最新北师版初中数学九年级上册特殊的平行四边形(含中考真题解析)

☞解读考点 知 识 点 名师点晴 会从边、角、对角线方面通过合情推理提出性质猜想，1．矩形的性并用演绎推理加以证明；能运用矩形的性质解决相关质 矩形 问题． 会用判定定理判定平行四边形是否是矩形及一般四边2．矩形的判定 形是否是矩形 1．菱形性质 菱形 2．菱形的判能利用定理解决一些简单的问题 别 1．正方形的性质 正方形 2．正方形判定 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形之间的相互关系，能够熟练运用正方形的性质解决具体问题 掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题，发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明

☞2年中考 【2015年题组】

1．（2015崇左）下列命题是假命题的是（ ）

能应用这些性质计算线段的长度 1

A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形． B．对角线互相垂直的矩形是正方形． ．对角线相等的菱形是正方形．

D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形． 【答案】D．

考点：1．正方形的判定；2．平行四边形的判定；3．菱形的判定；4．矩形的判定．

2．（2015连云港）已知四边形ABD，下列说法正确的是（ ） A．当AD=B，AB∥D时，四边形ABD是平行四边形 B．当AD=B，AB=D时，四边形ABD是平行四边形 ．当A=BD，A平分BD时，四边形ABD是矩形 D．当A=BD，A⊥BD时，四边形ABD是正方形 【答案】B． 【解析】

试题分析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴A不正确； ∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴B正确； ∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴不正确；

2

∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，∴D不正确； 故选B．

考点：1．平行四边形的判定；2．矩形的判定；3．正方形的判定．

3．（2015徐州）如图，菱形中，对角线A、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABD的周长为28，则OE的长等于（ ）

A．35 B．4 ．7 D．14 【答案】A． 【解析】

试题分析：∵菱形ABD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，

11∴OE是△ABD的中位线，∴OE=2AB=2×7=35．故选A．

考点：菱形的性质．

4．（2015柳州）如图，G，E分别是正方形ABD的边AB，B的点，且AG=E，AE⊥EF，

1AE=EF，现有如下结论：①BE=2GE；②△AGE≌△EF；③∠FD=45°；④△GBE∽△EH

其中，正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【答案】B．

3

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．相似三角形的判定与性质；4．综合题．

5．（2015内江）如图所示，正方形ABD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABD内，在对角线A上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）

A．3 B．23 ．26 D．6 【答案】B．

4

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．最值问题；3．正方形的性质．

6．（2015南充）如图，菱形ABD的周长为8c，高AE长为3c，则对角线A长和BD长之比为（ ）

A．1：2 B．1：3 ．1：2 D．1：3 【答案】D． 【解析】

试题分析：如图，设A，BD相较于点O，∵菱形ABD的周长为8c，∴AB=B=2c，

22∵高AE长为3c，∴BE=ABAE=1（c），∴E=BE=1c，∴A=AB=2c，∵OA=1c，

22A⊥BD，∴OB=ABOA=3（c），∴BD=2OB=23c，∴A：BD=1：3．故选

D．

考点：菱形的性质．

7．（2015安徽省）如图，矩形ABD中，AB＝8，B＝4．点E在边AB上，点F在边D上，点G、H在对角线A上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ） A．25 B．35 ．5 D．6

5

【答案】．

考点：1．菱形的性质；2．矩形的性质．

8．（2015十堰）如图，正方形ABD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若E=35，且∠EF=45°，则F的长为（ ）

5101052103533A． B． ． D． 【答案】A．

6

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．勾股定理；3．正方形的性质；4．综合题；5．压轴题．

9．（2015鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B11D1、D1E1E2B2、A2B22D2、D2E3E4B3、A3B33D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点1、E1、E2、2、E3、E4、3…在轴上，已知正方形A1B11D1的边长为1，∠B11O=60°，B11∥B22∥B33…则正方形A2015B20152015D2015的边长是（ ）

12014120153201532014（）（）（）（）A．2 B．2 ．3 D．3

7

【答案】D．

考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．

10．（2015广安）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABD四边的中点，AB=6c，∠AB=60°，则四边形EFGH的面积为 c2．

