湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类①

知识点分类①

一．二次函数综合题（共4小题）

1．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．

（1）求b，c的值．

（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．

①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；

②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足

+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美

美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．

①求函数y2的图象的对称轴；

②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

3．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；

（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

．

4．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求△AOD周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

二．三角形综合题（共1小题）

5．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．

（1）求证：△BAE≌△CAE；

（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求证：①AF•MH＝AM•AE；②GF＝GD．

三．四边形综合题（共1小题）

6．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，

①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．

四．圆的综合题（共1小题）

7．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；

（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•数解析式，并写出自变量x的取值范围．

＝y，试求y关于x的函

上）．

五．相似三角形的应用（共1小题）

8．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．（1）求证：AE2＝EF•EM；

（2）若AF＝1，求AE的长；（3）求

的值．

六．相似形综合题（共1小题）

9．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；

（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．

湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）

知识点分类①

参与试题解析

一．二次函数综合题（共4小题）

1．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．

（1）求b，c的值．

（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．

①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；

②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）b＝﹣4，c＝﹣5；

（2）①当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为

；

，6﹣

②存在，当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（﹣

）．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），

∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，∴b＝﹣4，c＝﹣5；

（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，令x＝0，则y＝﹣5；∴C（0，﹣5）

∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，

﹣4x0﹣5），

①如图，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，

则D（x0，x0﹣5），

∴S△PBC＝OB•PD＝×5×（x0﹣5﹣＝﹣

+

x0

，

；+4x0+5）

＝﹣（x0﹣2.5）2+

∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为②存在，理由如下：

由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，

由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+5＝﹣∵PF∥x轴，∴F（4﹣x0，

﹣4x0﹣5），

+5x0，

∴PF＝|2x0﹣4|，∴|2x0﹣4|＝﹣

+5x0，

或x0＝+

（舍），

﹣

，

﹣

解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0＝﹣

∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（

）．

2．（2023•长沙）我们约定：若关于x的二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2同时满足

+（b2+b1）2+|c2﹣a1|＝0，（b1﹣b2）2023≠0，则称函数y1与函数y2互为“美

美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

（1）若关于x的二次函数y1＝2x2+kx+3与y2＝mx2+x+n互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

（2）对于任意非零实数r，s，点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，函数y2与y1互为“美美与共”函数．①求函数y2的图象的对称轴；

②函数y2的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否

则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数y1＝ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A，点B，函数y1的图象与x轴交于不同两点C，D，函数y2的图象与x轴交于不同两点E，F．当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．【答案】（1）k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．（2）①函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．②函数y2的图象过定点（0，1），（

）．

（3）当CD＝EF时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，该正方形面积的取值范围为S＞2．

【解答】解：（1）由题意可知，a2＝c2，a1＝c2，b1＝﹣b2≠0，∴m＝3，n＝2，k＝﹣1．

答：k的值为﹣1，m的值为3，n的值为2．

（2）①∵点P（r，t）与点Q（s，t）（r≠s）始终在关于x的函数y1＝x2+2rx+s的图象上运动，∴对称轴为x＝∴s＝﹣3r，∴

∴对称轴为x＝

，

．，

答：函数y2的图象的对称轴为x＝﹣．②

令3x2+2x＝0，解得

∴过定点（0，1），（

，

）．

）．

，

，

答：函数y2的图象过定点（0，1），（（3）由题意可知

，

∴，

∴CD＝，EF＝，

∵CD＝EF且b2﹣4ac＞0，∴|a|＝|c|．1°若a＝﹣c，则

要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，则△CAD，△CBD为等腰直角三角形，∴CD＝2|yA|，∴

，

，

∴

∴b2+4a2＝4，∴

∵b2＝4﹣4a2＞0，∴0＜a2＜1，∴S正＞2，

，

，

2°若a＝c，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，

综上，当a＝﹣c时，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时S＞2．3．（2023•常德）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，（1）求二次函数的表达式；（2）求四边形ACDB的面积；

