(必考题)高中数学必修一第三单元《指数函数和对数函数》测试题(含答案解析)

一、选择题

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）

x21A．y与yx1

x1C．yB．yx与ylogaa（a0且a1）

xx1与yx1

2D．ylgx与y1lgx2 212．函数y的大致图象是（ ）. 2xA． B．

C． D．

3．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，页常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数y2xx2xR的大致图象是（ ）

A． B．

C． D．

4．已知函数fx3axa,x<1logax,x1B．1,

的值域是R，那么实数a的取值范围是（ ） ．．

A．1,

23C．0,11,3

D．,3

3

2

5．已知函数f(x)lg[(a21)x2(a1)x1]的值域为R．则实数a的取值范围是（ ） A．[1,]

C．,1(,)

53B．(1,]

5353D．,1[1,)

2532336．已知：alog2，blog4，c，则a，b，c的大小关系是（ ）

232A．bca

2B．bac C．cba D．cab

2f(x)logx4的单调递增区间为（ ）. 17．函数

A．(0,+)

B．(-

,0)

C．(2,+)

D．(-

,-2)

8．已知函数f(x)是定义在R上的单调递增的函数，且满足对任意的实数x都有

f[f(x)3x]4，则f(x)f(x)的最小值等于（ ）.

A．2 9．函数

B．4

C．8

D．12

f(x)ax11恒过定点（ ）

B．(1,1)

C．(1,0)

D．(1,1)

A．(1,1)

大小关系是（ ）

10．如图是指数函数①y=ax；②y=bx；③y=cx；④y=dx的图象，则a，b，c，d与1的

A．a11．函数f(x)ln(43xx2)的单调递减区间是（ ）

3A．，

23

B．,4

23C．,

231,D． 212．已知函数fxA．-3

2x,x0，若faf10，则实数a的值等于（ ）

x1,x0B．-1

C．1

D．3

二、填空题

13．下列命题中所有正确的序号是_____________.

①函数f(x)ax13(a0且a1)的图像一定过定点P(1,4)； ②函数f(x1)的定义域是(1,3)，则函数f(x)的定义域为(2,4)； ③若loga111； 1，则a的取值范围是，22④若2x2ylnxln(y) (x0,y0)，则xy0.

14．函数ylogax31.（a0且a1）的图像恒过定点A，若点A在直线

mx ny10上（其中m，n0），则

12的最小值等于__________. mn215．设函数f(x)ln(x21x)，若f3a_____.

f(2a1)0，则实数a的取值范围为

16．函数fxlogcos1sinx的单调递增区间是____________. 17．函数fxlog1x5x6的单调递增区间是__________． ．．．2218．已知奇函数yfxxR满足：对一切xR，f1xf1x且x0,1时，fxe1，则ff2019__________.

x21x,x119．设函数f(x)，则满足f(x)2的x的取值范围是_______________.

1log2x,x120．如果fx1logx2logx29logx3，则使fx0的x的取值范围是______.

三、解答题

21．已知函数f(x)loga(1x)loga(1x)，（a0且a1） （1）求f(x)的定义域；

（2）判断f(x)的奇偶性，并予以证明； （3）求使f(x)0的x取值范围. 22．已知函数f(x)log122x． 2x（1）求函数f(x)的定义域，并判断其奇偶性；

（2）判断f(x)在其定义域上的单调性，并用单调性定义证明． 23．已知函数f(x)4xa2x1(aR). （1）当a1时，求f(x)的值域； （2）若f(x)在区间1,0的最大值为1，求实数a的值. 45x． 5x（1）求函数f(x)的定义域；

24．已知函数f(x)log3（2）判断函数f(x)奇偶性，并证明你的结论.

25．已知集合Axlog2x33，Bx2m1xm3. （1）若m2，求AB；

（2）若ABA，求实数m的取值范围.

