2021年九年级中考数学复习专题 三角形综合 高频考点专项复习(二)

高频考点专项复习（二）

一．选择题

1．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A．1，

，2

B．4，5，6

C．5，12，13

D．1，2，

2．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是（ ）

A．75° 3．对于下列说法：

B．105° C．115° D．100°

①角平分线上任意一点到角两边的距离相等； ②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合； ③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等； ④直角三角形只有一条高线． 正确的有（ ） A．①②③④

B．①③

C．①②③

D．①②④

4．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（ ）

A．55° B．60° C．65° D．70°

5．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）

A．9 B．13 C．14 D．25

6．小明同学有一块玻璃的三角板，不小心掉到地上碎成了三块，现要去文具店买一块同样的三角板，最省事的是（ ）

A．带②去 B．带①去 C．带③去 D．三块都带去

7．已知：如图，D、E、F分别是△ABC的三边的延长线上一点，且AB＝BF，BC＝CD，AC＝

AE，S△ABC＝5cm2，则S△DEF的值是（ ）

A．15cm2 B．20cm2 C．30cm2 D．35cm2

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD＝1，AD平分∠CAB，交CB于点D，DE垂直平分AB，垂足为E，则AE的长是（ ）

A．1 B． C．2 D．2

9．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG＝2，

ED＝6，则DB+EC的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．9

10．已知，如图，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下列结论：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AC＝AO+AP； 其中正确的序号是（ ）

A．①③④ B．②③ C．①②④ D．①③

11．如图，三角形ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，且BD＝CD，与CD相交于点F，下列结论中

①DF＝DA；②∠A+∠DFE＝180°；③BF＝AC；④若BE平分∠ABC，则CE＝BF 正确有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．如图，△ABC为等腰直角三角形，BF平分∠ABC，交AC于点F，AD⊥BF交BF的延长线于点D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G；下列结论：①AD＝DE；②∠E＝3∠ABD；③AF＝

CF；④AD﹣CG＝GF．其中正确的有（ ）

A．①②③ 二．填空题

B．①②④ C．①③④ D．①②③④

13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（3，4）关于x轴对称的点为B，P（m，0）是x轴上的一动点，当△ABP为等腰直角三角形时，m的值是 ．

14．如图，△ABC中，AC＝7，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，那么△BCE的周长为 ．

15．如图，已知∠C＝90°，AB＝12，BC＝3，CD＝4，AD＝13，则∠ABD＝ ．

16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝8．D是边BC上一点，BD＝6，以

BD为一边向上作正三角形BDE，BE、DE与AC分别交于点F、G，则线段FG的长为 ．

17．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的中线，∠B＝30°，那么∠CAD＝ °．

18．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），过点B作直线l∥x轴，点P（a，2）是线l上的动点，以AP为边在AP右侧作等腰Rt△APQ，使∠APQ＝Rt∠． （1）当a＝0时，则点Q的坐标是 ；

（2）当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动，则点Q运动路线的函数解析式是 ．

三．解答题

19．（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连结BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为 ；BD与AE相交构成的锐角的度数为 ．

（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立？请说明理由．

（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC＝30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ＝2，则DP＝ ．

20．如图，△ABD和△BCE都是等边三角形，AE与CD相交于F，连接BF． （1）求证：AE＝CD； （2）求证：BF平分∠DFE．

21．如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、

BC的方向向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到

达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四边形DAEF的面积为S（cm2）． （1）求S与t的函数关系式；

（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．

22．在△ABC中，AB＝AC，点D平面内一点，M是BD中点，连接AM，作ME⊥AM． （1）如图1，若点E在CD的垂直平分线上，∠BAC＝m°，则求∠DEC的度数（用含m的式子表示）；

（2）如图2，当点D在CA延长线上，且DE⊥BC，若tan∠ABC＝k，则求

的值（用含

k的式子表示）．

23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB．点D为线段BC上一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，点E在射线AB上，连接DE，使得DE＝DA．作点E关于直线BC的对称点F，连接BF，DF． （1）依题意补全图形； （2）求证：∠CAD＝∠BDF；

（3）用等式表示线段AB，BD，BF之间的数量关系，并证明．

24．在ABC中，CA＝CB＝5，∠ACB＝120°，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M＝90°、∠MPN＝30°）按如图所示放置，顶点P在线段AB上滑动，三角尺的直角边PM始终经过点C，并且与CB的夹角∠PCB＝α，斜边PN交AC于点D． （1）当PN∥BC时，判断△ACP的形状，并说明理由．

（2）在点P滑动的过程中，是否存在△ADP≌△BPC．若存在，求出AP长度；若不存在，说明理由．

参

一．选择题 1．解：A、12+（

）2＝22，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；

B、42+52≠62，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意； C、52+122＝132，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意； D、12+22＝（

