全国二卷理科数学高考真题及答案

全国高考理科数学试题全国卷2

一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限, 则实数m的取值范围是( ) A．(–3,1) B．(–1,3) C．(1,+∞) D．(–∞,–3)

2、已知集合A={1,2,3}, B={x|(x+1)(x–2)<0, x∈Z}, 则A∪B=( ) A．{1} B．{1,2} C．{0,1,2,3} D．{–1,0,1,2,3} 3、已知向量a=(1,m), b=(3,–2), 且(a+b)⊥b, 则m=( ) A．–8 B．–6 C．6 D．8

4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1, 则a=( ) 43

A．–3 B．–4 C．3 D．2

5、如下左1图, 小明从街道的E处出发, 先到F处与小红会合, 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动, 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( ) A．24 B．18 C．12 D．9

6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图, 则该几何体的表面积为( ) A．20π B．24π C．28π D．32π

π

7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度, 则平移后图象的对称轴为( ) kππkππkππkππ

A．x=2–6(k∈Z) B．x=2+6(k∈Z) C．x=2–12(k∈Z) D．x=2+12(k∈Z)

8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图, 若输入的x=2, n=2, 依次输入的a为2, 2, 5, 则输出的s=( ) A．7 B．12 C．17 D．34 π3

9、若cos(4–α)=5, 则sin2α= ( )

7117A．25 B．5 C．–5 D．–25

10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1, x2, …, xn, y1, y2, …, yn, 构成n个数对(x1,y1), (x2,y2), …, (xn,yn), 其中两数的平方和小于1的数对共有m个, 则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )

4n2n4m2mA．m B．m C．n D．n x2y2

11、已知F1、F2是双曲线E：a2–b2=1的左, 右焦点, 点M在E上, MF1与x轴垂直, 1

sin∠MF2F1=3,则E的离心率为( )

3

A．2 B．2 C．3 D．2

x+1

12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x), 若函数y=x与y=f(x)图像的交点为(x1,y1), (x2,y2), ...(xm,ym), 则

(xy)( )

iii1mA．0 B．m C．2m D．4m 二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分

45

13、△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 若cosA=5, cosC=13, a=1, 则b=___________．

14、α、β是两个平面, m, n是两条直线, 有下列四个命题：

(1)如果m⊥n, m⊥α, n∥β, 那么α⊥β。 (2)如果m⊥α, n∥α, 那么m⊥n。 (3)如果α∥β, m⊂α, 那么m∥β。

(4)如果m∥n, α∥β, 那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。 其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。

15、有三张卡片, 分别写有1和2, 1和3, 2和3．甲, 乙, 丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”, 乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”, 丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”, 则甲的卡片上的数字是____________．

16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线, 也是曲线y=ln(x+1)的切线, 则b=__________． 三、解答题：解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和, 且a1=1, S7=28。记bn=[lgan], 其中[x]表示不超过x的最大整数, 如[0.9]=0, [lg99]=1． (1)求b1, b11, b101； (2)求数列{bn}的前1 000项和．

18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位：元), 继续购买该险种的投保人称为续保人, 续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数 保费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ≥5 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：[] 一年内出险次数 概率 0 0.30 1 0.15 2 0.20 3 0.20 4 0.10 ≥5 0. 05 (1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率； (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费, 求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

19、(本小题满分12分)如图, 菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O, AB=5, AC=6, 点E、5

F分别在AD、CD上, AE=CF=4, EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D'EF位置, OD'=10． (1)证明：D'H⊥平面ABCD； (2)求二面角B–D'A–C的正弦值．

x2y2

20、(本小题满分12分)已知椭圆E：t+3=1的焦点在X轴上, A是E的左顶点, 斜率为k(k>0)的直线交E于A, M两点, 点N在E上, MA⊥NA． (1)当t=4, |AM|=|AN|时, 求△AMN的面积； (2)当2|AM|=|AN|时, 求k的取值范围．

x–2

21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=x+2ex的单调性, 并证明当x>0时, (x–2)ex+x+2>0； ex–ax–a

