一 求下列极限 1
111lim0limsinn sinn1 limsinn0 nnnnnnlim2 求
x0
x
x1xx0limxx1 limx01xxx1 limx0
1xxx
不存在
1x不存在
3 求
limex0
x0elime, lime0 limx0x04sinxx1xsinx 原式=lim x0sin5xlimx0xsin5x1x1一 求下列极限
1
111limcosn cosn1, lim0 limcosn0
nnnnnn2x2xx2lim1, lim2 求lim lim2x2x2xx22x2x1x0xlimx2x2x21
lim2x不存在
x22x3 求x0
lim2
1x
lim2x01x21x0xlim, lim22x01x0
lim2x01x不存在
4sinx12x2sinx3x求limlimx0x3sinx 原式=x0sinx4 13x1limtgn 不存在 nnxaxa12x
xa一 求下列极限
1
2 求lim
limxaxaxalimxaxaxaxaax1,limlim1, lim不存在
xaxaxaxaxaxaxa12x3 求x0
.
lime
x0lime12x, limex00 limex012x不存在
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4limsinmxlimx0sinnx 原式=x0sinmxmxnxmxmlim
mxsinnxnxx0nxnexx0af(x)取什么值,连续 二
axx0解:i) x0,x0时,f(x)均连续
ii)x0时,f(0)a
f(00)1 f(00)a
所以a1时f(0)f(0)1,
f(x)在x0处连续
综上所述,a=1时f(x)连续
二讨论sinxf(x)x0x0x0在 x=0 处的连续性 sinxsinxlimfx11 解: limfxxxx0x0
fx在x0处不连续,0点为可去间断点。
xf(x)2xx0x0,讨论f(x)在x0处的导数
二已知解:
f01, f00, fx在x0处不可导。
.
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三 计算下列各题 1 已知
y2sinxlnx1y2cosxlnx2sinx y 求解:x, 2 已知y解:
f(ex)ef(x),求y,
yexfexefxfexfxefxefxexfexfexfx求xedxx2
3解:
1x221x2xedx2edx2ec
x2 1
yln[ln(lnx)]xyyx求y,,
求y, 解:
y111lnlnxlnxx
2
两边取对数:
ylnxxlny
ylnxy1xlnyy xy两边分别求导:
yxlnyyy整理得:xxylnx
3求1exexdx 解:原式=
exdexxdxarctaneC
e2x1ex211、已知ytan322lnxy3tanlnxsec(lnx)求y 解:
,1 x2,2、已知yf(x),求y 解:
y2xfx2
3 3求11cosdxxx2111cosdsinC 解:原式=xxx .
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四、若2xtan(xy)解:
xy0sec2tdt,求dy dx两边对x求导,其中y是x的函数
2sec2(xy)(1y')sec2(xy)(1y')
2sec2(xy)(1y')2
(1y')1
sec2(xy)'22y1cos(xy)sin(xy) 所以
四求limx0xcost2dt02x2sin10xxcost2dt02x2解原式limx0x102x2xcosx4limx010x91cosx4limx050x8
4x3sinx41lim7x040x10四 证明 证明:
对于
2
a0a01a2xf(x)dxxf(x)dx,(a0),其中f(x)在讨论的区间连续。 2032x3f(x2)dx
令xt,则2xdxddt
2且xa时ta,x0时t0
左边x3f(x2)dx0a1a2tf(t)dt201a2xf(x)dx20.
= 右边 证毕。
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五 求yx,y2x和yx所围平面图形的面积 解:
2A(2xx)dx(2xx2)dx01121212132xxx203118141233762
五 求y2x5和yx4所围平面图形的面积 解:A2202xdx802x(x4)dx
23318xx2xxx24x02222 1263232 1822五 计算反常积分dx1x2; 解
原式2dx
arctanx;1+x222六
dy(x1)2xy4x2
dxP(x)2x1x2解:此方程为一阶非齐次线性微分方程
4x2Q(x)2
x1ye1x2xdx24x21x2dx143(2edxc)2(cx)
x1x132x所以原方程通解为
143y2(cx)
x13.
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六 求
(1y)dx(arctanyx)dy的通解
2dx11xarctany
22解:方程化为
dy1y1y此方程为倒线性微分方程
xee1y1dy21y2dy1(arctanyedyc)
21y1arctany1arctany(arctanyedyc)
21yearctany(arctanydearctanyarctanyc)
earctany(arctanyearctanyearctanyc)
所以方程通解为
xcearctany1
.
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题外:
四 证明20f(sinx)dx2f(cosx)dx0 x0,t2 ,dtdx
证明:令tx,则2x,t02且0
2fsinxdxfcostdt2fsintdt2fcosxdx 得证
2000解:ye
tanxdxsin2xetanxdxdxC12cos3xC2cos2xC
3cosxcosx3二求11lim22nn2n111222nnnnnnn项 2nn11n211n221n2n111 nnnn项解:
1
又 nlim1nn2=1
lim11
n 故
111lim1
222nnnnnnn五、求
y'ytanxsin2x的通解
tanxdx22C32tanxdxdxC1yesin2xecosxCcosx解:计算3cosxcosx31dx1x20. .
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1解:0dx1x2darcsinxarcsinx01102
一 求下列极限
求limx1x1x1 x11xx1limlim1limlim1 解: x1x1x1x1x1x1x1x1x1
limex11x11x1不存在
11limlime 求x1 解: limx1x1x1x11cosx1cosxsinx1limlimlim 求 x0 解: 22x0x0x2x2x
limex11x1不存在
5x5(sin)5tgx12cosx2lim 求lim 原式=6x0[ln(1x)]6x0x2x5sinx求 x0lim12sinxctgx
lim12sinxx0ctgxlim12sinxx01x22x1x12cosx2sinxe2
1x)求 lim(x01x1x2xlim1 原式=x01xe2x01xlime2
三、计算下列各题
1 已知yln(xx2a2)求y, 解:
2xy122xxa2x2a21(x1)(x2),求y'
x31xa22
y3.
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解:
1x1x2y3x323x1x22x3x3x23x21x633x2x3x3x32
3求12xlnxdx 12132解:lnxdxlnxdlnxlnxC
x3求
xe3x2dx
12x21x221x221x22x2x2xdeexe2xdxexeCex1C 22223xxedx解:2
3cosx21cosxdcosxcosxC
求sin3xdx 解:原式=344求xf(x)dx 求
\" 解:原式=
xdfxxfxfxdxxfxfxC
解:lnxdxlnxdxxlnxxdlnxxlnxxC
.
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