东莞市常平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 设函数的集合

，平面上点的集合

，则在同一直角坐标系中，P中函数

的图象恰好经过Q中

两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10

2． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A．720 B．270 C．390 D．300 3． 两个随机变量x，y的取值表为

x y A．x与y是正相关

B．当y的估计值为8.3时，x＝6 C．随机误差e的均值为0

D．样本点（3，4.8）的残差为0.65

222224． 已知a2，若圆O1：xy2x2ay8a150，圆O2：xy2ax2aya4a400 2.2 1 4.3 3 4.8 4 6.7 ^

若x，y具有线性相关关系，且y＝bx＋2.6，则下列四个结论错误的是（ ）

恒有公共点，则a的取值范围为（ ）.

55335． 设集合A{x|1x2}，B{x|xa}，若AB，则的取值范围是（ ）

A．{a|a2} B．{a|a1} C．{a|a1} D．{a|a2} 2＋2z

6． 复数满足＝iz，则z等于（ ）

1－i

A．(2,1][3,) B．(,1)(3,) C．[,1][3,) D．(2,1)(3,)

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A．1＋i C．1－i

的投影为（ ）

B．－1＋i D．－1－i

7． ABC的外接圆圆心为O，半径为2，OAABAC为零向量，且|OA||AB|，则CA在BC方向上A．-3 B．3 C．3 D．3 8． 已知集合A={x∈Z|（x+1）（x﹣2）≤0}，B={x|﹣2＜x＜2}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1≤x＜2} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2}

D．{﹣1，1}

9． 执行下面的程序框图，若输入x2016，则输出的结果为（ ）

A．2015 B．2016 C．2116 D．2048

11x,x[0,)2210．已知函数f(x)，若存在常数使得方程f(x)t有两个不等的实根x1,x2

3x2,x[1,1]2（x1x2），那么x1f(x2)的取值范围为（ ）

31313) C．[,) D．[,3)

16288611．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得

A．[,1) B．[,34的线性回归方程可能是( ) AB

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CD

12．记集合A=(x,y)x+y?1和集合B={(x,y)x+y３1,x22{} 0,y?0}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，

若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（ ） A．

1112 B． C． D．

3p2ppp【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．如图，已知m，n是异面直线，点A，Bm，且AB6；点C，Dn，且CD4.若M，N分 别是AC，BD的中点，MN22，则m与n所成角的余弦值是______________.

【命题意图】本题考查用空间向量知识求异面直线所成的角，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力.

14．执行如图所示的程序框图，输出的所有值之和是 . 第 3 页，共 20 页

【命题意图】本题考查程序框图的功能识别，突出对逻辑推理能力的考查，难度中等.

yxy22xy3x215．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx116．

如图，P是直线x＋y－5＝0上的动点，过P作圆C：x＋y－2x＋4y－4＝0的两切线、切点分别为A、B，当

2

2

四边形PACB的周长最小时，△ABC的面积为________．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

如图（1），在三角形PCD中，AB为其中位线，且2BDPC，若沿AB将三角形PAB折起，使

PAD，构成四棱锥PABCD，且

（1）求证：平面 BEF平面PAB；

PCCD2. PFCE第 4 页，共 20 页

（2）当 异面直线BF与PA所成的角为

时，求折起的角度. 3

18．（本小题满分14分） 已知函数f(x)xlnx

k（kR），其图象与x轴交于不同两点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1x2. x12（1）求实数k的取值范围； （2）证明：2e

19．（本小题满分12分） 已知函数f(x)eaxbx.

（1）当a0,b0时，讨论函数f(x)在区间(0,)上零点的个数； （2）证明：当ba1，x[,1]时，f(x)1.

x21x1x22e.

12第 5 页，共 20 页

20．（本小题满分12分）某旅行社组织了100人旅游散团，其年龄均在[10,60]岁间，旅游途中导游发现该旅游散团人人都会使用微信，所有的年龄结构按[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]分成5组，分别记为A,B,C,D,E，其频率分布直方图如下图所示．

（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该旅游散团的平均年龄；

随机选出2名为主要协调负责人，求选出的2名均来自C组的概率．

21．（本小题满分12分）

（Ⅱ）该团导游首先在C,D,E三组中用分层抽样的方法抽取了6名负责全团协调，然后从这6名中

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒 成立.

（1）求cos C的取值范围；

（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的 形状.

