知识点分类①
一.二次函数综合题(共4小题)
1.(2023•娄底)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣1,0)、点B(5,0),交y轴于点C.
(1)求b,c的值.
(2)点P(x0,y0)(0<x0<5)是抛物线上的动点.
①当x0取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值;
②过点P作PE⊥x轴,交BC于点E,再过点P作PF∥x轴,交抛物线于点F,连接EF,问:是否存在点P,使△PEF为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(2023•长沙)我们约定:若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2同时满足
+(b2+b1)2+|c2﹣a1|=0,(b1﹣b2)2023≠0,则称函数y1与函数y2互为“美
美与共”函数.根据该约定,解答下列问题:
(1)若关于x的二次函数y1=2x2+kx+3与y2=mx2+x+n互为“美美与共”函数,求k,m,n的值;
(2)对于任意非零实数r,s,点P(r,t)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图象上运动,函数y2与y1互为“美美与共”函数.
①求函数y2的图象的对称轴;
②函数y2的图象是否经过某两个定点?若经过某两个定点,求出这两个定点的坐标;否则,请说明理由;
(3)在同一平面直角坐标系中,若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A,点B,函数y1的图象与x轴交于不同两点C,D,函数y2的图象与x轴交于不同两点E,F.当CD=EF时,以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,求出该正方形面积的取值范围;若不请说明理由.
3.(2023•常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为坐标原点,(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB的面积;
(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求P点的坐标.
.
4.(2023•张家界)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,求△AOD周长的最小值;
(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.
二.三角形综合题(共1小题)
5.(2023•常德)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB.EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
(2)在如图1中,若AE=AD,其它条件不变得到图2,在图2中过点D作DF⊥AB于F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于G,交DE于M.求证:①AF•MH=AM•AE;②GF=GD.
三.四边形综合题(共1小题)
6.(2023•郴州)已知△ABC是等边三角形,点D是射线AB上的一个动点,延长BC至点E,使CE=AD,连接DE交射线AC于点F.
(1)如图1,当点D在线段AB上时,猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D在线段AB的延长线上时,
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立?请说明理由;
②如图3,连接AE.设AB=4,若∠AEB=∠DEB,求四边形BDFC的面积.
四.圆的综合题(共1小题)
7.(2023•长沙)如图,点A,B,C在⊙O上运动,满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点D,使得∠DBC=∠CAB,点E是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点E作弦AB的垂线,交AB于点F,交BC的延长线于点N,交⊙O于点M(点M在劣弧(1)BD是⊙O的切线吗?请作出你的判断并给出证明;
(2)记△BDC,△ABC,△ADB的面积分别为S1,S2,S,若S1•S=(S2)2,求(tanD)2的值;
(3)若⊙O的半径为1,设FM=x,FE•FN•数解析式,并写出自变量x的取值范围.
=y,试求y关于x的函
上).
五.相似三角形的应用(共1小题)
8.(2023•娄底)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰,国旗上的每颗星都是标准五角星,为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等,数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究,延长正五边形的各边直到不相邻的边相交,得到一个标准五角星,如图,正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F,∠EAF的平分线交EF于点M.(1)求证:AE2=EF•EM;
(2)若AF=1,求AE的长;(3)求
的值.
六.相似形综合题(共1小题)
9.(2023•益阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,点D在边AC上,将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′,线段DA′交AB于点E,作A′F⊥AB于点F,与线段AC交于点G,连接FC,GB.(1)求证:△ADE≌△A′DG;(2)求证:AF•GB=AG•FC;
(3)若AC=8,tanA=,当A′G平分四边形DCBE的面积时,求AD的长.
湖南省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)
知识点分类①
参与试题解析
一.二次函数综合题(共4小题)
1.(2023•娄底)如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣1,0)、点B(5,0),交y轴于点C.
(1)求b,c的值.
(2)点P(x0,y0)(0<x0<5)是抛物线上的动点.
