中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程(含解析)(2021年整理)

2017年中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程（含解析）

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2017年中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程（含解析）

《二次根式及一元二次方程》

一、选择题 1．估算

的值（ ）

A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 2．要使

+

有意义，则x应满足( ）

A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3

3．已知方程x+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A．ab B． C．a+b D．a﹣b

4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b)x+2cx+(a+b)=0的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2016年增长7％,若这两年GDP年平均增长率为x%，则x％满足的关系是（ ） A．12%+7%=x% B．（1+12％）（1+7%）=2(1+x%） C．12％+7%=2•x% D．（1+12％)（1+7％)=（1+x%） 6．下列各式计算正确的是（ ） A．B．C．D．

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（a＜1）

7．关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（ ） A．a≥1

B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

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8．设a，b是方程x+x﹣2016=0的两个实数根，则a+2a+b的值为（ ）

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A．2014 B．2017 C．2015 D．2016

9．方程（x﹣3）(x+1）=x﹣3的解是（ ) A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0

10．方程x﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为（ ） A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定

11．定义：如果一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）

A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c

12．如图,已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为(﹣6，4），则△AOC的面积为( )

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A．12 B．9 C．6 D．4

二、填空题 13．化简14．计算15．计算:

+

2

= ． 的结果是 ． = ．

16．如果方程ax+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是 ．

17．设x1，x2是一元二次方程x﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x1+3x1x2+x2的值为 ． 18．已知x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一个根,则m+2mn+n的值为 ．

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19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程: ．（答案不唯一）

20．关于x的一元二次方程x﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x1+x2=7，则（x1﹣x2）的值是 ．

21．若把代数式x﹣2x﹣3化为（x﹣m)+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ． 22．将

根号外面的因式移进根号后等于 ．

的图象上．若正方形

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23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数OABC的面积为1，则k的值为 ；点E的坐标为 ．

三、解答题 24．计算：

25．用配方法解方程：2x+1=3x．

26．已知 关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．

(1）求证:无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当Rt△ABC的斜边长a=的周长．

27．已知一元二次方程x﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围；

（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值． 28．已知关于x的一元二次方程x=2(1﹣m)x﹣m的两实数根为x1,x2 (1)求m的取值范围；

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．

，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC

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(2）设y=x1+x2，当y取得最小值时,求相应m的值，并求出最小值．

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《二次根式及一元二次方程》

参与试题解析

一、选择题 1．估算

的值( )

A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 【考点】估算无理数的大小． 【专题】应用题．

【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断再估算

的范围即可．

＜6

的范围,

【解答】解：∵5＜∴3＜故选C．

＜4

【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算部分和小数部分． 2．要使

+

有意义,则x应满足（ ）

的整数

A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3 【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件．

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，解不等式①得，x≤3， 解不等式②的，x＞,

6

，

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所以,＜x≤3． 故选：D．

【点评】本题考查的知识点为:分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

3．已知方程x+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A．ab B． C．a+b D．a﹣b 【考点】一元二次方程的解．

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程,即可求解． 【解答】解：∵方程x+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0)， ∴(﹣a）+b（﹣a)+a=0, 又∵a≠0，

∴等式的两边同除以a,得a﹣b+1=0， 故a﹣b=﹣1． 故本题选D．

【点评】本题考查的重点是方程根的定义,分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．

4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x+2cx+（a+b）=0的根的情况是( ) A．没有实数根 B．可能有且只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【考点】根的判别式；三角形三边关系．

【分析】由于这个方程是一个一元二次方程,所以利用根的判别式可以判断其根的情况． 能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b,c的式子的符号．

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【解答】解：∵△=（2c)﹣4（a+b）=4[c﹣（a+b）]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）， 根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0． ∴△＜0．

∴该方程没有实数根． 故选A．

【点评】本题是方程与几何的综合题．

主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c)﹣4（a+b）(a+b)进行因式分解．

5．武汉市2016年国内生产总值(GDP）比2015年增长了12%,由于受到国际金融危机的影响,预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x％满足的关系是（ ） A．12%+7%=x％ B．（1+12％）（1+7%）=2（1+x%） C．12%+7%=2•x％ D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%） 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程． 【专题】增长率问题．

【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程,即x％满足的关系式． 【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y,

则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为: 2016年国内生产总值:y（1+x％）或y（1+12％）， 所以1+x％=1+12%，

今年的国内生产总值：y（1+x％)或y（1+12％）(1+7％）， 所以（1+x％)=（1+12％）(1+7%）．

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故选D．

【点评】本题主要考查增长率问题,然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．

6．下列各式计算正确的是( ) A．B．C．D．

（a＜1）

【考点】二次根式的混合运算;立方根．

【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；

B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了; C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了; D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了． 【解答】解：A、B、C、D、故选B．

【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．

7．关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1=0有实数根,则a满足（ ） A．a≥1

B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

2

≠，本答案错误; （a＜1），本答案正确；

，本答案错误;

