[A级 根底稳固]
1．假设x>0，y>0，那么“x＋2y＝22xy〞的一个充分不必要条件是( ) A．x＝y C．x＝2且y＝1 解析：因为x>0，y>0，
所以x＋2y≥22xy，当且仅当x＝2y时取等号．
故“x＝2且y＝1〞是“x＋2y＝22xy〞的充分不必要条件． 答案：C
2．以下结论正确的选项是( ) A．当x>0且x≠1时，lg x＋
1
≥2 lg xB．x＝2y D．x＝y或y＝1
4πB．当x∈0，时，sin x＋的最小值为4
2sin xC．当x>0时，x＋
1
xx≥2
1
D．当0 4 的最小值不为4(因为sin x＝2不成立)； sin x对于C，当x>0时，x＋ 1≥2 xx· 1 x＝2，当且仅当x＝1时等号成立； 13 对于D，当0 A．16 B．9 C．4 D．2 ax－1 ≥5在(1，＋∞)上恒成立，那么a的最小值为 解析：在(1，＋∞)上，x＋2 ＝(x－1)＋＋1≥ x－1x－1 aa〔x－1〕×＋1＝2a＋1(当且仅当x＝1＋a时取等号)，由题意知2a〔x－1〕 a＋1≥5.所以2a≥4，a≥2，a≥4，a的最小值为4. - 1 - 答案：C 4．假设P为圆x＋y＝1上的一个动点，且A(－1，0)，B(1，0)，那么|PA|＋|PB|的最大值为( ) A．2 C．4 B．22 D．42 2 2 2 2 解析：由题意知∠APB＝90°，所以|PA|＋|PB|＝4， |PA|＋|PB|≤|PA|＋|PB|＝2(当且仅当|PA|＝|PB|时取等号)， 所以22 所以|PA|＋|PB|≤22，所以|PA|＋|PB|的最大值为22.应选B. 答案：B 14 5．(多项选择题)a>0，b>0，a＋b＝2，那么对于＋( ) 2 22 ab2 A．取得最值时a＝ 32 C．取得最值时b＝ 3 B．最大值是5 9 D．最小值是 2 解析：因为a>0，b>0，且a＋b＝2， 14114所以＋＝＋(a＋b)＝ ab2ab514ab51＋＋≥＋×222ba22 4ab9·＝， ba2 4ab24 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， ba3314924 故＋的最小值为，此时a＝，b＝. ab233答案：AD a＋b，q＝f 6．(2022·晋冀鲁豫名校联考)函数f(x)＝xe，假设a>0，b>0，p＝f 2 2x22 a＋b2，r＝f(ab)，那么( ) 2 A．q≤r≤p C．r≤p≤q 解析：因为 － B．q≤p≤r D．r≤q≤p a2＋b2a＋b22a2＋2b2a2＋b2＋2ab〔a－b〕2 2 ＝2 4 －4 ＝ 4 ≥0， 所以 a2＋b2a＋b2 2 ≥ . 2 - 2 - a＋b≤a＋b. 又≥ab(a>0，b>0)，所以ab≤222 a＋b又f(x)＝xe在区间(0，＋∞)上单调递增， 2x2 22 a＋b2a2＋b2所以f(ab)≤f ，即r≤q≤p. ≤f 22 答案：D 7．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800 元，假设每批生产x件，那么平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1 元．为使平均到每件产品的生产准 8备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品的件数是( ) A．60 C．100 B．80 D．120 x800x解析：假设每批生产产品x件，那么每件产品的生产准备费用是 元，仓储费用是 元， x8总的费用是 800＋x 元，由根本不等式得800＋x≥2 x8x8 800x800x·＝20，当且仅当＝，即xx8x8 ＝80时取等号． 答案：B 8a＋b2 8．函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0)的图象在点(1，f(1))处的切线的斜率为2，那么ab的最小值是( ) A．10 B．9 2 C．8 D．32 解析：由函数f(x)＝ax＋bx，得f′(x)＝2ax＋b， 由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为2， 所以f′(1)＝2a＋b＝2， 8a＋b18所以＝＋ abab118＝＋(2a＋b) 2ab b16a1＝10＋＋ ab2 1≥10＋22 b16a· ab 1 ＝(10＋8)＝9， 2当且仅当＝ b16a14 ，即a＝，b＝时等号成立， ab33 - 3 - 8a＋b所以的最小值为9. ab答案：B 1 9．一次函数y＝－x＋1的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点，假设动点P(a，b) 2在线段AB上，那么ab的最大值是________，取得最大值时a的值为________． 