①当x0取何值时,△PBC的面积最大?并求出△PBC面积的最大值;
②过点P作PE⊥x轴,交BC于点E,再过点P作PF∥x轴,交抛物线于点F,连接EF,问:是否存在点P,使△PEF为等腰直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)b=﹣4,c=﹣5;
(2)①当x0=2.5时,S的值取最大,最大值为
;
,6﹣
②存在,当△PEF是等腰直角三角形时,点P的坐标为(4,﹣5),(﹣
).
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点A(﹣1,0)、点B(5,0),
∴抛物线的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=x2﹣4x﹣5,∴b=﹣4,c=﹣5;
(2)由(1)得,抛物线的解析式为:y=x2﹣4x﹣5,令x=0,则y=﹣5;∴C(0,﹣5)
∴直线BC的表达式为:y=x﹣5,P(x0,
﹣4x0﹣5),
①如图,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点D,
则D(x0,x0﹣5),
∴S△PBC=OB•PD=×5×(x0﹣5﹣=﹣
+
x0
,
;+4x0+5)
=﹣(x0﹣2.5)2+
∴当x0=2.5时,S的值取最大,最大值为②存在,理由如下:
由题意可知,PE⊥PF,若△PEF是等腰直角三角形,则PE=PF,
由①可得,PE=x0﹣5﹣x02+4x0+5=﹣∵PF∥x轴,∴F(4﹣x0,
﹣4x0﹣5),
+5x0,
∴PF=|2x0﹣4|,∴|2x0﹣4|=﹣
+5x0,
或x0=+
(舍),
﹣
,
﹣
解得x0=﹣1(舍)或x0=4或x0=﹣
∴当△PEF是等腰直角三角形时,点P的坐标为(4,﹣5),(
).
2.(2023•长沙)我们约定:若关于x的二次函数y1=a1x2+b1x+c1与y2=a2x2+b2x+c2同时满足
+(b2+b1)2+|c2﹣a1|=0,(b1﹣b2)2023≠0,则称函数y1与函数y2互为“美
美与共”函数.根据该约定,解答下列问题:
(1)若关于x的二次函数y1=2x2+kx+3与y2=mx2+x+n互为“美美与共”函数,求k,m,n的值;
(2)对于任意非零实数r,s,点P(r,t)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图象上运动,函数y2与y1互为“美美与共”函数.①求函数y2的图象的对称轴;
②函数y2的图象是否经过某两个定点?若经过某两个定点,求出这两个定点的坐标;否
则,请说明理由;
(3)在同一平面直角坐标系中,若关于x的二次函数y1=ax2+bx+c与它的“美美与共”函数y2的图象顶点分别为点A,点B,函数y1的图象与x轴交于不同两点C,D,函数y2的图象与x轴交于不同两点E,F.当CD=EF时,以A,B,C,D为顶点的四边形能否为正方形?若能,求出该正方形面积的取值范围;若不请说明理由.【答案】(1)k的值为﹣1,m的值为3,n的值为2.(2)①函数y2的图象的对称轴为x=﹣.②函数y2的图象过定点(0,1),(
).
(3)当CD=EF时,以A,B,C,D为顶点的四边形能构成正方形,该正方形面积的取值范围为S>2.
【解答】解:(1)由题意可知,a2=c2,a1=c2,b1=﹣b2≠0,∴m=3,n=2,k=﹣1.
答:k的值为﹣1,m的值为3,n的值为2.
(2)①∵点P(r,t)与点Q(s,t)(r≠s)始终在关于x的函数y1=x2+2rx+s的图象上运动,∴对称轴为x=∴s=﹣3r,∴
∴对称轴为x=
,
.,
答:函数y2的图象的对称轴为x=﹣.②
令3x2+2x=0,解得
∴过定点(0,1),(
,
).
).
