七年级数学第三章《一元一次方程》专题复习

第三章 一元一次方程专题复习

第一部分：知识要点 一、一元一次方程构成要素：

1、 是等式；

2、 含有未知数，且只能是一个；

3、 未知数的次数有且为“1”(一次整式)，且次数不为“0”； 二、一元一次方程的基本形式： ax = b

三、一元方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值 四、解方程的理论依据：等式的基本性质：

性质（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等．

用式子形式表示为：如果a＝b，那么a±c=b±c；

性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

用式子形式表示为：如果a=b那么a×c＝b×c，a÷c＝b÷c（c≠0）； 五、解一元一次方程的基本步骤： 变形步骤 具 体 方 法 变 形 根 据 注 意 事 项 方程两边都乘以各 1．不能漏乘不含分母的项； 去分母 个分母的最小公倍数 等式性质2 2．分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号 去括号 先去小括号，再去中乘法分配律、 1．分配律应满足分配到每一项 括号，最后去大括号 去括号法则 2．注意符号，特别是去掉括号 把含有未知数的项 1．移项要变号； 移 项 移到方程的一边，不含有等式性质1 2．一般把含有未知数的项移到方程左未知数的项移到另一边 边，其余项移到右边 合并同 把方程中的同类项分 合并同类项时，把同类项的系数相加，类 项 别合并，化成“axb”合并同类项的形式（a0） 法则 字母与字母的指数不变 未知数的系数化成 方程两边同除以未“1” 知数的系数a，得xb 等式性质2 分子、分母不能颠倒 a注意：我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤) 地解方程，又要善于认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变(灵活打乱步骤)解方程，能达到事半功倍的效果。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。 解一元一次方程常用的技巧有：

1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行 2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母 3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数 4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形 六、实际问题与一元一次方程

1、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是：

1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系） 2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程； 3）解方程；

4) 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意．并作答 2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型

1）数字问题：①：数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为

c则这个三位数表示为：abc， abc100a10bc

（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9） ②：用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数

2）和、差、倍、分问题：关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，哪个量比哪个量……”

3）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间，注意产品配套问题； 4）行程问题：路程＝速度×时间

5）利润问题：商品利润=商品售价－商品成本价=商品利润率×商品成本价 商品售价=商品成本价×（1+利润率）

6）利息问题：①顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率．利息的20%付利息税．②

利息＝本金×利率×期数，本息和＝本金＋利息，利息税＝利息×税率（20%）．

7）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形； 8）优化方案问题

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9）浓度问题：溶液×浓度=溶质

10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量 11）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的

12）增长率问题：原量×（1＋增长率）=增长后的量，原量×（1＋减少率）=减少后的量 七、、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）

1）建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想 2）方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.

3）化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想. 4）数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.

5）分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 第二部分：重点题型总结及应用

题型一 灵活解一元一次方程

解一元一次方程的一般步骤是：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)把系数化为1．根据方程的特点，可灵活运用五个步骤，以简化运算．

例1 解方程：1x1(232x1)3x12．

例2 解方程：

2x1310x161．

题型二 方程的解的应用

例3 关于x的方程2x－4＝3m和x＋2＝m有相同的解，则m的值是( )

A．10 B．－8 C．－10 D．8

例4 已知y＝3是6＋14(m－y)＝2y的解，那么关于x的方程2m(x－1)＝(m＋1)(3x－4)的解是多少?

方法

先利用第一个方程求出字母m的值，再把m值代入第二个方程解第二个方程，培养思考问题的综合能力．

题型三 一元一次方程的应用

例5 一通讯员骑摩托车需要在规定时间，把文件送到某地，若每小时走 60千米，就早到12分钟；若每小时走50千米，则要迟到7分钟，求路程．

例6 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠”．乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”，若全票价为240元，

(1)设学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费(建

立表达式)；

(2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样?

例7 某商场将彩电先按原价提高40％，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是多少元?