故选：B．

2．解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°， ∴∠BOC＝105°， 故选：B．

3．解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，正确；

②等腰三角形的底边上的高、中线以及顶角的角平分线互相重合，错误； ③三角形三边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，正确； ④直角三角形有三条高线，错误； 故选：B．

4．解：∵直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°， ∴∠1＝∠4＝40°，∠2＝∠5＝75°， ∴∠3＝65°． 故选：C．

）2，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．

5．解：展开圆柱的半个侧面是矩形，

矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即为12，矩形的宽是圆柱的高5． 根据两点之间线段最短，

知最短路程是矩形的对角线的长，即故选：B．

＝13，

6． C． 7．解：连接AD，EB，FC，如图所示： ∵BC＝CD，三角形中线等分三角形的面积， ∴S△ABC＝S△ACD； 同理S△ADE＝S△ADC， ∴S△CDE＝2S△ABC；

同理可得：S△AEF＝2S△ABC，S△BFD＝2S△ABC，

∴S△EFD＝S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC＝2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC＝7S△ABC； 故答案为：S△EFD＝7S△ABC＝7×5＝35cm2 故选：D．

8．解：∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝60°， ∵AD平分∠CAB，DE⊥AB

∴∠CAD＝∠BAD＝30°，DE＝CD＝1，

在△AED中，∠DEA＝90°，DE＝1，∠EAD＝30°， ∴AD＝2DE＝2， ∴AE＝故选：B．

＝

＝

，

9．B．

10．解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；

∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°， ∴∠PAC＝∠DAC，

∴AC平分∠PAD，故①正确；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO， ∵点O是线段AD上一点，

∴∠ABO与∠DBO不一定相等，则∠APO与∠DCO不一定相等， 故②不正确；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°， ∴∠APC+∠DCP＝150°， ∵∠APO+∠DCO＝30°， ∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°， ∵OP＝OC，

∴△OPC是等边三角形； 故③正确；

④如图，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△APE是等边三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA， ∴∠APO+∠OPE＝60°，

∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°， ∴∠APO＝∠CPE， ∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中，

，

∴△OPA≌△CPE（SAS）， ∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP； 故④正确． 故选：A． 11．解：如图所示：

∵CD⊥AB，BE⊥AC，

∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∠BEA＝90°， 又∵∠ABE+∠A+∠BEA＝180°， ∠ACD+∠A+CDA＝180°， ∴∠DBF＝∠ACD， 在△BDF和△CDA中，

，

∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴DF＝DA，BF＝AC ∴结论①、③正确；

又∵∠FDA+∠A+∠AEF+∠EFD＝360°， ∠FDA＝∠FEA＝90°， ∴∠A+∠DFE＝180°，

∴结论②正确； ∵CD⊥AB，BD＝CD， ∴∠ABC＝45°， 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝

又∵∠BEA＝90°， ∴∠A＝67.5°，

又∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝67.5°， ∴△ABC是等腰三角形， ∴CE＝

，

，

又∵BF＝AC， ∴CE＝BF， ∴结论④正确；

综合所述，正确结论为①、②、③、④； 故选：D．

12．解：如图，过点F作FT⊥AB于T，过点C作CJ⊥AE于J．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBE＝22.5°， ∵BD⊥AB，

∴∠ADB＝∠BDE＝90°， ∴∠BAD＝∠BED＝67.5°，

∴BA＝BE， ∵BD⊥AE，

∴AD＝DE，故①正确，

∵∠CAE＝∠BAE﹣∠CAB＝22.5°，∠E＝67.5°， ∴∠E＝3∠CAE，故②正确， ∵BF平分∠ABC，FT⊥AB，FC⊥BC， ∴FC＝FT，

∵∠FTA＝90°，∠FAT＝45°， ∴∠TAF＝∠TFA＝45°， ∴AT＝TF， ∴AF＝

FT＝CF，故③正确，

在△BCF和△ACE中，

，

∴△BCF≌△ACE（ASA）， ∴CF＝CE，

∵CG⊥BD，CJ⊥AE，BD⊥AE， ∴∠CGD＝∠CJD＝∠GDJ＝90°， ∴四边形CGDJ是矩形，

∴∠GCT＝∠FCE＝90°，CG＝DJ， ∴∠GCF＝∠JCE， 在△CGF和△CJE中，

，

∴△CGF≌△CJE（AAS）， ∴GF＝JE，

∵AD＝DE＝DJ+JE＝CG+FG，故④正确， 故选：D．

二．填空题（共6小题）

13．解：因为A（3，4）关于x轴对称的点为B可得点B的坐标为（3，﹣4）， 可得：AB＝8，

，

因为P（m，0）是x轴上的一动点，当△ABP为等腰直角三角形时， 可得：AP＝BP＝4

，

可得：点P的坐标为（﹣1，0）或（7，0）， 故答案为：﹣1或7．

14．解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB，

∴△BCE的周长＝BC+BE+EC＝BC+EA+EC＝BC+AC＝11， 故答案为：11．

15．解：在直角△BCD中，∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝4， ∴BD＝5，

在△ABD中，∵AD2＝132＝AB2+BD2＝122+52， ∴∠ABD＝90°， 故答案为：90°．

16．解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°， ∴∠A＝60°，AB＝BC•tan∠C＝8×∵三角形BDE是等边三角形， ∴∠EBD＝∠BDE＝60°，