(2)证明：当a∈[0,1)时, 函数g(x)=x2(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a), 求函数h(a)的值域．

请考生在22、23、24题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号

22、(本小题满分10分)[选修4–1：几何证明选讲]如图, 在正方形ABCD中, E、G分别在边DA, DC上(不与端点重合), 且DE=DG, 过D点作DF⊥CE, 垂足为F． (1) 证明：B, C, G, F四点共圆；

(2)若AB=1, E为DA的中点, 求四边形BCGF的面积．

23、(本小题满分10分)[选修4–4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中, 圆C的方程为(x+6)2+y2=25． (1)以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求C的极坐标方程；

x=tcosα

(2)直线l的参数方程是y=tsinα(t为参数), l与C交于A, B两点, |AB|=10, 求l的斜率．



11

24、(本小题满分10分)[选修4–5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x–2|+|x+2|, M为不等式f(x)<2的解集． (1)求M；

(2)证明：当a, b∈M时, |a+b|<|1+ab|．

参考答案

1、解析：∴m+3>0, m–1<0, ∴–32、解析：B={x|(x+1)(x–2)<0, x∈Z}={x|–13、解析： 向量a+b=(4,m–2), ∵(a+b)⊥b, ∴(a+b)·b=10–2(m–2)=0, 解得m=8, 故选D．

4、解析：圆x2+y2–2x–8y+13=0化为标准方程为：(x–1)2+(y–4)2=4, 故圆心为(1,4), d=4

解得a=–3, 故选A．

5、解析一：E→F有6种走法, F→G有3种走法, 由乘法原理知, 共6×3=18种走法, 故选B．

1

解析二：由题意, 小明从街道的E处出发到F处最短有C24条路, 再从F处到G处最短共有C3条路,

|a+4–1|

=1, a2+1

则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为C2C14·3=18条, 故选B。

6、解析：几何体是圆锥与圆柱的组合体,

设圆柱底面圆半径为r, 周长为c, 圆锥母线长为l, 圆柱高为h． 由图得r=2, c=2πr=4π, 由勾股定理得：l=22+(23)2=4, S故选C．

πππ

7、解析：由题意, 将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位得y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6), 则平移后πππkπ

函数的对称轴为2x+6=2+kπ, k∈Z, 即x=6+2, k∈Z, 故选B。

8、解析：第一次运算：s=0×2+2=2, 第二次运算：s=2×2+2=6, 第三次运算：s=6×2+5=17, 故选C．

π3ππ7

9、解析：∵cos(4–α)=5, sin2α=cos(2–2α)=2cos2(4–α)–1=25, 故选D．

12+ch+cl=4π+16π+8π=28π, =πr表

2

π3

解法二：对cos(4–α)=5展开后直接平方 解法三：换元法

10、解析：由题意得：(xi,yi)(i=1, 2, 3, ..., n)在如图所示方格中, 而平方和小于1的点均在如图的阴影中

π/4m4m

由几何概型概率计算公式知1=n, ∴π=n, 故选C．

223F1F2F1F2sinM

11、解析： 离心率e=MF–MF, 由正弦定理得e=MF–MF=sinF–sinF=1=2．故选A．

212112

1–3x+11

12、解析：由f(–x)=2–f(x)得f(x)关于(0,1)对称, 而y=x=1+x也关于(0,1)对称, ∴对于每一组对称点xi+x'i=0, yi+y'i=2, ∴

4531263

13、解析：∵cosA=5, cosC=13, sinA=5, sinC=13, ∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=65, ba21

由正弦定理：sinB=sinA, 解得b=13．

14、解析：对于①, m⊥n, m⊥α, n∥β, 则α, β的位置关系无法确定, 故错误；对于②, 因为n//, 所以过直线n作平面γ与平面β相交于直线c, 则n∥c, 因为m⊥α, ∴m⊥c, ∴m⊥n, 故②正确；对于③, 由两个平面平行的性质可知正确；对于④, 由线面所成角的定义和等角定理可知其正确, 故正确的有②③④.