【答案】93． 【解析】

试题分析：连接A，BD，相交于点O，如图所示，∵E、F、G、H分别是菱形四边

11上的中点，∴EH=2BD=FG，EH∥BD∥FG，EF=2A=HG，∴四边形EHGF是平行四边

形，∵菱形ABD中，A⊥BD，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵四边形ABD是

1菱形，∠AB=60°，∴∠ABO=30°，∵A⊥BD，∴∠AOB=90°，∴AO=2AB=3，∴122ABOAA=6，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB==33，∴BD=63，∵EH=2BD，1EF=2A，∴EH=33，EF=3，∴矩形EFGH的面积=EF•FG=93c2．故答案为：93．

8

考点：1．中点四边形；2．菱形的性质．

11．（2015凉山州）菱形ABD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线O上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 ．

【答案】（233，23）．

的交点，∴点P的坐标为方程组

3xy3y(13)x19

x233y23，的解，解方程组得：

所以点P的坐标为（233，23），故答案为：（233，23）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题；4．动点型；5．压轴题；6．综合题．

12．（2015潜江）菱形ABD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），动点P从点A出发，沿A→B→→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒05个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为 ．

【答案】（05，

32）．

考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．规律型；4．综合题． 13．（2015北海）如图，已知正方形ABD的边长为4，对角线A与BD相交于点O，点E在D边的延长线上．若∠AE=15°，则AE= ．

10

【答案】8． 【解析】

试题分析：∵正方形ABD的边长为4，对角线A与BD相交于点O，∴∠BA=45°，AB∥D，∠AD=90°，∵∠AE=15°，∴∠E=∠BAE=∠BA﹣∠AE=45°﹣15°=30°．∵在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，∴AE=2AD=8．故答案为：8． 考点：1．含30度角的直角三角形；2．正方形的性质．

14．（2015南宁）如图，在正方形ABD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．

【答案】45°．

考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．

15．（2015玉林防城港）如图，已知正方形ABD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边B，D的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．

11

9【答案】2．

【解析】

试题分析：如图1所示，作E关于B的对称点E′，点A关于D的对称点A′，连接A′E′，四边形AEPQ的周长最小，∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，∴AA′=6，AE′=4．∵DQ∥AE′，D是AA′的中点，∴DQ是△AA′E′的中位线，∴

1DQ=2AE′=2；Q=D﹣Q=3﹣2=1，∵BP∥AA′，∴△BE′P∽△AE′A′，∴

BPBE'BP133332=2，AA'AE'，4，即6BP=2，P=B﹣BP=S四边形AEPQ=S正方形ABD1111﹣S△ADQ﹣S△PQ﹣SBEP=9﹣2AD•DQ﹣2Q•P﹣2BE•BP=9﹣2×3×2﹣1313992×1×2﹣2×1×2=2，故答案为：2．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．正方形的性质．

16．（2015达州）在直角坐标系中，直线yx1与y轴交于点A，按如图方式作正方形A1B11O、A2B221、A3B312…，A1、A2、A3…在直线yx1上，点1、2、3…在轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到游依次记为则

SnS1、

S2、

S3、…

Sn，

的值为 （用含n的代数式表示，n为正整数）．

12

【答案】22n3．

故答案为：22n3．

考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．

17．（2015齐齐哈尔）如图，正方形ABB1中，AB=1．AB与直线l的夹角为30°，延长B1交直线l于点A1，作正方形A1B11B2，延长1B2交直线l于点A2，作正方形A2B22B3，延长2B3交直线l于点A3，作正方形A3B33D4，…，依此规律，则A2014A2015= ．

13

【答案】2(3)2014．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．18．（2015梧州）如图，在正方形ABD中，点P在AD上，且不与A、D重合，BP的垂直平分线分别交D、AB于E、F两点，垂足为Q，过E作EH⊥AB于H． （1）求证：HF=AP；

（2）若正方形ABD的边长为12，AP=4，求线段EQ的长．

1010【答案】（1）证明见试题解析；（2）3．

【解析】

14

考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．综合题．

19．（2015恩施州）如图，四边形ABD、BEFG均为正方形，连接AG、E． （1）求证：AG=E； （2）求证：AG⊥E．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析． 【解析】

