南雄市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 如图，棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F是侧面对角线BC1,AD1上一点，若 BED1F 是菱形，则其在底面ABCD上投影的四边形面积（ ）

32213 B． C. D． 42242． 在等差数列{an}中，已知a4a816，则a2a10（ ）

A．

A．12 B．16 C．20 D．24 3． 设曲线f(x)x1在点(x,f(x))处的切线的斜率为g(x)，则函数yg(x)cosx的部分图象 可以为（ ）

2

A． B． C. D．

4． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ） A．36π C．60π

B．48π D．72π

5． 已知空间四边形ABCD，M、N分别是AB、CD的中点，且AC4，BD6，则（ ） A．1MN5 B．2MN10 C．1MN5 D．2MN5 6． 由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

A B1 CD

）等于（ ）

7． 已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+

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A． B． C． D．

8． 执行如图的程序框图，则输出S的值为（ ）

A．2016 B．2 C．

D．﹣1

9． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）

A．2 B． C． D．3

10．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（ A．123 B．163 C．203 第 2 页，共 17 页

）

D．323

11．若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1 B．

1没有公共点，则实数k的最大值为（ ） ex1 C．1 D．3 2【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

xyz12．已知x,y,z均为正实数，且2log2x，2log2y，2log2z，则（ ）

A．xyz B．zxy C．zyz D．yxz

二、填空题

13．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）= ．

14．已知fx12x28x11,则函数fx的解析式为_________.

15．设某总体是由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方 法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为 ________．

1818 0792 44 1716 5809 7983 8619 6206 7650 0310 5523 05 0526 6238

【命题意图】本题考查抽样方法等基础知识，意在考查统计的思想．

16．三角形ABC中，AB23,BC2,C60，则三角形ABC的面积为 . 17．在ABC中，已知角A,B,C的对边分别为a,b,c，且abcosCcsinB，则角B 为 .

三、解答题

18．已知函数

和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）． （1）试求f（x）的解析式；

的图象在y轴右侧的第一个最大值点

（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．

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19．（本小题满分14分）

设函数f(x)axbx1cosx，x0,（其中a，bR）.

221，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题. 20．

（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；

（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．

21．（本题满分15分）

22正项数列{an}满足anan3an12an1，a11． *（1）证明：对任意的nN，an2an1；

（2）记数列{an}的前n项和为Sn，证明：对任意的nN，2*12n1Sn3．

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【命题意图】本题考查数列的递推公式与单调性，不等式性质等基础知识，意在考查推理论证能力，分析和解决问题的能力.

222．已知数列{an}的前项和公式为Sn2n30n.

（1）求数列{an}的通项公式an； （2）求Sn的最小值及对应的值.

23．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜2π）一个周期内的一系列对应值如表： x 0 y 1 0 ﹣1 （1）求f（x）的解析式； （2）求函数g（x）=f（x）+

1

24．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝x2＋x＋a，g（x）＝ex.

2

（1）记曲线y＝g（x）关于直线y＝x对称的曲线为y＝h（x），且曲线y＝h（x）的一条切线方程为mx－y－1＝0，求m的值；

sin2x的单调递增区间．

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（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．

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南雄市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：在棱长为的正方体ABCDA1B1C1D1中，BC1AD12，设AFx，则2x1x2，2322，即菱形BED1F的边长为2，则BED1F在底面ABCD上的投影四边形是底边44433为，高为的平行四边形，其面积为，故选B. 44解得x考点：平面图形的投影及其作法. 2． 【答案】B 【解析】

试题分析：由等差数列的性质可知，a2a10a4a816. 考点：等差数列的性质. 3． 【答案】A 【解析】

试题分析：gx2x,gxcosx2xcosx,gxgx,cosxcosx，ygxcosx为奇函数，排除B，D，令x0.1时y0，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 4． 【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b， 则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，

1

又V四棱锥P－ABCD＝S矩形ABCD·PO

3

12＝abR≤R3. 332

∴R3＝18，则R＝3， 3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A. 5． 【答案】A 【解析】

试题分析：取BC的中点E，连接ME,NE，ME2,NE3，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，所以1MN5，故选A．

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考点：点、线、面之间的距离的计算．1

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的位置关系及其应用，其中解答中涉及三角形的边与边之间的关系、三棱锥的结构特征、三角形的中位线定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据三角形的两边之和大于第三边和三角形的两边之差小于第三边是解答的关键，属于基础题． 6． 【答案】D

【解析】由定积分知识可得7． 【答案】B

【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则

=，又sin2α+cos2α=1，

，故选D。

解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．

【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．

8． 【答案】B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 s=2，k=0

满足条件k＜2016，s=﹣1，k=1 满足条件k＜2016，s=，k=2 满足条件k＜2016，s=2．k=3 满足条件k＜2016，s=﹣1，k=4

）=cos

cosα﹣sin

sinα=

×（﹣）=

．

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满足条件k＜2016，s=，k=5 …

观察规律可知，s的取值以3为周期，由2015=3*671+2，有 满足条件k＜2016，s=2，k=2016

不满足条件k＜2016，退出循环，输出s的值为2． 故选：B．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出前几次循环得到的s，k的值，观察规律得到s的取值以3为周期是解题的关键，属于基本知识的考查．

9． 【答案】C

解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面． 则体积为故选：C． 10．【答案】C 【解析】

=，解得x=．

考点：三视图． 11．【答案】C

【解析】令gxfxkx11kx

1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，xe11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

12．【答案】A

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值xe第 9 页，共 17 页

【解析】

考

点：对数函数，指数函数性质．

二、填空题

13．【答案】 0.6 ．

2

【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ）， ∴曲线关于x=2对称，

∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

214．【答案】fx2x4x5 【解析】

试题分析：由题意得，令tx1，则xt1，则ft2(t1)8(t1)112t4t5，所以函数fx22的解析式为fx2x4x5.