（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若∠ACO＝∠PBC，求P点的坐标．

．

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）30；（3）

．

【解答】解：（1）∵AO＝1，tan∠ACO＝，∴OC＝5，即C的坐标为（0，5），

∵二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点且过C的坐标（0，5），设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，代入得：

，

解得：，

∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x+5；

（2）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴顶点的坐标为（2，9），

过D作DN⊥AB于N，作DM⊥OC于M，

四边形ACDB的面积＝S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB＝

；

（3）如图，P是抛物线上的一点，且在第一象限，当∠ACO＝∠PBC时，连接PB，过C作CE⊥BC交BP于E，过E作EF⊥OC于F，

∵OC＝OB＝5，则BC＝5∵∠ACO＝∠PBC，∴tan∠ACO＝tan∠PBC，即∴

，

，

，

∴△EFC是等腰直角三角形，∴FC＝FE＝1，∴E的坐标为（1，6），所以过B、E的直线的解析式为

，

令，

解得，或，

所以BE直线与抛物线的两个交点为即所求P的坐标为

．

，

4．（2023•张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，6）．点D为线段BC上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求△AOD周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6；（2）△AOD周长的最小值为12；

（3）P点为 ．S的最大值为．

【解答】解：（1）由题意可知，设抛物线的表达式为y＝a（x+2）（x﹣6），将（0，6）代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣6），解得

，

∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+2）（x﹣6）＝﹣x2+2x+6；（2）作点O关于直线BC的对称点E，连接EC、EB，

∵B（6，0），C（0，6），∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6，

∵O、E关于直线BC对称，∴四边形OBEC为正方形，∴E（6，6），

连接AE，交BC于点D，由对称性|DE|＝|DO|，此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长，∴AE＝

＝

＝10，

∵△AOD 的周长为DA+DO+AO，AO＝2，DA+DO的最小值为10，∴△AOD的周长的最小值为10+2＝12，

（3）由已知点A（﹣2，0），B（6，0），C（0，6），

设直线BC的表达式为 y＝kx+b，

将B（6，0），C（0，6）代入y＝kx+b 中，则解得

，，

∴直线BC的表达式为y＝﹣x+6，同理可得：直线AC的表达式为y＝3x+6，∵PD∥AC，

∴可设直线PD表达式为y＝3x+a，由（1）设P（m，﹣m2+2m+6），

将P点坐标代入直线PD的表达式得a＝﹣m2﹣m+6，∴直线PD的表达式为：

，

由，

得，

∴D（m2+m，﹣m2﹣m+6），∵P，D都在第一象限，

∴S＝S△PBD+S△PAD＝S△PAB﹣S△DAB

＝|AB|[（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m2﹣m+6）]

＝×8×（﹣m2+m）＝﹣m2+9m＝﹣（m2﹣6m）＝﹣（m﹣3）2+∵﹣＜0，

∴当 m＝3 时，S有最大值，最大值为此时P点为

．

，

，

解法二：利用平行等积，将△PAD面积转化为△PCD的面积，那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积，即求△PBC的面积最大值．二．三角形综合题（共1小题）

5．（2023•常德）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB．EC．

（1）求证：△BAE≌△CAE；

（2）在如图1中，若AE＝AD，其它条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于F，设H是EC的中点，过点H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求证：①AF•MH＝AM•AE；②GF＝GD．

【答案】（1）证明见解答过程；

（2）①②证明见解答过程．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线，又∵E在AD上，∴EB＝EC，

在△BAE和△CAE中，

，

∴△BAE≌△CAE（SSS）；（2）①连接AH，

∵A，H分别是ED和EC的中点，∴AH为△EDC的中位线，∴AH∥DC，

∴∠EAH＝∠EDC＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH，∴△AFD∽△MAH，∴

＝

，

∴AF⋅MH＝AM⋅AD，∵AE＝AD，∴AF⋅MH＝AM⋅AE；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB，∴△AMH∽△DAC，