,
,
答:函数y2的图象过定点(0,1),((3)由题意可知
,
∴,
∴CD=,EF=,
∵CD=EF且b2﹣4ac>0,∴|a|=|c|.1°若a=﹣c,则
要使以A,B,C,D为顶点的四边形能构成正方形,则△CAD,△CBD为等腰直角三角形,∴CD=2|yA|,∴
,
,
∴
∴b2+4a2=4,∴
∵b2=4﹣4a2>0,∴0<a2<1,∴S正>2,
,
,
2°若a=c,则A、B关于y轴对称,以A,B,C,D为顶点的四边形不能构成正方形,
综上,当a=﹣c时,以A,B,C,D为顶点的四边形能构成正方形,此时S>2.3.(2023•常德)如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.O为坐标原点,(1)求二次函数的表达式;(2)求四边形ACDB的面积;
(3)P是抛物线上的一点,且在第一象限内,若∠ACO=∠PBC,求P点的坐标.
.
【答案】(1)y=﹣x2+4x+5;(2)30;(3)
.
【解答】解:(1)∵AO=1,tan∠ACO=,∴OC=5,即C的坐标为(0,5),
∵二次函数的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点且过C的坐标(0,5),设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,代入得:
,
解得:,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+4x+5;
(2)y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,∴顶点的坐标为(2,9),
过D作DN⊥AB于N,作DM⊥OC于M,
四边形ACDB的面积=S△AOC+S矩形OMDN﹣S△CDM+S△DNB=
;
(3)如图,P是抛物线上的一点,且在第一象限,当∠ACO=∠PBC时,连接PB,过C作CE⊥BC交BP于E,过E作EF⊥OC于F,
∵OC=OB=5,则BC=5∵∠ACO=∠PBC,∴tan∠ACO=tan∠PBC,即∴
,
,
,
∴△EFC是等腰直角三角形,∴FC=FE=1,∴E的坐标为(1,6),所以过B、E的直线的解析式为
,
令,
解得,或,
所以BE直线与抛物线的两个交点为即所求P的坐标为
.
,
4.(2023•张家界)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,6).点D为线段BC上的一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,求△AOD周长的最小值;
(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.
【答案】(1)抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+6;(2)△AOD周长的最小值为12;
(3)P点为 .S的最大值为.
【解答】解:(1)由题意可知,设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x﹣6),将(0,6)代入上式得:6=a(0+2)(0﹣6),解得
,
∴抛物线的表达式为y=﹣(x+2)(x﹣6)=﹣x2+2x+6;(2)作点O关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,
∵B(6,0),C(0,6),∠BOC=90°,∴OB=OC=6,
∵O、E关于直线BC对称,∴四边形OBEC为正方形,∴E(6,6),
连接AE,交BC于点D,由对称性|DE|=|DO|,此时|DO|+|DA|有最小值为AE的长,∴AE=
=
=10,
∵△AOD 的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,∴△AOD的周长的最小值为10+2=12,
(3)由已知点A(﹣2,0),B(6,0),C(0,6),
设直线BC的表达式为 y=kx+b,
将B(6,0),C(0,6)代入y=kx+b 中,则解得
,,
∴直线BC的表达式为y=﹣x+6,同理可得:直线AC的表达式为y=3x+6,∵PD∥AC,
∴可设直线PD表达式为y=3x+a,由(1)设P(m,﹣m2+2m+6),
将P点坐标代入直线PD的表达式得a=﹣m2﹣m+6,∴直线PD的表达式为:
,
由,
得,
∴D(m2+m,﹣m2﹣m+6),∵P,D都在第一象限,
∴S=S△PBD+S△PAD=S△PAB﹣S△DAB
=|AB|[(﹣m2+2m+6)﹣(﹣m2﹣m+6)]
=×8×(﹣m2+m)=﹣m2+9m=﹣(m2﹣6m)=﹣(m﹣3)2+∵﹣<0,
∴当 m=3 时,S有最大值,最大值为此时P点为
.