【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

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22．（本小题满分12分）△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是BC边上的中线．

1

（1）求证：AD＝2b2＋2c2－a2；

2

19sin B3

（2）若A＝120°，AD＝，＝，求△ABC的面积．

2sin C5

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东莞市常平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】B

【解析】本题考查了对数的计算、列举思想

a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；

a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 2． 【答案】C

解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型； 所求方案有：故选：C． 3． 【答案】

^^

【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入y＝bx＋2.6得b＝0.95，即y＝0.95x＋

^

2.6，当y＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差e的均值为0，∴C正确．样

^

本点（3，4.8）的残差e＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D. 4． 【答案】C

222O(x1)(ya)(a4)【解析】由已知，圆1的标准方程为，圆O2的标准方程为 222(xa)(ya)(a2) a2，要使两圆恒有公共点，则2|O1O2|2a6，即 ，∵

5a12|a1|2a6，解得a3或3，故答案选C

++=390．

5． 【答案】D 【解析】

试题分析：∵AB，∴a2．故选D． 考点：集合的包含关系． 6． 【答案】

2＋2z【解析】解析：选D.法一：由＝iz得

1－i

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2＋2z＝iz＋z， 即（1－i）z＝－2，

－2（1＋i）

∴z＝＝＝－1－i.

21－i法二：设z＝a＋bi（a，b∈R）， ∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi）， 即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，

－2

2＋2a＝a－b

∴， 2b＝a＋b

∴a＝b＝－1，故z＝－1－i. 7． 【答案】B 【解析】

考点：向量的投影． 8． 【答案】B

解析：解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤2，x∈Z，即A={﹣1，0，1，2}， ∵B={x|﹣2＜x＜2}， ∴A∩B={﹣1，0，1}，

9． 【答案】D 【解析】

试题分析：由于20160，由程序框图可得对循环进行加运算，可以得到x2，从而可得y1，由于

20151，则进行y2y循环，最终可得输出结果为2048．1

考点：程序框图． 10．【答案】C 【解析】

3131t1，由x，可得x，4244113111322由13x，可得x（负舍），即有x1,x2，即x2，则

4334223试题分析：由图可知存在常数，使得方程fxt有两上不等的实根，则

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31x1fx23x13x22,.故本题答案选C.

162

考点：数形结合．

【规律点睛】本题主要考查函数的图象与性质,及数形结合的数学思想方法.方程解的个数问题一般转化为两个常见的函数图象的交点个数问题来解决.要能熟练掌握几种基本函数图象,如二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数,幂函数等.掌握平移变换,伸缩变换,对称变换,翻折变换,周期变换等常用的方法技巧来快速处理图象.

11．【答案】A

【解析】解：∵变量x与y正相关， ∴可以排除C，D；

样本平均数=3，=3.5，代入A符合，B不符合， 故选：A。 12．【答案】A

OAB及其内部，【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示D11由几何概型得点M落在区域Ω2内的概率为P=2=，故选A.

p2py1BOA1x

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

513．【答案】

12【

解

析

】

14．【答案】

【解析】根据程序框图可知循环体共运行了9次，输出的x是1，3，5，7，9，11，13，15， 17中不是3的倍数的数，所以所有输出值的和157111317. 15．【答案】2,6 【解析】

考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

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x,y与原点0,0的距离；（2）xayb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）

16．【答案】

yb表示点x,y与点a,b连线的斜率. xa【解析】解析：圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0的标准方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝9. 圆心C（1，－2），半径为3，连接PC，

∴四边形PACB的周长为2（PA＋AC） ＝2PC2－AC2＋2AC＝2

PC2－9＋6.

当PC最小时，四边形PACB的周长最小． 此时PC⊥l.

∴直线PC的斜率为1，即x－y－3＝0，

x＋y－5＝0由，解得点P的坐标为（4，1）， x－y－3＝0

由于圆C的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线PA，PB分别与x轴平行和y轴平行， 即∠ACB＝90°，

119

∴S△ABC＝AC·BC＝×3×3＝. 222

9

即△ABC的面积为. 2

9答案： 2

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

217．【答案】（1）证明见解析；（2）．

3【解析】

BAAD从而得到BA平面PAD，试题分析：（1）可先证BAPA，再证CDFE,CDBE可得CD平面BEF,由CD//AB,可证明平面BEF平面PAB；（2）由PAD,取BD的中点G，连接FG,AG,可得PAG即为异面直线BF与PA所成的角或其补角,即为所折起的角度.在三角形中求角即可. 1 试题解析：

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（2）因为PAD，取BD的中点G，连接FG,AG，所以FG//CD，FG1CD，又AB//CD，21ABCD，所以FG//AB，FGAB，从而四边形ABFG为平行四边形，所以BF//AG，得；同时，

22因为PAAD，PAD，所以PAD，故折起的角度.

