习
题
1.2
2.放射性物质镭的裂变速度与存余量成正比k.设已知在某时刻t0容器中镭的质量是R0g.要求确定镭在任意时刻t的质量R(t).解:不难看出R(t)满足初值问题
dR
=−kR,dt
R(t0)=R0.
−kt
由此得dR,其中C为任意常数.代入初值条件R=−kdt,两边积分得通解R(t)=Ce
R(t0)=R0求出C=R0ekt0,因此R(t)=R0e−k(t−t0).
4.把例1.3和例1.4的微分方程化成规范的一阶方程组形式.解:对例1.3的微分方程,令y=
dxdt,
则可将其化成规范的一阶方程组:
dykµ=−x−y.dtmm
dθdt,
dx
=y,dt
对例1.4的微分方程,令x1=θ,x2=
则可将其化成规范的一阶方程组:dx2g
=−sinx1.dt
dx1
=x2,dt
5.作出下列方程的方向场,并描出经过指定点的积分曲线:
(1)(2)
dxdtdxdt
=|x|,(0,0),(0,−1).
√
=t2+x2,(0,0),(0,−1/2),(2,0).
图0-1:第5(1)题图0-2:第5(2)题
解:利用如下的Maple命令可作出相应方程的方向场和积分曲线,见图0-1,0-2:with(DEtools):
phaseportrait(D(x)(t)=abs(x(t)),x(t),t=-3..3,[[x(0)=0],[x(0)=-1]],x=-3..3,color=black,linecolor=black);
phaseportrait(D(x)(t)=t^2+x^2,x(t),t=-2..2,[[x(0)=0],[x(0)=-1/2],[x(sqrt(2))=0]],x=-2..2,color=black,linecolor=black);
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