15、解析：由题意得：丙不拿(2,3), 若丙(1,2), 则乙(2,3), 甲(1,3)满足；若丙(1,3), 则乙(2,3), 甲(1,2)不满足；故甲(1,3),

116、解析：y=lnx+2的切线为：y=x·x+lnx1+1(设切点横坐标为x1)

1

xiyixiyi02i1i1i1mmmmm, 故选B． 2

1x2

y=ln(x+1)的切线为：y=x+1·x+ln(x2+1)–x+1, ∴

2211

解得x1=2, x2=–2。∴b=lnx1+1=1–ln2．

x lnx+1=ln(x+1)–x+1212211x1=x2+1a4–a1

17、解析：(1)设{an}的公差为d, S7=7a4=28, ∴a4=4, ∴d=3=1, ∴an=a1+(n–1)d=n． ∴b1=[lga1]=[lg1]=0, b11=[lga11]=[lg11]=1, b101=[lga101]=[lg101]=2． (2)记{bn}的前n项和为Tn, 则T1000=b1+b2+...+b1000=[lga1]+[lga2]+...+[lga1000]．

当0≤lgan<1时, n=1, 2, ..., 9；当1≤lgan<2时, n=10, 11, ..., 99；当2≤lgan<3时, n=100, 101, ..., 999； 当lgan=3时, n=1000．∴T1000=0×9+1×90+2×900+3×1=1893．

18、(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A, P(A)=1–P(A)=1–(0.30+0.15)=0.55． P(AB)0.10+0.053

(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B, P(B|A)=P(A)=0.55=11． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X．

X P 0.85a 0.30 a 0.15 1.25a 0.20 1.5a 0.20 1.75a 0.10 2a 0.05 平均保费EX=0.85a×0.30+0.15a+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a, ∴平均保费与基本保费比值为1.23．

5AECF

19、解析：(1)证明：如下左1图, ∵AE=CF=4, ∴AD=CD, ∴EF∥AC． ∵四边形ABCD为菱形, ∴AC⊥BD, ∴EF⊥BD, ∴EF⊥DH, ∴EF⊥D'H．

AE

∵AC=6, ∴AD=3；又AB=5, AO⊥OB, ∴OB=4, ∴OH=AO·OD=1, ∴DH=D'H=3, ∴|OD'|2=|OH|2+|D'H|2, ∴D'H⊥OH． 又∵OH∩EF=H, ∴D'H⊥面ABCD．

5

(2)方法一、几何法：若AB=5, AC=6, 则AO=3, B0=OD=4, ∵AE=4, AD=AB=5, 515

∴DE=5–4=4,

DEEHDH15/4399

∵EF∥AC, ∴AD=AC=OD=5=4, ∴EH=4, EF=2EH=2, DH=3, OH=4–3=1,

∵HD’=DH=3, OD’=22, ∴满足HD’2=OD’2+OH2, 则△OHD’为直角三角形, 且OD’⊥OH, 即OD’⊥底面ABCD, 即OD’是五棱锥D’–ABCFE的高．

9

(2+6)×1

1(EF+AC)·OH12169

底面五边形的面积S=2×AC·OB+=×6×4+=12+2224=4,

1169232

则五棱锥D’–ABCFE体积V=3S·OD’=3×4×22=2．

方法二、向量法。建立如下左2图坐标系H–xyz．B(5,0,0), C(1,3,0), D'(0,0,3), A(1,–3,0), ∴向量AB=(4,3,0), AD'=(–1,3,3), AC=(0,6,0),