3考点：点、线、面之间的位置关系的判定与性质． 18．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数单调性，极值，构建新函数的思想，分类讨论的思想等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力．

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所以1k0. 2e

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∵

x1k2x2xkkf(x)1lnx2，∴f(x)12. 2xxxx118k12xxk2k0，∴方程2xxk0有唯一正根x∵，则f(x). 22e4x112又f()ke0，f(x)在区间(,x) 单调递增，

ee2第 15 页，共 20 页

所以根据零点存在定理，得f(x)在区间(,x)有唯一零点x0. 所以kx02x02lnx0，………………① 又f(x)minf(x0)x0lnx01ek0，…………② x0eee219．【答案】（1）当a(0,)时，有个公共点，当a时，有个公共点，当a(,)时，有个公共

444点；（2）证明见解析. 【解析】

22

exex试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得a2,构造函数h(x)2,利用h(x)'求出

xx第 16 页，共 20 页

e2单调性可知h(x)在(0,)的最小值h(2),根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数

4h(x)exx2x1,利用导数可判断h(x)的单调性和极值情况,可证明f(x)1.1

试题解析：

当a(0,e)时，有0个公共点； 42

e2当a，有1个公共点；

4e2当a(,)有2个公共点.

4x2'x（2）证明：设h(x)exx1，则h(x)e2x1，

令m(x)h(x)e2x1，则m(x)e2，

'x'x1122'当x(ln2,1)时，m(x)0，m(x)在(ln2,1)上是增函数，

'因为x(,1]，所以，当x[,ln2)时，m(x)0；m(x)在[,ln2)上是减函数，

12第 17 页，共 20 页

考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.

【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 20．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查频率分布直方图与平均数、分层抽样、古典概型等基础知识，意在考查审读能力、识图能力、获取数据信息的能力．

21．【答案】

【解析】（1）当cos C＝0时，sin C＝1，原不等式即为4x＋6≥0对一切实数x不恒成立.

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cos C>0，

当cos C≠0时，应有

2

Δ＝16sin C－24cos C≤0，

cos C>0，∴

2

2cosC＋3cos C－2≥0，

1解得cos C≥．

2

1

∵C是△ABC的内角，∴≤cos C<1. （6分）

2

1π

（2）∵023

π此时c＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，

3∴6＝a＋b＋c＝a＋b＋

a2＋b2－ab≥2ab＋

∴ab≤4（当且仅当a＝b时取“＝”）. （10分）

1π

∴S△ABC＝absin≤3（当且仅当a＝b时取“＝”）.

23

（4分）

（8分）

2ab－ab＝3ab，

此时，△ABC面积的最大值为3，△ABC为等边三角形. 22．【答案】 【解析】解：

（12分）

（1）证明：∵D是BC的中点， a

∴BD＝DC＝.

2

a2

法一：在△ABD与△ACD中分别由余弦定理得c＝AD＋－2AD·

4

a

cos∠ADB，① 2

2

a22ab＝AD＋－2AD··cos∠ADC，②

42

2

222a①＋②得c＋b＝2AD＋，

2

2

2

即4AD2＝2b2＋2c2－a2，

1

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

法二：在△ABD中，由余弦定理得

a2a22

AD＝c＋－2c·cos B

42

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2222a＋c－ba

＝c2＋－ac·

42ac

2b2＋2c2－a2

＝，

41

∴AD＝2b2＋2c2－a2.

2

1sin B3

（2）∵A＝120°，AD＝19，＝，

2sin C5由余弦定理和正弦定理与（1）可得 a2＝b2＋c2＋bc，① 2b2＋2c2－a2＝19，②

b3

＝，③ c5

联立①②③解得b＝3，c＝5，a＝7，

11153

∴△ABC的面积为S＝bc sin A＝×3×5×sin 120°＝. 22415

即△ABC的面积为3.

4

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