26．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)1（1）求实数a的值及f(x)的解析式； （2）求方程|f(x1)|a. 21x4的解. 5

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

分析各个选项中每组函数的定义域和对应关系，若定义域和对应关系均相同则为同一个函数，由此判断出正确选项. 【详解】

x21A．y的定义域为xx1，yx1的定义域为R，所以不是同一个函数；

x1B．yx与ylogaa的定义域均为R，且ylogaa即为yx，所以是同一个函

xx数； C．y函数；

D．ylgx的定义域为0,，y数， 故选：B. 【点睛】

思路点睛：同一函数的判断步骤：

（1）先判断函数定义域，若定义域不相同，则不是同一函数；若定义域相同，再判断对应关系；

（2）若对应关系不相同，则不是同一函数；若对应关系相同，则是同一函数.

x21的定义域为,11,，yx1的定义域为R，所以不是同一个

1lgx2的定义域为xx0，所以不是同一个函22．A

解析：A 【分析】

去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】

1x,x0由函数解析式可得：y2可得值域为：0y1，

2x,x0由指数函数的性质知：在,0上单调递增；在0,上单调递减. 故选：A. 【点睛】

思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

3．A

解析：A 【分析】

分析函数fx2xx2xR的奇偶性，结合f01可得出合适的选项.

x【详解】

令fx2x，该函数的定义域为R，fx2x2x2x2fx，

x2函数fx2x为偶函数，排除B、D选项；

x2又f010，排除C选项. 故选：A. 【点睛】

函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的特征点，排除不合要求的图象.

4．A

解析：A 【分析】

当0＜a＜1时，当x1时，ylogax0，则当x1时，y3axa的值域必须

,，当a1时，当x1时，ylogax0，，则当x1时，要包含0，0,从而可得答案. y3axa的值域必须要包含，【详解】

由题意，fx的值域为R，

当0＜a＜1时，当x1时，ylogax0，

, 所以当x1时，y3axa的值域必须要包含0，当x1时，y3axa单调递增，y3axa32a 所以不满足fx的值域为R.

， 当a1时，当x1时，ylogax0，0, 所以当x1时，y3axa的值域必须要包含，若a3时，当x1时，ya3，不满足fx的值域为R.

若a3时，当x1时，y3axa单调递减，y3axa32a 所以不满足fx的值域为R.

若1a3时，当x1时，y3axa单调递增，y3axa32a 要使得fx的值域为R，则32a0，即a所以满足条件的a的取值范围是：1a故选：A．

3 23， 2【点睛】

关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a＜1时，当

,，x1时，ylogax0，则当x1时，y3axa的值域必须要包含0，，则当x1时，y3axa的值域必当a1时，当x1时，ylogax0，0，属于中档题. 须要包含，5．A

解析：A 【分析】

当函数的值域为R时，命题等价于函数ya1xa1x1的值域必须包含区间

22得解 0，【详解】

f(x)lg[(a21)x2(a1)x1]的值域为R

令ya1xa1x1，则

22ya21x2a1x1的值域必须包含区间0，

当a210时，则a1 当a1时，y2x1符合题意； 当a1时，y1不符合题意；

2a1051a当a1时，，解得 223a14a10551a，即实数a的取值范围是[1,]

33故选：A 【点睛】

转化命题的等价命题是解题关键.

6．A

解析：A 【分析】

由换底公式和对数函数的性质可得b可得解. 【详解】

11a1，再由指数函数的性质可得0c，即

2232212lnlnln3ln1，23ln1=0， alog22=0blog43232ln2ln23ln4ln2ln2ln2lnab

3132410c,alog2log22，

222392bca， 故选：A 【点睛】

方法点睛：本题考查了对数式、指数式的大小比较，比较大小的常用方法为同底的对数式和指数式利用其单调性进行比较，也可以借助于中间值0和1进行比较，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于常考题.

227．D

解析：D 【分析】

求出函数的定义域，根据对数型复合函数的单调性可得结果. 【详解】

2f(x)logx4的定义域为,21函数

22,，

ylog1u和因为函数fx是由ux24复合而成，

2而

ylog1u在定义域内单调递减，

2ux24在,2内单调递减，

2f(x)logx4的单调递增区间为,2， 1所以函数

2故选：D. 【点睛】

易错点点睛：对于对数型复合函数务必注意函数的定义域.

8．B

解析：B 【分析】

xx根据f(x)3为定值，可假设f(x)3m，然后计算f(x)f(x)，并计算m的

值，然后使用基本不等式，可得结果. 【详解】

由题可知：f(x)3为定值

x故设f(x)3m，即f(x)3m

xx又f[f(x)3]4，

所以f(m)3m4m1 则f(x)31

xmxf(x)f(x)3x13x1

则f(x)f(x)3x当且仅当3x1x1223x24 3x31时，取等号 x3所以f(x)f(x)的最小值为：4

故选：B 【点睛】

本题考查基本不等式的应用，还考查镶嵌函数的应用，难点在于f(x)3为定值，审清题意，细心计算，属中档题.

x9．C

解析：C 【分析】

根据指数函数性质求定点. 【详解】

因为a01,所以f1a1=0,因此过定点1,0,选C.