,
,
解法二:利用平行等积,将△PAD面积转化为△PCD的面积,那么△PAD与△PBD的面积之和等于△PBC的面积,即求△PBC的面积最大值.二.三角形综合题(共1小题)
5.(2023•常德)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB.EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
(2)在如图1中,若AE=AD,其它条件不变得到图2,在图2中过点D作DF⊥AB于F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于G,交DE于M.求证:①AF•MH=AM•AE;②GF=GD.
【答案】(1)证明见解答过程;
(2)①②证明见解答过程.
【解答】证明:(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD是BC的垂直平分线,又∵E在AD上,∴EB=EC,
在△BAE和△CAE中,
,
∴△BAE≌△CAE(SSS);(2)①连接AH,
∵A,H分别是ED和EC的中点,∴AH为△EDC的中位线,∴AH∥DC,
∴∠EAH=∠EDC=90°,又∵DF⊥AB,∴∠AFD=90°,又∵HG∥AB,∴∠FAD=∠AMH,∴△AFD∽△MAH,∴
=
,
∴AF⋅MH=AM⋅AD,∵AE=AD,∴AF⋅MH=AM⋅AE;②∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵∠ABD=∠ADF=∠AHM,∴∠AHM=∠ACB,∴△AMH∽△DAC,
∵A、H分别为ED和EC中点,∴AH为△EDC的中位线,∴
=
=,
∴AM=AD,即M为AD中点,∵AF∥GH,∴G为FD中点,∴GF=GD.
三.四边形综合题(共1小题)
6.(2023•郴州)已知△ABC是等边三角形,点D是射线AB上的一个动点,延长BC至点E,使CE=AD,连接DE交射线AC于点F.
(1)如图1,当点D在线段AB上时,猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由;(2)如图2,当点D在线段AB的延长线上时,
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立?请说明理由;
②如图3,连接AE.设AB=4,若∠AEB=∠DEB,求四边形BDFC的面积.
【答案】(1),理由见解析过程;
(2)①成立,理由见解析过程;②
.
,理由如下:
【解答】解:(1)
如图,过点D作DG∥BC,交AC于点G,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∵DG∥BC,
∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°,∠GDF=∠CEF,∴△ADG为等边三角形,∴AD=AG=DG,
∵AD=CE,AB﹣AD=AC﹣AG,∴DG=CE,BD=CG,又∠DFG=∠CFE,∴△DGF≌△ECF(AAS),∴CF=GF=CG=BD;(2)①成立,理由如下:
如图2,过点D作DG∥BC,交AC的延长线于点G,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∵DG∥BC,
∴∠ADG=∠ABC=60°,∠AGD=∠ACB=60°,∠GDF=∠CEF,∴△ADG是等边三角形,∴AD=AG=DG,
∵AD=CE,AD﹣AB=AG﹣AC,∴DG=CE,BD=CG,又∠DFG=∠CFE,∴△DGF≌△ECF(AAS),∴CF=FG=CG=BD;
②如图,过点D作DG∥BC,交AC的延长线于点G,过点A作 AN⊥DG,交BC于点H,交DE于点N,则:AN⊥BC,
由①知:△ADG为等边三角形,△DGF≌△ECF(AAS),∴
,
,
,
∵△ABC为等边三角形,
∵∠AEB=∠DEB,EH=EH,∠AHE=∠MHE=90°,∴△AEH≌△MEH(ASA),∴
,
,
∵△DGF≌△ECF,
∴∠CEF=∠MDN,DG=CE,∴∠AEH=∠MDN,∴tan∠AEH=tan∠MDN,∴
,
,
设MN=y,DG=CE=x,则:EH=CE+CH=2+x,
∴=①,
∵DG∥BC,∴△ABC∽△ADG,∴即:
联立①②可得:经检验 ∴∴
,,
(负值已舍去),
是原方程的根,,,
+4)×2
=4
+4
,
,
,
∴S△ACE=CE•AH=×(4
∴==,
∴S△CEF=
(4)=4+2,
∴四边形BDFC的面积=S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG=S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF=
=
.