=

=4≠2，本答案错误．

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【考点】根的判别式． 【专题】判别式法．

【分析】由于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1=0有实数根,那么分两种情况：(1）当a﹣5=0时,方程一定有实数根；（2)当a﹣5≠0时,方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．

【解答】解:分类讨论：

①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根； ②当a﹣5≠0即a≠5时，

∵关于x的方程（a﹣5）x﹣4x﹣1=0有实数根 ∴16+4(a﹣5)≥0， ∴a≥1．

∴a的取值范围为a≥1． 故选:A．

【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac:当△＞0,方程有两个不相等的实数根;当△=0，方程有两个相等的实数根;当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

8．设a，b是方程x+x﹣2016=0的两个实数根，则a+2a+b的值为( ） A．2014

B．2017

C．2015

D．2016

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【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解． 【专题】压轴题．

【分析】由于a+2a+b=（a+a）+(a+b)，故根据方程的解的意义，求得（a+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．

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【解答】解：∵a是方程x+x﹣2016=0的根， ∴a+a=2016；

由根与系数的关系得:a+b=﹣1，

∴a+2a+b=（a+a）+(a+b）=2016﹣1=2015． 故选：C．

【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．

9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是( ） A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得． 【解答】解:∵(x﹣3）(x+1）=x﹣3 ∴（x﹣3）（x+1）﹣(x﹣3）=0 ∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0 ∴x1=0，x2=3． 故选D．

【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．

10．方程x﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( ） A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定

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【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．

【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论,从而得到其周长．

【解答】解：解方程x﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3

∵当底为6,腰为3时,由于3+3=6，不符合三角形三边关系 ∴等腰三角形的腰为6，底为3 ∴周长为6+6+3=15 故选C．

【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．

11．定义：如果一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax+bx+c=0(a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）

A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c 【考点】根的判别式． 【专题】压轴题；新定义．

【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c,代入b﹣4ac=0得(﹣a﹣c）﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系． 【解答】解:∵一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根， ∴△=b﹣4ac=0,

又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，

代入b﹣4ac=0得（﹣a﹣c）﹣4ac=0，

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即（a+c）﹣4ac=a+2ac+c﹣4ac=a﹣2ac+c=（a﹣c）=0, ∴a=c． 故选A

【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； (3）△＜0⇔方程没有实数根．

12．如图，已知双曲线y=(k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D,且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为(﹣6，4），则△AOC的面积为( ）

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A．12 B．9 C．6 D．4

【考点】反比例函数系数k的几何意义． 【专题】压轴题．

【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6,4），根据三角形的面积公式,可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可． 【解答】解:∵OA的中点是D,点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6，

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∴△BOC的面积=|k｜=3． 又∵△AOB的面积=×6×4=12，

∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故选B．

【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=｜k|．

二、填空题 13．化简

= 0 ．

【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0,从而得出结果． 【解答】解:∵1﹣x≥0，x﹣1≥0, ∴x﹣1=0， ∴

=0．

（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被

【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 14．计算

的结果是 4 ．

【考点】算术平方根． 【专题】常规题型．

【分析】根据算术平方根的定答即可． 【解答】解：故答案为:4．

=

=4．

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【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．

15．计算：

+

= 3

．

【考点】二次根式的加减法．

【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式． 【解答】解：原式=2

+

=3

．

【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．

16．如果方程ax+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是 a＜1且a≠0 ． 【考点】根的判别式．

【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中,必须满足下列条件： （1)二次项系数不为零；

（2)在有不相等的实数根下必须满足△=b﹣4ac＞0． 【解答】解：根据题意列出不等式组解之得a＜1且a≠0． 故答案为:a＜1且a≠0．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．

17．设x1，x2是一元二次方程x﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x1+3x1x2+x2的值为 7 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x1+3x1x2+x2=（x1+x2)+x1x2

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，

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进一步代值求解．

【解答】解:由题意，得:x1+x2=3，x1x2=﹣2; 原式=（x1+x2）+x1x2=9﹣2=7． 故答案为：7．

【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．

18．已知x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一个根，则m+2mn+n的值为 1 ． 【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．

【分析】首先把x=1代入一元二次方程x+mx+n=0中得到m+n+1=0,然后把m+2mn+n利用完全平方公式分解因式即可求出结果．

【解答】解：∵x=1是一元二次方程x+mx+n=0的一个根, ∴m+n+1=0， ∴m+n=﹣1，

∴m+2mn+n=(m+n）=(﹣1）=1． 故答案为：1．

【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．

19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程: x=1 ．（答案不唯一） 【考点】一元二次方程的解． 【专题】开放型．

【分析】可以用因式分解法写出原始方程,然后化为一般形式即可．

【解答】解：根据题意x=1得方程式x=1．故本题答案不唯一，如x=1等．

【点评】本题属于开放性试题,主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解

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2017年中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程（含解析）

法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）(y+2）=0,后化为一般形式为y+y﹣2=0．

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20．关于x的一元二次方程x﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2,且x1+x2=7，则（x1﹣x2)的值是 13 ．