0【点睛】

本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.

10．B

解析：B 【分析】

根据指数函数的图象与性质可求解. 【详解】

根据函数图象可知函数①y=ax；②y=bx为减函数，且x1时，②y=b1①y=a1， 所以ba1，

根据函数图象可知函数③y=cx；④y=dx为增函数，且x1时，③y=c1④y=d1， 所以cd1 故选：B 【点睛】

本题主要考查了指数函数的单调性，指数函数的图象，数形结合的思想，属于中档题.

11．B

解析：B 【分析】

先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性同增异减，即可求解. 【详解】

由43xx20得x23x40，解得：1x4，

f(x)ln(43xx2)由ylnt和tx23x4复合而成，

ylnt在定义域内单调递增，

tx23x4对称轴为x所以 tx23x4在1,23，开口向下， 233,4单调递减， 单调递增，在223所以f(x)ln(43xx)的单调减区间为,4，

2故选：B 【点睛】

本题主要考查了利用同增异减求复合函数的单调区间，注意先求定义域，属于中档题

12．A

解析：A 【分析】

先求得f1的值，然后根据fa的值，求得a的值. 【详解】

由于f1212，所以fa20,fa2，2a2在0,上无解，由

a12解得a3，故选A.

【点睛】

本小题主要考查分段函数求函数值，考查已知分段函数值求自变量，属于基础题.

二、填空题

13．①③④【分析】由指数函数的图象函数的定义域对数函数的性质判断各命题①令代入判断②利用函数的定义求出的定义域判断③由对数函数的单调性判断④引入新函数由它的单调性判断【详解】①令则即图象过点①正确；②则

解析：①③④ 【分析】

由指数函数的图象，函数的定义域，对数函数的性质判断各命题．

①，令x1代入判断，②利用函数的定义求出f(x)的定义域判断，③由对数函数的单调性判断，④引入新函数g(x)lnx2【详解】

①令x1，则f(1)4，即f(x)图象过点(1,4)，①正确； ②1x3，则0x12，∴f(x)的定义域是(0,2)，②错；

x1lnx，由它的单调性判断．

2x0a1111logaa，∴③loga1，∴a1．③正确； 2a22④由2x2ylnxln(y) (x0,y0)，得lnx2xln(y)2y，

1又g(x)lnx2lnx是(0,)上的增函数， 2∴由lnx2xln(y)2y，得xy，即xy0，④正确．

xx故答案为：①③④ 【点睛】

关键点点睛：本题考查指数函数的图象，对数函数的单调性，函数的定义域问题，定点问题：（1）指数函数yax(a0且a1)的图象恒过定点(0,1)； （2）对数函数ylogax(a0且a1)的图象恒过定点(1,0)， 解题时注意整体思想的应用．

14．8【分析】根据函数平移法则求出点得再结合基本不等式即可求解【详解】由题可知恒过定点又点在直线上故当且仅当时取到等号故的最小值等于8故答案为：8【点睛】本题考查函数平移法则的使用基本不等式中1的妙用属

解析：8 【分析】

根据函数平移法则求出点A2,1，得2mn1，再结合基本不等式即可求解 【详解】

由题可知，ylogax31恒过定点2,1，又点A在直线mx ny10上，故

2mn1，

n2m1212n4m2mn44248，当且仅当mnmnmn112时取到等号，故的最小值等于8 2mn故答案为：8 【点睛】

本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题

15．【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增不等式化为转化为关于自变量的不等式即可求解【详解】的定义域为是奇函数设为增函数在为增函数在为增函数在处连续的所以在上单调递增化为等价于即所以实数的取值范围为

1解析：(1,)

3【分析】

2根据已知可得f(x)为奇函数且在R上单调递增，不等式化为f3af(12a)，转化为

关于自变量的不等式，即可求解. 【详解】

f(x)的定义域为R，

f(x)f(x)ln(x21x)ln(x21x)ln10，

f(x)是奇函数，设u(x)x21x,x[0,)为增函数，

f(x)在[0,)为增函数，f(x)在(,0)为增函数， f(x)在x0处连续的，所以f(x)在R上单调递增，

f3a2f(2a1)0，化为f3a2f(12a)，

等价于3a212a，即3a2a10,1a所以实数a的取值范围为(1,). 故答案为: (1,) 【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

21， 3131316．【分析】根据对数型复合函数单调性列不等式再根据正弦函数性质得结果【详解】单调递增区间为单调递减区间且所以故答案为：【点睛】本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质考查基本分析求解能力属基础题

解析：[2k,2k),(kZ)

2【分析】

根据对数型复合函数单调性列不等式，再根据正弦函数性质得结果. 【详解】

cos1(0,1)fxlogcos1sinx单调递增区间为ysinx单调递减区间且

sinx0，

所以

22kx2k,(kZ)，

故答案为：[【点睛】

22k,2k),(kZ)

本题考查对数型复合函数单调性以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.