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例8 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人(不包括司机)．其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障，此时离截止进考场的时间还有42分，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60千米／时，人步行的速度是 5千米／时(上、下车时间忽略不计)．

(1)若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场；

(2)假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时间前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．

题型四 图表类应用题

例9 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动，共有30根扁担，要安排多少人抬土，多少人挑土，可使扁担和人数相配不多不少?若设有x人挑土，填写下表：

挑土 抬土 人数／人 扁担／根 即可知两个等量关系：

挑土人数＋抬土人数＝43人，挑土用扁担数＋抬土用扁担数＝30根．

根据等量关系，列方程 ，解得x＝ ，因此挑土人数为 ，抬土人

数为 ．

你能用其他方法计算这道题吗?

(2)如果参加劳动的人数不变，扁担数为20根可以吗?为什么?

例10 下面是甲商场电脑产品的进货单，其中进价一栏被墨水污染，读了进货单后，请你求出这台电脑的进价．

甲商场商品进货单 供货单位 乙单位 电脑 品名 P4200 商品代码 DN—63DT 商品所属 电脑专柜 标价 5 850元 折扣 八折 利润 210元 思想方法归纳

方程体现了数学建模思想，主要培养同学们的运算能力、观察能力和灵活运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学的价值．主要解题思想方法如下：

1．转化思想

本部分内容在转化思想上的主要体现是利用方程的概念求代数式的值、巧解方程等． 例1 已知方程3x2－9x＋m＝0的一个解是1，则m的值为 ．

例2 如果4x2＋3x－5＝kx2

－20 x ＋20 k是关于x的一元一次方程，那么k= ，方程的解是 ．

技巧

判断一个方程是不是一元一次方程，应先化为最简形式，再根据一元一次方程的定义来判断．2．方程思想

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本部分内容方程思想的体现主要是列方程解决实际问题．

解决问题的关键是分析题意，找出题目中的相等关系，列出一元一次方程，解出方程，得出答案．

例3 某中学甲、乙两班学生在开学时共有90人，如果从甲班转入乙班4人，结果甲班的学生人数是乙班的80％，问开学时两班各有学生多少人?

例4 如图3－5－1所示，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm2、100 cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8 cm，则甲的容积为( ) A．1 280 cm3 B．2 560 cm3 C．3 200 cm3 D．4 000 cm3 中考热点聚焦

考点1 一元一次方程的解

考点突破：在中考中对一元一次方程的解的考查，一般以填空题的形式出现．已知一元一次方程的解，求未知字母的值．解决此类问题的思路是：将解代入一元一次方程，转化成关于未知字母的方程，从而求解．

例1 (2010·江苏宿迁中考)已知5是关于x的方程3x－2a＝7的解，则a的值为 ． 例2 (20l0·湖南怀化中考)已知关于x的方程3x－2m＝4的解是x＝m，则m的值是 ．

考点2 解一元一次方程

考点突破：一元一次方程是初中数学方程与方程组的基础，是中考命题的重点，解一元一次方程一般难度不大，只要牢记解一元一次方程的步骤，就能求出正确的解． 例3 (2010·福建泉州中考)方程2x＋8＝0的解是 ．

考点3 一元一次方程的应用

考点突破：一元一次方程在生活中应用广泛，一元一次方程的应用在中考中时常出现，解一元一次方程的应用题，要明确已知量与未知量，找出题目中的相等关系，就能列出元一次方程，进而求解． 一、选择题

1. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ）

A．盏

B．55盏 C．56盏

D．57盏

2. （2011山西，10，2分）“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的

80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A．x130%80%2080 B． x30%80%2080 C． 208030%80%x D． x30%208080%

3. （2011•柳州）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ）

A、17人

B、21人 C、25人

D、37人

4. （2011山东滨州，3，3分）某商品原售价2元,经过连续两次降价后售价为256元,设平均

每次降价的百分率为x,则下面所列方程中正确的是( ) A.21x2256 B.2561x22 C.2(1-2x)=256 D.256(1-2x)=2

5. （2011•山西10，2分）“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A、x（1+30%）×80%=2080 B、x•30%•80%=2080

C、2080×30%×80%=x D、x•30%=2080×80%

6.（2011•铜仁地区4,3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km，可早到10分钟，每小时骑12km就会迟到5分钟．问他家到学校的路程是多少km？设他家到学校的路程是xkm，则据题意列出的方程是（ ）