方法二、在DE上截取,EM=EA,连接BM,CD,过点C作CH⊥AB于H,
∵△ABC是等边三角形,CH⊥AB,AB=4,∴BH=AH=2,∠BCH=30°,∴CH=
BH=2
,
∵AE=EM,∠AEB=∠DEB,BE=BE,∴△ABE≌△MBE(SAS),
∴BM=AB=4,∠ABC=∠MBE=60°=∠ACB,
∴AC∥BM,∴△DBM∽△DAF,∴∴∴CF=2
,
+4
,S△BCD=4
,
,
,
∴S△ADF=×AD×CH=4
∵=,
∴S△CDF=2
+4,
.
∴S四边形BDFC=
四.圆的综合题(共1小题)
7.(2023•长沙)如图,点A,B,C在⊙O上运动,满足AB2=BC2+AC2,延长AC至点D,使得∠DBC=∠CAB,点E是弦AC上一动点(不与点A,C重合),过点E作弦AB的垂线,交AB于点F,交BC的延长线于点N,交⊙O于点M(点M在劣弧(1)BD是⊙O的切线吗?请作出你的判断并给出证明;
(2)记△BDC,△ABC,△ADB的面积分别为S1,S2,S,若S1•S=(S2)2,求(tanD)2的值;
(3)若⊙O的半径为1,设FM=x,FE•FN•数解析式,并写出自变量x的取值范围.
=y,试求y关于x的函
上).
【答案】(1)BD是⊙O的切线;理由略;(2)
;
(3)y=x,0<x≤1.
【解答】解:(1)BD是⊙O的切线.证明:如图,在△ABC中,AB2=BC2+AC2,∴∠ACB=90°.又点A,B,C在⊙O上,∴AB是⊙O的直径.∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°.又∠DBC=∠CAB,∴∠DBC+∠ABC=90°.∴∠ABD=90°.∴BD是⊙O的切线.
(2)由题意得,S1=BC•CD,S2=BC•AC,S=AD•BC.∵S1•S=(S2)2,
∴BC•CD•AD•BC=(BC•AC)2.∴CD•AD=AC2.∴CD(CD+AC)=AC2.
又∵∠D+∠DBC=90°,∠ABC+∠A=90°,∠DBC=∠A,∴∠D=∠ABC.∴tan∠D=∴CD=
=tan∠ABC=.
.
又CD(CD+AC)=AC2,∴
+BC2=AC2.
∴BC4+AC2•BC2=AC4.∴1+(
)2=(
)4.
由题意,设(tan∠D)2=m,∴(
)2=m.
∴1+m=m2.
∴m=∵m>0,∴m=
.
.
.
∴(tan∠D)2=(3)设∠A=α,
∵∠A+∠ABC=∠ABC+∠DBC=∠ABC+∠N=90°,∴∠A=∠DBC=∠N=α.
如图,连接OM.∴在Rt△OFM中,OF=∴BF=BO+OF=1+
=
.
.
,AF=OA﹣OF=1﹣
)•tanα,
∴在Rt△AFE中,EF=AF•tanα=(1﹣
AE==.
在Rt△ABC中,BC=AB•sinα=2sinα.(∵r=1,∴AB=2.)AC=AB•cosα=2cosα.在Rt△BFN中,BN=
=
,FN=
=
.
∴y=FE•FN•=x2•
=x2•
=x2•
=x2•=x.即y=x.∵FM⊥AB,
∴FM最大值为F与O重合时,即为1.∴0<x≤1.
综上,y=x,0<x≤1.
五.相似三角形的应用(共1小题)
8.(2023•娄底)鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰,国旗上的每颗星都是标准五角星,为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等,数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究,延长正五边形的各边直到不相邻的边相交,得到一个标准五角星,如图,正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F,∠EAF的平分线交EF于点M.(1)求证:AE2=EF•EM;(2)若AF=1,求AE的长;(3)求
的值.