17．【分析】求出函数的定义域利用复合函数法可求得函数的单调递增区间【详解】对于函数有解得或所以函数的定义域为内层函数在区间上单调递减在区间上单调递增外层函数为减函数所以函数的单调递增区间为故答案为：【点 解析：,2

【分析】

求出函数fx的定义域，利用复合函数法可求得函数fxlog1x5x6的单调递

22增区间. 【详解】

2fxlogx5x6，有x25x60，解得x2或x3. 1对于函数

2所以，函数fxlog1x5x6的定义域为,2223,，

内层函数ux25x6在区间,2上单调递减，在区间3,上单调递增， 外层函数

ylog1u为减函数，所以，函数fx的单调递增区间为,2.

2故答案为：,2. 【点睛】

复合函数yfgx的单调性规律是“同则增，异则减”，即yfu与ugx.若具有相同的单调性，则yfgx为增函数，若具有不同的单调性，则yfgx必为减函数．

18．【分析】根据题意求得的周期性则可求再结合函数解析式求得函数值即可【详解】由题可知：因为对一切故关于对称；又因为是奇函数则可得故可得故函数是周期为的函数则又当故则故答案为：【点睛】本题考查利用函数周期 解析：1e3e

【分析】

根据题意，求得fx的周期性，则f2019可求，再结合函数解析式，求得函数值即可. 【详解】

由题可知：因为对一切xR，f1xf1x， 故fx关于x1对称； 又因为fx是奇函数，

则可得fx2f1x1f1x1fxfx， 故可得fx4fx22fx2fx， 故函数fx是周期为4的函数. 则f2019f1f1，

又当x0,1，fxe1，故f2019f11e，

x则ff2019f1efe1f3e1e3e.

故答案为：1e3e. 【点睛】

本题考查利用函数周期性求函数值，属综合中档题；难点在于求得函数的周期.

19．【分析】根据分段函数分段解不等式最后求并集【详解】当时因为解得：∴当时解得：所以综上原不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查了解分段函数不等式涉及指数与对数运算属于基础题 解析：[0,)

【分析】

根据分段函数，分段解不等式，最后求并集. 【详解】

当x1时，f(x)21x，因为1x1，解得：x0，∴0x1 ，

当x1时，f(x)1log2x2，log2x1，解得：x综上，原不等式的解集为0,. 故答案为：0,. 【点睛】

1，所以x1， 2本题主要考查了解分段函数不等式，涉及指数与对数运算，属于基础题.

20．【分析】可结合对数化简式将化简为再解对数不等式即可【详解】由由得即当时故；当时无解综上所述故答案为：【点睛】本题考查对数化简公式的应用分类讨论求解对数型不等式属于中档题

8解析：1,

3【分析】

可结合对数化简式将fx化简为fx1logx2logx3logx4，再解对数不等式即可 【详解】

由fx1logx2logx29logx31logx2logx23logx34

23381logx2logx3logx41logx，由fx0得1logx0，

83即logx8logxx， 3888，故x1,；当x0,1时，x，无解 333当x1时，x综上所述，x1, 故答案为：1, 【点睛】

8383本题考查对数化简公式的应用，分类讨论求解对数型不等式，属于中档题

三、解答题

21．（1）{x|1x1}；（2）函数f(x)是奇函数，证明见解析；（3）当a1时，

0x1；当0a1时，1x0

【分析】

（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果； （2）函数f(x)是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；

（3）不等式化为loga(1x)loga(1x)后，分类讨论底数a，根据对数函数的单调性可解得结果. 【详解】

（1）要使函数数f(x)有意义，则必有1x0，解得1x1，

1x0所以函数f(x)的定义域是{x|1x1} . （2）函数f(x)是奇函数，证明如下： ∵x(1,1)，x(1,1)，

f(x)loga(1x)loga(1x)

loga(1x)loga(1x)

f(x)，

∴函数f(x)是奇函数

（3）使f(x)0，即loga(1x)loga(1x)

1x1x当a1时，有1x0，解得0x1，

1x01x1x当0a1时，有1x0，解得1x0.