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A、

B、x10x515601260

C、

x151060x12560 D、x1510x125

7. （2011广东深圳，6，3分）一件服装标价200元，若以6折销售，仍可获利20%，则这件服装的进价是（ ）错误!未找到引用源。

A、100元 B、105元 C、108元 D、118元 二、填空题

1. （2011年湖南省湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为 ． 2. （2011江苏镇江常州，17，3分）把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体（且没有剩余），其中棱长为1的正方体的个数为 ．

3. （2011陕西，14，3分）一商场对某款羊毛衫进行换季打折销售．若这款羊毛衫每件按原销

售价的8折（即按原销售价的80％）销售，售价为120元，则这款羊毛衫每件的原销售价为 元．

4. （2011重庆市，15，4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本用电量为

a度,超过部分电量

的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交 电费56元,则a = 度.

5. （2011黑龙江大庆，15，3分）随着电子技术的发展，手机价格不断降低，某品牌手机按原

价降低m元后，又降低20%，此时售价为n元，则该手机原价为 元．

6.（2011黑龙江牡丹江，5，3分）某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润

率为20%，这种商品每件标价是 元． 三、解答题

1. （2011四川眉山，24，9分）在眉山市开展城乡综合治理的活动中，需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理．已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米．

（1）求运往两地的数量各是多少立方米？

（2）若A地运往D地a立方米（a为整数），B地运往D地30立方米，C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍．其余全部运往E地，且C地运往E地不超过12立方米，则A、C两地运往D、E两地哪几种方案？

（3）已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表： A地 B地 C地 运往D地（元/立方米） 22 20 20 运往E地（元/立方米） 20 22 21 在（2）的条件下，请说明哪种方案的总费用最少？

2. （2011四川省宜宾市，20，7分）某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？

3. （2011黑龙江省哈尔滨,26，8分）义洁中学计划从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板，经洽谈，购买一块A型小黑板比买一块B型小黑板多用20元．且购买5块A型小黑板和4块B型小黑板共需820元．

（1）求购买一块A型小黑板、一块B型小黑板各需要多少元？

（2）根据义洁中学实际情况，需从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板共60块，要求购买A、B两种型号小黑板的总费用不超过5240元．并且购买A型小黑板的数量应大于购买A、B种型号

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小黑板总数量的13．请你通过计算，求出义洁中学从荣威公司购买A、B两种型号的小黑板有哪几种方案？

综合验收评估测试题

一、选择题

1. 下列方程是一元一次方程的是( ) A．

2y＝1 B．3x＋2y＝0 C．x 2－l＝0 D．x＝3 2. 方程22x4x736去分母，得( ) A．2－2(2x－4)＝－( x－7) B．12－2(2 x－4)＝－x－7 C．12－2(2 x－4)＝－( x－7) D．12－(2 x－4)＝－( x－7) 3. 已知x＝－2是关于x的方程2 x＋m－4＝0的解，则m的值是( ) A．8

B．－8

C．0

D．2

4. 如果7a－5与3－5a互为相反数，则a的值为( ) A．0 B．1

C．－l

D．2

5. 甲、乙两超市为了促销一定价相同的商品，甲超市连续两次降价10％，乙超市一次性降价20％，在( )超市购买这种商品合算．

A．甲 B．乙 C同样 D．与商品价格有关

二、填空题

6. 关于x的方程xn＋

2－n－3＝0是一元一次方程，则此方程的解是 ． 7. 关于x的方程(k＋2) x－1＝0的解为x＝1，则k的值是 ．

8. 三个连续偶数的和为60，那么其中最大的一个是 . 9. 若9人14天完成了一项工作的35，而剩下的工作要在4天内完成，则需要增加的人数是 ．

10. 足球比赛的得分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．一支青年足球队参加了14场比赛，其中负5场，共得19分，那么这支足球队胜了 场．

三、解答题 11. 解方程：x218x3x92．

12. 这个月要参加3天培训，这3天恰好在日历的一竖排上且3个数字相连，并且这3个日子的数字之和是36，你知道要在哪几天参加培训吗?