n1·AB=04x+3y=0设面ABD'法向量n1=(x,y,z), 由n·得, 取y=–4, ∴n1=(3,–4,5)．

1AD'=0–x+3y+3z=0

z=5

同理可得面AD'C的法向量n2=(3,0,1),

|n1·n2||9+5|75295

∴|cosθ|=|n||n|==25, ∴sinθ=25。

1252·10

x=3

x2y2

20、解析：(1)当t=4时, 椭圆E的方程为4+3=1, A点坐标为(–2,0), 则直线AM的方程为y=k(x+2)．

联立椭圆E和直线AM方程并整理得, (3+4k2)x2+16k2x+16k2–12=0。 8k2–68k2–6122

解得x=–2或x=–3+4k2, 则|AM|=1+k|–3+4k2+2|=1+k2·3+4k2。 ∵AM⊥AN, ∴|AN|=

112122·1+(–k)2·=1+k124。

3+4·(1–k)3|k|+|k|

12122·21+k2·=1+k3+4k24, 整理得(k–1)(4k–k–4)=0,

3k+k

∵|AM|=|AN|, k>0, ∴

4k2–k+4=0无实根, ∴k=1．

11122144

所以△AMN的面积为2|AM|2=2(1+1·3+4)=49． (2)直线AM的方程为y=k(x+t), 联立椭圆E和直线AM方程并整理得, ∴|AM|=1+k2|–

(3+tk2)x2+2t

tk2x+t2k2–3t=0。解得

ttk2–3t

x=–t或x=–3+tk2,

ttk2–3t6t6t2·2·+t|=1+k, ∴|AN|=1+k22

3+tk3+tkt 3k+k

1+k2·6t6t6k2–3k2

3+tk2=1+k·t, 整理得, t=k3–2．

3k+k

∵2|AM|=|AN|, ∴2·

6k2–3k(k2+1)(k–2)3

∵椭圆E的焦点在x轴, ∴t>3, 即k3–2>3, 整理得k3–2<0, 解得222、解析：(1)证明：∵DF⊥CE, ∴Rt△DEF∽Rt△CED, ∴∠GDF=∠DEF=∠BCF, DG=BC。 DFCF

∵DE=DG, CD=BC, ∴DG=BC。∴△GDF∽△BCF, ∴∠CFB=∠DFG。

∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°, ∴∠GFB+∠GCB=180°．∴B, C, G, F四点共圆．

(2)∵E为AD中点, AB=1,

1

∴DG=CG=DE=2, ∴在Rt△GFC中, GF=GC, 连接GB, Rt△BCG≌Rt△BFG, ∴S111

=2S=2×BCGF△BCG

2×1×2=2．

23、解：(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,

由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0． (2)记直线的斜率为k, 则直线的方程为kx–y=0, |–6k|

由垂径定理及点到直线距离公式知：=

1+k215k=±3．

11111111

24、解析：(1)当x<–2时, f(x)=2–x–x–2=–2x, 若–1立；当x>2时, f(x)=2x, 若f(x)<2, 2(2)当a, b∈(–1,1)时, 有(a2–1)(b2–1)>0, 即a2b2+1>a2+b2, 则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2, 则(ab+1)2>(a+b)2, 即|a+b|<|ab+1|, 证毕．

x–2xx–24x2ex

x

21、解析：(1)证明：f(x)=x+2e, ∴f'(x)=e(x+2+(x+2)2)=(x+2)2。

∵当x∈(–∞,–2)∪(–2,+∞)时, f'(x)>0, ∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。 x–2

∴x>0时, x+2ex>f(0)=–1, ∴(x–2)ex+x+2>0。

x–2x

(x+2)(e+a)x+2·(ex–a)x2–2x(ex–ax–a)x(xex–2ex+ax+2a)

(2)g'(x)===, a∈[0,1)。 x4x4x3

x–2t–2t由(1)知, 当x>0时, f(x)=x+2ex的值域为(–1,+∞), 只有一解．使得t+2·e=–a, t∈(0,2]。 当x∈(0,t)时g'(x)<0, g(x)单调减；当x∈(t,+∞)时g'(x)>0, g(x)单调增

10236k2905

25–(2), 即1+k2=4, 整理得k2=3, 则

四边形

t–2t

te+(t+1)et+2·et–a(t+1)et

h(a)=t2==t+2。 t2

etet(t+1)1e2

记k(t)=t+2, 在t∈(0,2]时, k'(t)=(t+2)2>0, ∴k(t)单调递增, ∴h(a)=k(t)∈(2,4]．