试题分析：（1）由ABD、BEFG均为正方形，得出AB=B，∠AB=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠BE，从而得到△ABG≌△BE，即可得到结论；

（2）由△ABG≌△BE，得出∠BAG=∠BE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=

15

∠MN，得出∠BE+∠MN=90°，证出∠NM=90°即可．

试题解析：（1）∵四边形ABD、BEFG均为正方形，∴AB=B，∠AB=∠GBE=90°，BG=BE，∴∠ABG=∠BE，在△ABG和△BE中，∵AB=B，∠ABG=∠BE，BG=BE，∴△ABG≌△BE（SAS），∴AG=E；

（2）如图所示：∵△ABG≌△BE，∴∠BAG=∠BE，∵∠AB=90°，∴∠BAG+∠AMB=90°，∵∠AMB=∠MN，∴∠BE+∠MN=90°，∴∠NM=90°，∴AG⊥E．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质． 20．（2015武汉）已知锐角△AB中，边B长为12，高AD长为8．

（1）如图，矩形EFGH的边GH在B边上，其余两个顶点E、F分别在AB、A边上，EF交AD于点K．

EF①求AK的值；

②设EH=，矩形EFGH的面积为S，求S与的函数关系式，并求S的最大值； （2）若AB=A，正方形PQMN的两个顶点在△AB一边上，另两个顶点分别在△AB的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长．

3324240Sx(8x)2【答案】（1）①2；②， S的最大值是24；（2）5或49．

16

AKEFEFBC123EF试题解析：（1）①∵EF∥B，∴ADBC，∴AKAD=8=2，即AK的值是32；

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．二次函数的最值；3．矩形的性质；4．正方形的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．

21．（2015荆州）如图1，在正方形ABD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交D于F． （1）P=PE；

（2）求∠PE的度数；

（3）如图2，把正方形ABD改为菱形ABD，其他条件不变，当∠AB=120°时，连

17

接E，试探究线段AP与线段E的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见试题解析；（2）90°；（3）AP=E． 【解析】

试题分析：（1）先证出△ABP≌△BP，得到PA=P，由PA=PE，得到P=PE； （2）由△ABP≌△BP，得到∠BAP=∠BP，进而得到∠DAP=∠DP，由PA=P，得到∠DAP=∠E，∠DP=∠E，最后∠PF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论．

考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的性质；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．

【2014年题组】

18

1．（2014·宜宾） 如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（ ）

11 A．n B．n﹣1 ．（4）n﹣1 D．4n

【答案】B． 【解析】

11试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的4，即是4×4=1，5

个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n﹣1）=n﹣1． 故选B．

考点：1．正方形的性质2．全等三角形的判定与性质．

2．（2014·山东省淄博市）如图，矩形纸片ABD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点．则矩形的一边AB的长度为（ ）

A． 1 B．2 【答案】．

．3

D． 2

19

考点：1．勾股定理；2．线段垂直平分线的性质；3．矩形的性质．

3．（2014山东省聊城市）如图，在矩形ABD中，边AB的长为3，点E，F分别在AD，B上，连接BE，DF，EF，BD．若四边形BEDF是菱形，且EF=AE+F，则边B的长为（ ）

A． 23 B． 【答案】B． 【解析】

试题分析：∵四边形ABD是矩形，∴∠A=90°，即BA⊥BF，∵四边形BEDF是菱形

，

∴EF⊥BD

，

∠EBO=∠DBF

，

∴AB=BO=3

，

∠ABE=∠EBO

，

3 3 ．63

93 D．2

BO23∴∠ABE=∠EBD=∠DB=30°，∴BE=cos30，∴BF=BE=23，∵EF=AE+F， 20

AE=F，EO=FO

∴F=AE=3，∴B=BF+F=33，故选B． 考点：1．矩形的性质；2．菱形的性质．

4．（2014·广西宾市）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（ ） A． 等腰梯形 B． 矩形 ． 菱形 【答案】B．