【考点】根与系数的关系；根的判别式．

【分析】首先根据根与系数的关系,得出x1+x2和x1x2的值,然后根据x1+x2的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解． 【解答】解：由题意,得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1; 则：(x1+x2）=x1+x2+2x1x2， 即m=7+2(2m﹣1)， 解得m=﹣1,m=5;

当m=5时,△=m﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意; 故m=﹣1,x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；

∴(x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4x1x2=1+12=13．

【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意,以免造成多解、错解．

21．若把代数式x﹣2x﹣3化为（x﹣m）+k的形式，其中m，k为常数，则m+k= ﹣3 ． 【考点】完全平方公式． 【专题】配方法．

【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x﹣2x﹣3=x﹣2x+1﹣4=(x﹣1）﹣4，可知m=1．k=﹣4,则m+k=﹣3．

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2017年中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程（含解析）

【解答】解：∵x﹣2x﹣3=x﹣2x+1﹣4=（x﹣1）﹣4， ∴m=1，k=﹣4， ∴m+k=﹣3． 故答案为:﹣3．

【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）=a±2ab+b． 22．将

根号外面的因式移进根号后等于

．

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2

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【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】计算题．

【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为用乘法公式运算即可． 【解答】解：∵﹣≥0, ∴a＜0,

∴原式=﹣（﹣a）•故答案为﹣

．

=|a|；

=

•

=﹣

=﹣

．

,再利

【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0)为二次根式；（a≥0，b≥0）等．

23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数OABC的面积为1，则k的值为 1 ；点E的坐标为 （

+，

的图象上．若正方形﹣) ．

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2017年中考数学专题练习 二次根式及一元二次方程（含解析）

【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】（1)根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；

（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=(x＞0）求得a的值,即可得出D点坐标．

【解答】解:∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．

∴B点坐标为：（1，1）， 设反比例函数的解析式为y=； ∴xy=k=1，

设正方形ADEF的边长为a，则E(1+a，a）,

代入反比例函数y=（x＞0）得:1=（1+a）a，又a＞0， 解得：a=

﹣．

+，

﹣）．

∴点E的坐标为:（

【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用,考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．

三、解答题 24．计算：

．

【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．

【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时,需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【解答】原式=3+4﹣2

﹣2+

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=5﹣2=3．

+2﹣2

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．

25．用配方法解方程：2x+1=3x． 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【专题】计算题．

【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解． 【解答】解:移项，得2x﹣3x=﹣1， 二次项系数化为1,得配方

，

由此可得∴x1=1，

．

,

， ，

22

【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握． 本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．

26．已知 关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．

（1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

2

2

20

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（2）当Rt△ABC的斜边长a=的周长．

，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC

【考点】根与系数的关系；根的判别式;勾股定理． 【专题】计算题．

【分析】(1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； (2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程,解出b，c即可得出答案． 【解答】解:(1）关于x的一元二次方程x﹣(2k+1）x+4k﹣3=0， △=(2k+1）﹣4(4k﹣3）=4k﹣12k+13=4

2

2

2

+4＞0恒成立，

故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2)根据勾股定理得：b+c=a=31①

因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根, 则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③, 因为（b+c)﹣2bc=b+c=31， 即（2k+1)﹣2(4k﹣3)=31，

整理得：4k+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k﹣k﹣6=0， 解得：k1=3，k2=﹣2,

∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞， ∴k2=﹣2（舍去）, 则b+c=2k+1=7， 又因为a=

，

+7．

2

2

22

2

2

222

则△ABC的周长=a+b+c=

【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△

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＞0恒成立证明（1）,再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．

27．已知一元二次方程x2

﹣2x+m=0． （1）若方程有两个实数根，求m的范围;

(2）若方程的两个实数根为x1，x2,且x1+3x2=3,求m的值． 【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【专题】压轴题．

【分析】(1）一元二次方程x2

﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0,把系数代入可求m的范围；(2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m． 【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根， ∴△=（﹣2)2

﹣4m≥0, 解得m≤1；

（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m， 解方程组

,

解得，

∴m=x1•x2=．

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式,两根关系的运用，要求熟练掌握．

28．已知关于x的一元二次方程x2

=2（1﹣m）x﹣m2

的两实数根为x1，x2 （1）求m的取值范围；

（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．

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【考点】根与系数的关系;根的判别式；一次函数的性质． 【专题】综合题．

【分析】（1)若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b﹣4ac≥0,建立关于m的不等式,可求出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值． 【解答】解：（1）将原方程整理为x+2（m﹣1）x+m=0； ∵原方程有两个实数根，

∴△=[2(m﹣1)]﹣4m=﹣8m+4≥0,得m≤；

2

2

2

2

2

（2）∵x1，x2为一元二次方程x=2（1﹣m）x﹣m,即x+2（m﹣1）x+m=0的两根， ∴y=x1+x2=﹣2m+2,且m≤;

因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．

【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．

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