∴∠ABF＝∠ABC﹣∠EBD＝90°﹣60°＝30°，

∠AFB＝180°﹣∠A﹣∠ABF＝180°﹣60°﹣30°＝90°． ∵在△ABF中，∠AFB＝90°，∠ABF＝30°， ∴AF＝AB＝

．

＝

，AC＝2AB＝

．

∵∠BDE＝60°，∠C＝30°，

∴∠DGC＝∠BDE﹣∠C＝60°﹣30°＝30°， ∴∠DGC＝∠C＝30°， ∴DG＝CD＝BC﹣BD＝8﹣6＝2．

如图，过D作DH⊥AC于H，则GC＝2HC．

∵在△CDH中，∠CHD＝90°，∠C＝30°， ∴DH＝CD＝1，CH＝∴GC＝2

，

﹣

﹣2

＝2

．

DH＝，

∴FG＝AC﹣AF﹣GC＝故答案为：2

．

17．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠B+∠BAD＝90°， ∵∠B＝30°， ∴∠BAD＝60°， ∴∠CAD＝60°， 故答案为：60．

18．解：（1）a＝0时，P与B重合，如图1所示： 过Q作QM⊥y轴于M， ∵A（1，0），B（0，2）， ∴AO＝1，BO＝2，

∵△APQ是等腰直角三角形， ∴∠ABQ＝90°，BA＝BQ，

由角的互余关系得：∠ABO＝∠BQM， 在△BQM和△ABO中，

，

∴△BQM≌△ABO（AAS）， ∴BM＝AO＝1，QM＝BO＝2， ∴OM＝OB+BM＝3，

∴点Q的坐标是（2，3）； 故答案为：（2，3）；

（2）过点P作PE⊥OA于E，过点Q作QF⊥BP于F，如图2所示： ∵BP∥OA，PE⊥OA， ∴∠EPF＝∠PEO＝90°． ∵∠APQ＝90°，

∴∠EPA＝∠FPQ＝90°﹣∠APF， 又∵PA＝PQ，

∴△PEA≌△PFQ（AAS）， ∴PE＝PF，AE＝QF， ∵点P的坐标为（a，2）， ∴PF＝PE＝2，QF＝AE＝|2﹣a|， ∴点Q的坐标为（a+2，4﹣a）．

∵无论a为何值，点Q的坐标（a+3，4﹣a）都满足一次函数解析式y＝﹣x+7， ∴点Q始终在直线y＝﹣x+7上运动， 即则点Q运动路线的函数解析式是y＝﹣x+7， 故答案为：y＝﹣x+7．

三．解答题（共6小题）

19．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，

由三角形的外角性质，∠DPE＝∠AEC+∠BDC， ∠DCE＝∠BDC+∠DBC， ∴∠DPE＝∠DCE＝60°； 故答案为：相等，60°； （2）成立．

证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠ACE＝∠BCD， 在△ACE和△BCD中，

，

∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC， 又∵∠DNA＝∠ENC， ∴∠DPE＝∠DCE＝60°． （3）补全图形如图③，

由（1）（2）可知△AEC≌△BDC， ∴∠AEC＝∠BDC＝30°， ∵△DEC为等边三角形， ∴∠DEC＝∠EDC＝60°，

∴∠DEP＝∠DEC﹣∠CEP＝60°﹣30°＝30°， ∠PDE＝∠BDC+∠EDC＝60°+30°＝90°， ∴∠DPQ＝60°， ∴∠DQP＝90°， ∵PQ＝2，

∴DP＝2PQ＝2×2＝4． 故答案为：4．

20．证明：（1）∵△ABD和△BCE都是等边三角形， ∴DB＝AB，BC＝BE，∠DBA＝∠CBE＝60°， ∴∠DBC＝∠ABE， 在△DBC和△ABE中，

，

∴△DBC≌△ABE（SAS）， ∴AE＝CD；

（2）如图，过点B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于E，

∵△DBC≌△ABE， ∴S△DBC＝S△ABE， ∴CD×BM＝AE×BN， ∴BM＝BN，

又∵BM⊥CD，BN⊥AE， ∴BF平分∠DFE．

21．解：（1）由题可知：BE＝t，BF＝2t，CF＝20﹣2t，AE＝10﹣t， ∴S＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△CDF ＝