1x0综上所述：当a1时，0x1；当0a1时，1x0. 【点睛】

方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 有分式时：分母不为0；

有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；

有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 有指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1；

有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量

同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 22．（1）定义域为(2,2)，奇函数（2）函数f(x)在(2,2)上为增函数，证明见解析 【分析】

（1）根据真数大于0可得定义域，根据奇函数的定义可得函数为奇函数；

（2）设2x1x22，根据对数函数的单调性可得f(x1)f(x2)，再根据定义可证函数f(x)在(2,2)上为增函数. 【详解】

（1）由函数有意义得

2x0，解得2x2， 2x1所以函数的定义域为(2,2)，

2x2x因为f(x)log1log1f(x)，

2x2x22所以函数为奇函数. （2）因为f(x)log11证明：设2x1x22， 则0x12x224，则

24，所以函数f(x)在(2,2)上为增函数， x244441，则110， x12x22x12x22因为011，所以f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(2,2)上为增函数，

2【点睛】

思路点睛：判断函数的奇偶性的思路： ①求出定义域，并判断其是否关于原点对称；

②若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再判断

f(x)与f(x)的关系，若f(x)f(x)，则函数为奇函数；若f(x)f(x)，则函数

为偶函数.

23．（1）,；（2）a433.

【分析】

2（1）令t20,，可得ytt1，利用二次函数的性质可求出；

xa1x2t2,1tytat1（2）令，可得，讨论对称轴的取值范围结合二次函22数的性质即可求出. 【详解】

xxx（1）f(x)4a2122a2x1.

2令t20,，ytat1，

x21130,1,a1时，ytt1t在上单调递增，在上单调递减.

22242∴当t313y,y∴时，max，， 442所以f(x)的值域为,.

4311a（2）令t2,1，yt2at1t1a2， 242x2其图象的对称轴为t①当当ta. 2a11，即a1时，函数y在区间,1上单调递减， 2221111时，ymaxa1，解得a2，与a1矛盾；

4242a1y1②当，即a2时，函数在区间,1上单调递增，

22当t1时，ymax1a1③当当t17，解得a，与a2矛盾， 441aa1a1，即1a2时，函数y在,上单调递增，在,1上单调递减. 22222a121时，ymaxa1，解得a3，舍去a3； 2443.

综上，a【点睛】

思路点睛：求二次函数在闭区间a,b的最值的思路； （1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和

ab的大小求解； 2（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在,a,a,b,b,三个区间的范围求解.

24．（1）(5,5) （2）奇函数，见解析 【分析】

（1）若fx有意义,则需满足

5x0,进而求解即可； 5x（2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断fx与fx的关系即可. 【详解】 （1）由题,则

5x0,解得5x5,故定义域为5,5 5x（2）奇函数,

证明:由（1）,fx的定义域关于原点对称, 因为fxfxlog3所以fx是奇函数 【点睛】

本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明. 25．（1）ABx3x1；（2）m1,2【分析】

（1）计算Ax3x5，Bx5x1，再计算交集得到答案. （2）ABA，故BA，讨论B和B，计算得到答案. 【详解】

（1）Axlog2x33x3x5，Bx5x1，

5x5xlog3log310,即fxfx, 5x5x4,

（2）Ax3x5，ABA，故BA，

故ABx3x1.

当B时，2m1m3，解得m≥4； 当B时，m4，故综上所述：m1,2【点睛】

本题考查交集运算，根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

2m13，解得1m2.

m354,.

2x126．(1) a2,fxx;(2) x12log23或x12log23

21【分析】

(1)根据奇函数f(0)0求解a,再根据奇函数的性质求解f(x)的解析式即可.

442x1(2)根据(1)可得fxx为奇函数,可先求解|f(t)|的根,再求解|f(x1)|即可.

5521【详解】

(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)1xa0a,故f(0)10,即2121x2211a0,解得a2.故当x0时,fx1. 22x12x12x112x2x1. 所以当x0 时, fxfxx2112x2x12x1故fxx

2142t14(2) 先求解|f(t)|,此时ftt.

52152t14当t42t152t1,即2t9解得tlog292log23. 2152x12t14因为fxx为奇函数,故当t时, t2log23.

21215故|f(x1)|4的解为x12log23或x12log23, 5解得x12log23或x12log23 【点睛】

本题主要考查了根据奇函数求解参数的值以及解析式的方法,同时也考查了根据函数性质求解绝对值方程的问题,属于中档题.