2考点：函数的解析式. 15．【答案】19

【解析】由题意可得，选取的这6个个体分别为18,07,17,16,09,19，故选出的第6个个体编号为19． 16．【答案】23 【解析】

试题分析：因为ABC中，AB23,BC2,C60，由正弦定理得BCAB，即AC，所以C30，∴B90，ABBC，SABC考点：正弦定理，三角形的面积．

1232，sinA，又23sinA21ABBC23． 2第 10 页，共 17 页

【名师点睛】本题主要考查正弦定理的应用，三角形的面积公式．在解三角形有关问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，一般来说，当条件中同时出现ab及b、a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正

22弦、余弦交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦，再结合和、差、倍角的正弦公式进行解答．解三角形时．三角形面积公式往往根据不同情况选用不同形式17．【答案】【

111abc等等． absinC，ah，(abc)r，

2224R 4解

析

】

考

点：正弦定理．

【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是180，消去多余的变量，从而解出B角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在2016年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出现.

三、解答题

18．【答案】

【解析】（本题满分为12分） 解：（1）由题意知：A=2，… ∵T=6π， ∴

=6π得

ω=，…

∴f（x）=2sin（x+φ）， ∵函数图象过（π，2）， ∴sin（∵﹣

+φ）=1， ＜φ+

＜

，

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∴φ+=，得φ=… ， ）．…

）的图

∴A=2，ω=，φ=∴f（x）=2sin（x+

（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+象，

）+

]=2sin（

﹣

然后再将新的图象向轴正方向平移图象．

个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣

﹣

）．…

）的

故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（

【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．

19．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)

1， 211（2分） x1cosx，f(x)sinx，x0,.

222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626第 12 页，共 17 页

若

110，0，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(0)0)a，10，

222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2422241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 13 页，共 17 页

20．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.

又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，

设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得 DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.

1即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×，

2∴x2－y2＝4－2y，①

由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②

由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

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22．【答案】（1）an4n32；（2）当n7或时，Sn最小，且最小值为S7S8112. 【解析】

试题分析：（1）根据数列的项an和数列的和Sn之间的关系，即可求解数列{an}的通项公式an；（2）由（1）中的通项公式，可得a1a2∴当n1时，a1S128.

22当n2时，anSnSn1(2n30n)[2(n1)30(n1)]4n32.

a70，a80，当n9时，an0，即可得出结论．1

2试题解析：（1）∵Sn2n30n，

∴an4n32，nN. （2）∵an4n32， ∴a1a2a70，a80，

当n9时，an0.

∴当n7或8时，Sn最小，且最小值为S7S8112. 考点：等差数列的通项公式及其应用． 23．【答案】

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【解析】（本题满分12分）

解：（1）由表格给出的信息知，函数f（x）的周期为T=2（所以ω=

﹣0）=π．

．

=2，由sin（2×0+φ）=1，且0＜φ＜2π，所以φ=

）=cos2x…6分 sin2x+cos2x=2sin（2x+

），

所以函数的解析式为f（x）=sin（2x+（2）g（x）=f（x）+令2k

≤2x+

sin2x=

≤2k

，k∈Z则得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z

故函数g（x）=f（x）+用，属于基本知识的考查．

24．【答案】

sin2x的单调递增区间是：，k∈Z…12分

【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的单调性，周期公式的应

【解析】解：（1）y＝g（x）＝ex关于直线y＝x对称的曲线h（x）＝ln x， 设曲线y＝h（x）与切线mx－y－1＝0的切点为（x0，ln x0）， 由h（x）＝ln x得

1

h′（x）＝，（x＞0），

x1x0＝m则有，

mx0－ln x0－1＝0解得x0＝m＝1. ∴m的值为1.

1

（2）φ（x）＝x2＋x＋a－ex，

2φ′（x）＝x＋1－ex， 令t（x）＝x＋1－ex， ∴t′（x）＝1－ex，

当x＜0时，t′（x）＞0，x＞0时，t′（x）＜0， x＝0时，t′（x）＝0.

∴φ′（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x）max＝φ′（0）＝0， 即φ′（x）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a＝1有φ（0）＝0.

∴不论a为何值时，φ（x）＝f（x）－g（x）有唯一零点x0，

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当x0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 2e－3

即（a－1）（a－）＜0，

2

2e－32e－3

∴1＜a＜，即a的取值范围为（1，）．

22

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