【答案】(1)证明过程见解答;(2)AE的长为
;
(3)的值为.
【解答】(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BAE=∠AED=108°,
∴∠FAE=180°﹣∠BAE=72°,∠AEF=180°﹣∠AED=72°,∴∠F=180°﹣∠FAE﹣∠AEF=36°,∵AM平分∠FAE,
∴∠FAM=∠MAE=∠FAE=36°,∴∠F=∠MAE,∵∠AEM=∠AEF,∴△AEM∽△FEA,∴
=
,
∴AE2=EF•EM;(2)解:设AE=x,
由(1)可得:∠F=∠FAM=36°,∴FM=AM,
由(1)可得:∠FAE=∠AEF=72°,∴FA=FE=1,
∵∠AME=∠F+∠FAM=72°,∴∠AME=∠AEF=72°,∴AM=AE,∴AM=AE=FM=x,∴ME=EF﹣FM=1﹣x,由(1)可得:AE2=EF•EM,∴x2=1•(1﹣x),解得:x=∴AE=∴AE的长为
,
;或x=
(舍去),
(3)连接BE,CE,
∵五边形ABCDE是正五边形,
∴AB=AE=DE=CD=BC,∠BAE=∠AED=∠EDC=∠ABC=∠BCD=108°,∴△ABE≌△DCE(SAS),
∵AB=AE,ED=DC,∠BAE=∠CDE=108°,∴∠ABE=∠AEB=36°,∠DEC=∠DCE=36°,
∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=72°,∠ECB=∠BCD﹣∠DCE=72°,由(1)可得:∠FAE=∠FEA=72°,∴∠FAE=∠EBC,∠FEA=∠ECB,∴△FAE≌△EBC(ASA),由(2)得:∴
=
=,
,
∴=,
∴设△ABE的面积为(﹣1)k,则△AEF的面积为2k,
﹣1)k,△AEF的面积=△BCE的面积=2k,
k,
∴△ABE的面积=△DEC的面积=(
∴五边形ABCDE的面积=△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积=2∴
=
=
,
∴的值为.
六.相似形综合题(共1小题)
9.(2023•益阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,点D在边AC上,将线段DA绕点D按顺时针方向旋转90°得到DA′,线段DA′交AB于点E,作A′F⊥AB于点F,与线段AC交于点G,连接FC,GB.(1)求证:△ADE≌△A′DG;(2)求证:AF•GB=AG•FC;
(3)若AC=8,tanA=,当A′G平分四边形DCBE的面积时,求AD的长.
【答案】(1)证明见解答;(2)证明见解答;(3)AD=
.
【解答】(1)证明:∵∠A+∠AGA'=90°,∠A'+∠AGA'=90°,∴∠A=∠A',
∵AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90°,∴△ADE≌△A′DG(ASA);
(2)证明:∵∠AFG=∠ACB=90°,∠FAG=∠CAB,∴△AFG∽△ACB,∴∴
==
,,
∵∠FAC=∠GAB,∴△FAC∽△GAB,∴
=
,
∴AF•GB=AG•FC;(3)解:∵tanA=
=
=,AC=8,
∴BC=4,∴S△ACB=16,
设DE=DG=x,则AD=A'D=2x,AE=A'G=∴A'E=A'D﹣DE=2x﹣x=x,∴S△ADE=S△A′DG=x2,∵△A'FE∽△A'DG,∴
=
=
,
x,
∴S△A'FE:S△A'DG=1:5,∴S四边形DGFE=S△A'DG=x2,
∵S△ACB=S△ADE+S四边形DCBE,A′G平分四边形DCBE的面积,∴S△ACB=S△ADE+2S四边形DGFE,∴16=x2+x2,x2=∴x1=∴AD=
,x2=﹣.
(舍),
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