解析：易知A(2，0)，B(0，1)， 所以线段AB的方程为＋y＝1(0≤x≤2)． 2又点P(a，b)在线段AB上，知＋b＝1(0≤a≤2)， 2所以2 xaab1 ≤1，那么ab≤， 22 a1 当且仅当＝b，即a＝1，且b＝时取等号， 22 11 所以当a＝1，且b＝时，ab有最大值. 221 答案： 1 2 sinx10．(2022·吉安期末检测)函数f(x)＝，那么f(x)的最大值为________． sin x＋2〔t－2〕 解析：设t＝sin x＋2，那么t∈[1，3]，那么sinx＝(t－2)，那么g(t)＝＝2 2 2 2 tt＋－4(1≤t≤3)．由“对勾函数〞的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增t1 函数，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1，即f(x)的最大值为1. 3 答案：1 11．在各项都为正数的等比数列{an}中，假设a2 018＝________． 12 解析：因为{an}为等比数列，所以a2 017·a2 019＝a2 018＝. 2所以 1 212，那么＋的最小值为2a2 017a2 019 4 a2 017a2 019 1 ＋2 ≥22 2 ＝24＝4. a2 017·a2 019 ，即a2 019＝2a2 017时，等号成立． 当且仅当所以 a2 017a2 019 2 ＝ 1 a2 017a2 019 ＋的最小值为4. - 4 - 答案：4 12．(2022·江门模拟)对任意正数x，满足xy＋＝2－4y，那么正实数y的最大值为________． yx2 y122 解析：因为y为正数，xy＋＝2－4y，所以x＋＝－4y. xxy12 因为x＋≥2(x为整数)，所以－4y≥2， xy12 由y>0，得2y＋y－1≤0，解得0 2 [B级 能力提升] 13．(2022·广东汕尾联考)假设直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)经过圆x＋y＋2x－4y＋12 1＝0的圆心，那么＋的最小值为( ) 2 2 abA．4 5C. 2 2 9B. 2D．6 2 解析：圆的标准方程为(x＋1)＋(y－2)＝4， 依题设，圆心(－1，2)在直线ax－by＋2＝0上， 所以a＋2b＝2，且a>0，b>0. 2b2a11219121所以＋＝×(a＋2b)×＋＝×1＋4＋＋≥×(5＋24)＝(当且仅当a＝ab2ab22ab2 b＝时取等号)． 答案：B →→ 14．(2022·广东惠州三调)在△ABC中，点D是AC上一点，且AC＝4AD，P为BD上一点，→→→ 41 向量AP＝λAB＋μAC(λ>0，μ>0)，那么＋的最小值为( ) 23 λμA．16 B．8 C．4 D．2 →→→ 解析：由题意可知，AP＝λAB＋4μAD，又B，P，D共线，由三点共线的充分必要条件可得λ＋4μ＝1， - 5 - 又因为λ>0，μ>0， 414116μλ所以＋＝＋×(λ＋4μ)＝8＋＋≥ λμλμ λμλμ8＋2 16μλ×＝16. 11 当且仅当λ＝，μ＝时等号成立， 28故4 λμ1 ＋的最小值为16. 答案：A 192 15．正数a，b满足＋＝1，假设不等式a＋b≥－x＋4x＋18－m对任意实数x恒成立， ab那么实数m的取值范围是________． 19 解析：因为a>0，b>0，＋＝1， abb9a19所以a＋b＝(a＋b)＋＝10＋＋≥16， ab ab当且仅当＝b9a，即a＝4，b＝12时取等号． ab2 2 依题意，16≥－x＋4x＋18－m，即x－4x－2≥－m对任意实数x恒成立， 又x－4x－2＝(x－2)－6， 所以x－4x－2的最小值为－6， 所以－6≥－m，即m≥6. 答案：[6，＋∞) [C级 素养升华] 16．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元． 解析：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元， 那么y1＝k1x(k1≠0)，y2＝(k2≠0)， 因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以k1＝5， 22 2 k2 xk2＝20， 20所以运费与仓储费之和为5x＋万元， x - 6 - 20 因为5x＋≥2 x20205x×＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小， xx最小为20万元． 答案：2 20 - 7 - 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容