D． 正方形

考点：1．正方形的判定；2．三角形中位线定理；3．菱形的性质．

5．（2014·贵州铜仁市）如图所示，在矩形ABD中，F是D上一点，AE平分∠BAF交B于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE=3，AE=26，则MF的长是（ ）

1515 A．15 B．10 ．1 D． 15

【答案】D．

21

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．角平分线的性质；3．勾股定理；4．矩形的性质．

16．（2014·襄阳）如图，在矩形ABD中，点E，F分别在边AB，B上，且AE=3AB，

将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ ．①③ D．①④ 【答案】D． 【解析】

1试题分析：∵AE=3AB，∴BE=2AE．

22

1由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°．∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=21（180°﹣∠AEP）=2（180°﹣60°）=60°．∴∠EFB=90°﹣60°=30°．

∴EF=2BE．故①正确． ∵BE=PE，∴EF=2PE．

∵EF＞PF，∴PF＞2PE．故②错误．

由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°．∴BE=2EQ，EF=2BE． ∴FQ=3EQ．故③错误．

由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°． ∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°． ∴△PBF是等边三角形．故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选D．

考点：1．矩形的性质；2．含30度角直角三角形的判定和性质；3．等边三角形的判定．

7．（2014·宁夏）菱形ABD中，若对角线长A=8c，BD=6c，则边长AB= c． 【答案】5．

23

考点：1．菱形的性质；2．勾股定理．

8．（2014·山东省聊城市）如图，四边形ABD是平行四边形，作AF∥E，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，E交DF于H点、交BE于E点． 求证：△EB≌△FDA．

【答案】证明见解析．

考点：1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定．

9．（2014·梅州）如图，在正方形ABD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：E=F；

24

（2）若点G在AD上，且∠GE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？

【答案】（1）证明见解析；（2）GE=BE+GD成立，理由见解析． 【解析】

试题分析：（1）由DF=BE，四边形ABD为正方形可证△EB≌△FD，从而证出E=F． （2）由（1）得，E=F，∠BE+∠ED=∠DF+∠ED即∠EF=∠BD=90°又∠GE=45°所以可得∠GE=∠GF，故可证得△EG≌△FG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．

试题解析：（1）在正方形ABD中，∵B=D，∠B=∠DF，BE=DF，∴△BE≌△DF（SAS）．∴E=F．

（2）GE=BE+GD成立．理由是：

考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的性质．

☞考点归纳 归纳 1：矩形 基础知识归纳：

25

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质 （2）矩形的四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等 （4）矩形是轴对称图形 3、矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 （2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形 （3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

基本方法归纳：关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

注意问题归纳：证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

【例1】如图，在矩形ABD中，对角线A、BD相交于点O，∠AB＝30°，则∠AOB的大小为（ ）

A、30° B、60° 、90° D、120° 【答案】B．

26

考点：矩形的性质． 归纳 2：菱形 基础知识归纳： 1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质 （2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 （4）菱形是轴对称图形 3、菱形的判定

（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形 （2）定理1：四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 4、菱形的面积

S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半

注意问题归纳：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．

【例2】如图，已知A、BD是菱形ABD的对角线，那么下列结论一定正确的是（ ）．

27

（A）△ABD与△AB的周长相等； （B）△ABD与△AB的面积相等； （）菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； （D）菱形的面积等于两条对角线之积的两倍．

【答案】B．

考点：菱形的性质． 归纳 3：正方形 基础知识归纳： 1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角

28

线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等． 注意问题归纳：正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．

【例3】如图，ABD是正方形场地，点E在D的延长线上，AE与B相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣的路径行走至，乙沿着A﹣F﹣E﹣﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是（ ）

A． 甲乙丙 B． 甲丙乙 ． 乙丙甲 D． 丙甲乙 【答案】B．

考点：正方形的性质． ☞1年模拟

1．（2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模）下列说法中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线互相平分

29

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 ．菱形的对角线互相垂直

D．对角线互相垂直的四边形是菱形 【答案】D． 【解析】

试题分析：根据平行四边形的菱形的性质得到A、B、选项均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形．故选D． 考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的判定与性质．

2．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在矩形ABD中，对角线A，BD相交于点O，∠AB=30°，则∠AOB的大小为（ ）