＝﹣t2+10t+100；

（2）由勾股定理可得：EF2＝BE2+BF2＝t2+（2t）2＝5t2，

DF2＝CD2+CF2＝102+（20﹣2t）2＝4t2﹣80t+500， DE2＝AE2+AD2＝（10﹣t）2+202＝t2﹣20t+500，

①当DE＝DF时，DE2＝DF2， 即t2﹣20t+500＝4t2﹣80t+500，

解得：t1＝0，t2＝20，都不符合题意，舍去， ②当DE＝EF时，DE2＝EF2， 即t2﹣20t+500＝5t2， 解得：

（不符合题意，舍去），

，

③当EF＝DF时，EF2＝DF2， 即5t2＝4t2﹣80t+500， 解得：

，

（不符合题意，舍去），

综上所述，当△DEF为等腰三角形时，或．

22．解：（1）如图1中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接BK，EK，AD，KD，延长KD交AC于N．

∵M是BD的中点， ∴BM＝MD， ∵MA＝MK，

∴四边形ABKD是平行四边形， ∴AB∥DK，AB＝DK， ∵AB＝AC， ∴DK＝AC， ∵EM⊥AK，AM＝MK， ∴EA＝EK，

∵点E在CD的垂直平分线上， ∴ED＝EC，

∴△AEC≌△KED（SSS）， ∴∠EAC＝∠EKD，∠AEC＝∠KED， ∴∠AKN＝∠KEA，∠KEA＝∠DEC， ∴∠DEC＝∠ANE， ∵AB∥DK，∠BAC＝m°， ∴∠ANK+∠BAC＝180°， ∴∠DEC＝180°﹣m°．

（2）如图2中，延长AM到K，使得MK＝AM，连接AE，BK，EK，DK，延长DK交CB的延

长线于N，过点E作EP⊥AN于P，EQ⊥CD于Q．

∵M是BD是中点， ∴BM＝DM， ∵MA＝MK，

∴四边形ABKD是平行四边形， ∴DN∥AB，DK＝AB＝AC， ∴∠DNC＝∠ABC＝∠ACB， ∴DN＝DC， ∵DE⊥CN， ∴∠EDP＝∠EDQ， ∵EP⊥DN，EQ⊥DC， ∴EP＝EQ， ∵ME⊥AK，MA＝MK， ∴AE＝EK，

∵∠EQA＝∠EPK＝90°， ∴Rt△EPK≌Rt△EQA（HL）， ∴∠EKP＝∠EAQ， ∴△KED≌△AEC（SAS）， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠ECQ，

∵∠EDC+∠DCB＝90°，∠ECQ+∠CEQ＝90°， ∴∠CEQ＝∠ACB， ∴tan∠ACB＝k＝tan∠QEC＝

，

∴＝．

23．解：（1）如图所示：

（2）证明：

∵∠ACB＝90°，CA＝CB， ∴∠BAC＝∠CBA＝45°， ∴∠CAD+∠DAB＝45°， ∵DA＝DE， ∴∠DAE＝∠DEB，

∵∠DBA是△DBE的一个外角， ∴∠EDB+∠DEB＝∠DBA＝45°， ∴∠EDB＝∠CAD，

∵点E关于直线BC的对称点F， ∴∠EDB＝∠FDB， ∴∠CAD＝∠FDB；

（3）线段AB，BD，BF之间的数量关系是AB﹣BF＝证明：过点D作AC的平行线交AB于M点，

BD，

∴∠C＝∠MDB＝90°，∠CAB＝∠DMB＝45°， ∴∠DMB＝∠DBM， ∴DM＝DB， ∴MB＝

BD，

∵点E关于直线BC的对称点F， ∴DE＝DF， ∵AD＝DE， ∴AD＝DF， ∵AC∥MD， ∴∠CAD＝∠ADM， ∵∠CAD＝∠FDB， ∴∠ADM＝∠FDB， ∴△ADM≌△FDB（SAS）， ∴AM＝BF，

∴AB﹣BF＝AB﹣AM＝MB， 又∵MB＝∴AB﹣BF＝

BD， BD．

24．解：（1）当PN∥BC时，△ACP是直角三角形， 理由：∵PN∥BC，∠MNP＝30°， ∴∠MNP＝∠PCB＝30°， ∵∠ACB＝120°，

∴∠ACP＝∠ACB﹣∠PCB＝90°， ∴△ACP是直角三角形；

（2）在点P滑动的过程中，存在△ADP≌△BPC，

∵∠ACB＝120°，CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝30°，

∵∠APC＝∠B+∠PCB，∠APC＝∠DPA+∠MNP，∠MNP＝30°， ∴30°+∠PCB＝∠DPA+30°， ∴∠PCB＝∠DPA， ∵△ADP≌△BPC， ∴AP＝BC， ∵BC＝5， ∴AP＝5．