexefxfexfxefxefxexfexfexfx求xedxx2

3解：

1x221x2xedx2edx2ec

x2 1

yln[ln(lnx)]xyyx求y,,

求y, 解：

y111lnlnxlnxx

2

两边取对数：

ylnxxlny

ylnxy1xlnyy xy两边分别求导：

yxlnyyy整理得：xxylnx

3求1exexdx 解：原式=

exdexxdxarctaneC

e2x1ex211、已知ytan322lnxy3tanlnxsec(lnx)求y 解：

,1 x2,2、已知yf(x)，求y 解：

y2xfx2

3 3求11cosdxxx2111cosdsinC 解：原式=xxx .

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四、若2xtan(xy)解：

xy0sec2tdt，求dy dx两边对x求导，其中y是x的函数

2sec2(xy)(1y')sec2(xy)(1y')

2sec2(xy)(1y')2

(1y')1

sec2(xy)'22y1cos(xy)sin(xy) 所以

四求limx0xcost2dt02x2sin10xxcost2dt02x2解原式limx0x102x2xcosx4limx010x91cosx4limx050x8

4x3sinx41lim7x040x10四 证明 证明：

对于

2

a0a01a2xf(x)dxxf(x)dx，(a0)，其中f(x)在讨论的区间连续。 2032x3f(x2)dx

令xt，则2xdxddt

2且xa时ta，x0时t0

左边x3f(x2)dx0a1a2tf(t)dt201a2xf(x)dx20.

= 右边 证毕。

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五 求yx，y2x和yx所围平面图形的面积 解：

2A(2xx)dx(2xx2)dx01121212132xxx203118141233762

五 求y2x5和yx4所围平面图形的面积 解：A2202xdx802x(x4)dx

23318xx2xxx24x02222 1263232 1822五 计算反常积分dx1x2; 解

原式2dx

arctanx;1+x222六

dy(x1)2xy4x2

dxP(x)2x1x2解：此方程为一阶非齐次线性微分方程

4x2Q(x)2

x1ye1x2xdx24x21x2dx143(2edxc)2(cx)

x1x132x所以原方程通解为

143y2(cx)

x13.

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六 求

(1y)dx(arctanyx)dy的通解

2dx11xarctany

22解：方程化为

dy1y1y此方程为倒线性微分方程

xee1y1dy21y2dy1(arctanyedyc)

21y1arctany1arctany(arctanyedyc)

21yearctany(arctanydearctanyarctanyc)

earctany(arctanyearctanyearctanyc)

所以方程通解为

xcearctany1

.

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题外：

四 证明20f(sinx)dx2f(cosx)dx0 x0,t2 ，dtdx

证明：令tx，则2x,t02且0

2fsinxdxfcostdt2fsintdt2fcosxdx 得证

2000解：ye

tanxdxsin2xetanxdxdxC12cos3xC2cos2xC

3cosxcosx3二求11lim22nn2n111222nnnnnnn项 2nn11n211n221n2n111 nnnn项解：

1

又 nlim1nn2=1

lim11

n 故

111lim1

222nnnnnnn五、求

y'ytanxsin2x的通解

tanxdx22C32tanxdxdxC1yesin2xecosxCcosx解：计算3cosxcosx31dx1x20. .

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1解：0dx1x2darcsinxarcsinx01102

一 求下列极限

求limx1x1x1 x11xx1limlim1limlim1 解： x1x1x1x1x1x1x1x1x1

 limex11x11x1不存在

11limlime 求x1 解： limx1x1x1x11cosx1cosxsinx1limlimlim 求 x0 解： 22x0x0x2x2x

limex11x1不存在

5x5(sin)5tgx12cosx2lim 求lim 原式=6x0[ln(1x)]6x0x2x5sinx求 x0lim12sinxctgx

lim12sinxx0ctgxlim12sinxx01x22x1x12cosx2sinxe2

1x)求 lim(x01x1x2xlim1 原式=x01xe2x01xlime2

三、计算下列各题

1 已知yln(xx2a2)求y， 解：

2xy122xxa2x2a21(x1)(x2)，求y'

x31xa22

y3.

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解：

1x1x2y3x323x1x22x3x3x23x21x633x2x3x3x32

3求12xlnxdx 12132解：lnxdxlnxdlnxlnxC

x3求

xe3x2dx

12x21x221x221x22x2x2xdeexe2xdxexeCex1C 22223xxedx解：2

3cosx21cosxdcosxcosxC

求sin3xdx 解：原式=344求xf(x)dx 求

\" 解：原式=

xdfxxfxfxdxxfxfxC

解：lnxdxlnxdxxlnxxdlnxxlnxxC

.