A．30° B．60° ．90° D．120° 【答案】B．

考点：矩形的性质．

3．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在边长为2的菱形ABD中，∠B=45°，AE为B边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB1E，则△AB1E与四边形AED重叠部分的面积为（ ）

30

2A．07 B．09 ．22−2 D．2

【答案】． 【解析】

试题分析：如图，∵∠B=45°，AE⊥B，∴∠BAE=∠B=45°，∴AE=BE，由勾股定理得：BE2+AE2=22，解得：BE=2，由题意得：△ABE≌△AB1E，∴∠BAB1=2∠BAE=90°，BE=B1E=2，∴BB1=22，B1=22-2，∵四边形ABD为菱形，∴∠FB1=∠B=45°，∠FB1=∠BAB1=90°，∴∠B1F=45°，F=B1F，∵F∥AB，∴△FB1

CFB1C∽△BAB1，∴ABBB1，解得：F=2-2，∴△AEB1、△FB1的面积分别为：

11221(22)23222，2，∴△AB1E与四边形AED重叠部分的面积

=1(322)222．故选．

考点：1．菱形的性质；2．翻折变换（折叠问题）．

4．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，菱形OAB的顶点O在坐标系原点，顶点A在轴上，∠B=120°，OA=2，将菱形OAB绕原点O顺时针旋转105°至OA′B′′的位置，则点B′的坐标为（ ）

31

A．（-2，2） B．（2，-2） ．（2，-2） D．（3，-3） 【答案】B．

考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形变化-旋转．

5．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABD中，点E，F分别

1在边AB，B上，且AE=3AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点

P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）

32

A．①② B．②③ ．①③ D．①④ 【答案】D．

综上所述，结论正确的是①④．故选D．

考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质．

6．（2015届山东省日照市中考一模）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=B，②∠AB=90°，③A=BD，④A⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ）

33

A．①② B．②③ ．①③ D．②④ 【答案】B．

考点：正方形的判定．

7．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，在矩形ABD中，AB=3，AD=1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′′D′，点′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是 ．

324． 【答案】

34

考点：1．旋转的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算．

8．（2015届河北省中考模拟二）如图，在矩形ABD中，AB=3，⊙O与边B，D相切，现有一条过点B的直线与⊙O相切于点E，连接BE，△ABE恰为等边三角形，则⊙O的半径为 ．

【答案】6-33． 【解析】

试题分析：过O点作GH⊥B于G，交BE于H，连接OB、OE，∴G是B的切点，OE⊥BH，∴BG=BE，∵△ABE为等边三角形，∴BE=AB=3，∴BG=BE=3，∵∠HBG=30°，∴GH=3，BH=23，设OG=OE=，则EH=23-3，OH=3-，在RT△OEH中，EH2+OE2=OH2，即（23-3）2+2=（3-）2，解得=6-33，∴⊙O的半径为6-33．故答案为：6-33．

35

考点：1．切线的性质；2．矩形的性质．

9．（2015届山东省日照市中考一模）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则△AB的面积为 ．

1【答案】4．

考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质；3．含30度角的直角三角形． 10．（2015届山东省青岛市李沧区中考一模）如图，正方形ABD和正方形EFG中，点D在G上，B=1，E=3，H是AF的中点，那么H的长是 ．

【答案】5．

36

考点：1．正方形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理． 11．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟）如图，已知Rt△AB中，∠AB=90°，先把△AB绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△AB沿射线平移至△FEG，DE、FG相交于点H．

（1）判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由； （2）连结G，求证：四边形BEG是正方形．

【答案】（1）FG⊥ED．理由见解析；（2）证明见解析． 【解析】

37

考点：1．旋转的性质；2．正方形的判定；3．平移的性质；4．探究型． 12．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，已知点E，F分别是□ABD的边B，AD上的中点，且∠BA=90°．

（1）求证：四边形AEF是菱形；

（2）若∠B=30°，B=10，求菱形AEF面积．

2532【答案】（1）见解析（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用平行四边形的性质和菱形的性质即可判定四边形AEF是菱形； （2）连接EF交于点O，运用解直角三角形的知识点，可以求得A与EF的长，再利用菱形的面积公式即可求得菱形AEF的面积．