∵A、H分别为ED和EC中点，∴AH为△EDC的中位线，∴

＝

＝，

∴AM＝AD，即M为AD中点，∵AF∥GH，∴G为FD中点，∴GF＝GD．

三．四边形综合题（共1小题）

6．（2023•郴州）已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE＝AD，连接DE交射线AC于点F．

（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，

①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；

②如图3，连接AE．设AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四边形BDFC的面积．

【答案】（1），理由见解析过程；

（2）①成立，理由见解析过程；②

．

，理由如下：

【解答】解：（1）

如图，过点D作DG∥BC，交AC于点G，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，

∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG为等边三角形，∴AD＝AG＝DG，

∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF＝CG＝BD；（2）①成立，理由如下：

如图2，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，

∵DG∥BC，

∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等边三角形，∴AD＝AG＝DG，

∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG＝CG＝BD；

②如图，过点D作DG∥BC，交AC的延长线于点G，过点A作 AN⊥DG，交BC于点H，交DE于点N，则：AN⊥BC，

由①知：△ADG为等边三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴

，

，

，

∵△ABC为等边三角形，

∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MHE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴

，

，

∵△DGF≌△ECF，

∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴

，

，

设MN＝y，DG＝CE＝x，则：EH＝CE+CH＝2+x，

∴＝①，

∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴即：

联立①②可得：经检验 ∴∴

，，

（负值已舍去），

是原方程的根，，，

+4）×2

＝4

+4

，

，

，

∴S△ACE＝CE•AH＝×（4

∴＝＝，

∴S△CEF＝

（4）＝4+2，

∴四边形BDFC的面积＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF＝

＝

．

方法二、在DE上截取，EM＝EA，连接BM，CD，过点C作CH⊥AB于H，

∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB，AB＝4，∴BH＝AH＝2，∠BCH＝30°，∴CH＝

BH＝2

，

∵AE＝EM，∠AEB＝∠DEB，BE＝BE，∴△ABE≌△MBE（SAS），

∴BM＝AB＝4，∠ABC＝∠MBE＝60°＝∠ACB，

∴AC∥BM，∴△DBM∽△DAF，∴∴∴CF＝2

，

+4

，S△BCD＝4

，

，

，

∴S△ADF＝×AD×CH＝4

∵＝，

∴S△CDF＝2

+4，

．

∴S四边形BDFC＝

四．圆的综合题（共1小题）

7．（2023•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的延长线于点N，交⊙O于点M（点M在劣弧（1）BD是⊙O的切线吗？请作出你的判断并给出证明；

（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S1，S2，S，若S1•S＝（S2）2，求（tanD）2的值；

（3）若⊙O的半径为1，设FM＝x，FE•FN•数解析式，并写出自变量x的取值范围．

＝y，试求y关于x的函

上）．

【答案】（1）BD是⊙O的切线；理由略；（2）

；

（3）y＝x，0＜x≤1．

【解答】解：（1）BD是⊙O的切线．证明：如图，在△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∴∠ACB＝90°．又点A，B，C在⊙O上，∴AB是⊙O的直径．∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∠DBC＝∠CAB，∴∠DBC+∠ABC＝90°．∴∠ABD＝90°．∴BD是⊙O的切线．