试题解析：（1）证明：∵四边形ABD是平行四边形，∴AD∥B，AD=B．

1在Rt△AB中，∠BA=90°，点E是B边的中点，∴AE=E=2B． 1同理，AF=F=2AD．

38

∴AF=E．

∴四边形AEF是平行四边形． ∴平行四边形AEF是菱形．

考点：1．菱形的性质；2．平行四边形的性质；3．解直角三角形．

13．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，▱ABD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于的一元二次方程2-7+12=0的两个根，且OA＞OB．

（1）求sin∠AB的值；

16（2）若E为轴上的点，且S△AOE=3，求经过D、E两点的直线的解析式，并判

断△AOE与△DAO是否相似？

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

39

475【答案】（1）5．（2）△AOE∽△DAO．（3）F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（14，2242447），F4（-25，25）．

【解析】

试题分析：（1）求得一元二次方程的两个根后，判断出OA、OB长度，根据勾股定理求得AB长，那么就能求得sin∠AB的值；

（2）易得到点D的坐标为（6，4），还需求得点E的坐标，OA之间的距离是一定的，那么点E的坐标可能在点O的左边，也有可能在点O的右边．根据所给的面积可求得点E的坐标，把A、E代入一次函数解析式即可．然后看所求的两个三角形的对应边是否成比例，成比例就是相似三角形；

（3）根据菱形的性质，分A与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及A与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．

试题解析：（1）解2-7+12=0，得1=4，2=3．∵OA＞OB ，∴OA=4，OB=3．在Rt

OA4OAOB5△AOB中，由勾股定理有AB=，∴sin∠AB=AB5；

22

（3）根据计算的数据，OB=O=3，∴AO平分∠BA，①A、AF是邻边，点F在射线AB上时，AF=A=5，所以点F与B重合，即F（-3，0）；

40

②A、AF是邻边，点F在射线BA上时，M应在直线AD上，且F垂直平分AM，点F（3，8）；

43③A是对角线时，做A垂直平分线L，A解析式为y=-3+4，直线L过（2，2），337且值为4（平面内互相垂直的两条直线值乘积为-1），L解析式为y=4+8，联立

直线L与直线AB求交点，

7522∴F（14，7）；

24④AF是对角线时，过做AB垂线，垂足为N，根据等积法求出N=5，勾股定理714得出，AN=5，做A关于N的对称点即为F，AF=5，过F做y轴垂线，垂足为G，143424244FG=5×5=25，∴F（-25，25）．

7522综上所述，满足条件的点有四个：F1（3，8）；F2（-3，0）；F3（14，7），

4244F4（-25，25）．

考点：1．相似三角形的判定；2．解一元二次方程-因式分解法；3．待定系数法求一次函数解析式；4．平行四边形的性质；5．菱形的判定；6．分类讨论；7．存在型；8．探究型．

41

14．（2015届河北省中考模拟二）如图，已知正方形ABD，E是AB延长线上一点，F是D延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF=EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．

（1）求证：BE=2F；

（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）证明见解析．（2）四边形BFGN为菱形，证明见解析．

（2）解：四边形BFGN为菱形，证明如下：

42

考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．菱形的判定；4．旋转的性质；5．和差倍分．

15．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，在菱形ABD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB′′D′，其中点的运动路径为

CC，则图中阴影部分的面积为 ．

【答案】4323．

【解析】

试题分析：连接D′和B′，∵∠DAB=60°，∴∠DA=∠AB=30°，∵∠′AB′=30°，

30(3)2∴A、D′、及A、B、′分别共线∴A=3，∴扇形A′的面积为：3604．∵

CDBCACOACDA=A′，AD′=AB，∴在△OD′和△O'B中，CODCOB，∴△OD′≌△O′B

43

（AAS），∴OB=OD′，O=′O．∵∠B′=60°，∠B′O=30°，∴∠OD′=90°．∵D′=A-AD′=3-1，OB+′O=1，∴在Rt△BO′中，BO2+（1-BO）2=（3-1）2，

3解得BO=212，

CO3232，∴

考点：1．菱形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．扇形面积的计算；4．旋转的性质．

44