（2）由题意得，S1＝BC•CD，S2＝BC•AC，S＝AD•BC．∵S1•S＝（S2）2，

∴BC•CD•AD•BC＝（BC•AC）2．∴CD•AD＝AC2．∴CD（CD+AC）＝AC2．

又∵∠D+∠DBC＝90°，∠ABC+∠A＝90°，∠DBC＝∠A，∴∠D＝∠ABC．∴tan∠D＝∴CD＝

＝tan∠ABC＝．

．

又CD（CD+AC）＝AC2，∴

+BC2＝AC2．

∴BC4+AC2•BC2＝AC4．∴1+（

）2＝（

）4．

由题意，设（tan∠D）2＝m，∴（

）2＝m．

∴1+m＝m2．

∴m＝∵m＞0，∴m＝

．

．

．

∴（tan∠D）2＝（3）设∠A＝α，

∵∠A+∠ABC＝∠ABC+∠DBC＝∠ABC+∠N＝90°，∴∠A＝∠DBC＝∠N＝α．

如图，连接OM．∴在Rt△OFM中，OF＝∴BF＝BO+OF＝1+

＝

．

．

，AF＝OA﹣OF＝1﹣

）•tanα，

∴在Rt△AFE中，EF＝AF•tanα＝（1﹣

AE＝＝．

在Rt△ABC中，BC＝AB•sinα＝2sinα．（∵r＝1，∴AB＝2．）AC＝AB•cosα＝2cosα．在Rt△BFN中，BN＝

＝

，FN＝

＝

．

∴y＝FE•FN•＝x2•

＝x2•

＝x2•

＝x2•＝x．即y＝x．∵FM⊥AB，

∴FM最大值为F与O重合时，即为1．∴0＜x≤1．

综上，y＝x，0＜x≤1．

五．相似三角形的应用（共1小题）

8．（2023•娄底）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．（1）求证：AE2＝EF•EM；（2）若AF＝1，求AE的长；（3）求

的值．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）AE的长为

；

（3）的值为．

【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠BAE＝∠AED＝108°，

∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，∵AM平分∠FAE，

∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，∴∠F＝∠MAE，∵∠AEM＝∠AEF，∴△AEM∽△FEA，∴

＝

，

∴AE2＝EF•EM；（2）解：设AE＝x，

由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，∴FM＝AM，

由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，∴FA＝FE＝1，

∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，∴∠AME＝∠AEF＝72°，∴AM＝AE，∴AM＝AE＝FM＝x，∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，由（1）可得：AE2＝EF•EM，∴x2＝1•（1﹣x），解得：x＝∴AE＝∴AE的长为

，

；或x＝

（舍去），

（3）连接BE，CE，

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，∴△ABE≌△DCE（SAS），

∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，

∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，∴△FAE≌△EBC（ASA），由（2）得：∴

＝

＝，

，

∴＝，

∴设△ABE的面积为（﹣1）k，则△AEF的面积为2k，

﹣1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，

k，

∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（

∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝2∴

＝

＝

，

∴的值为．

六．相似形综合题（共1小题）

9．（2023•益阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′，线段DA′交AB于点E，作A′F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC，GB．（1）求证：△ADE≌△A′DG；（2）求证：AF•GB＝AG•FC；

（3）若AC＝8，tanA＝，当A′G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．

【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（3）AD＝

．

【解答】（1）证明：∵∠A+∠AGA'＝90°，∠A'+∠AGA'＝90°，∴∠A＝∠A'，

∵AD＝A'D，∠ADE＝∠A'DG＝90°，∴△ADE≌△A′DG（ASA）；

（2）证明：∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠FAG＝∠CAB，∴△AFG∽△ACB，∴∴

＝＝

，，

∵∠FAC＝∠GAB，∴△FAC∽△GAB，∴

＝

，

∴AF•GB＝AG•FC；（3）解：∵tanA＝

＝

＝，AC＝8，

∴BC＝4，∴S△ACB＝16，

设DE＝DG＝x，则AD＝A'D＝2x，AE＝A'G＝∴A'E＝A'D﹣DE＝2x﹣x＝x，∴S△ADE＝S△A′DG＝x2，∵△A'FE∽△A'DG，∴

＝

＝

，

x，

∴S△A'FE：S△A'DG＝1：5，∴S四边形DGFE＝S△A'DG＝x2，

∵S△ACB＝S△ADE+S四边形DCBE，A′G平分四边形DCBE的面积，∴S△ACB＝S△ADE+2S四边形DGFE，∴16＝x2+x2，x2＝∴x1＝∴AD＝

，x2＝﹣．

（舍），