关于数理统计学中充分统计量教学的体会

2014 NO.30Science and Technology Innovation Herald科技创新导报关于数理统计学中充分统计量教学的体会

万树文

（南京财经大学应用数学学院 江苏南京 210023）

充分统计量是数理统计教学的一个难点,学生往往感到难以理解与掌握。摘 要：该文从参数估计的思想以及概率函数分解的角度探索了一个

引入充分统计量概念和建立其数学定义的新的教学方法。关键词：充分统计量 数理统计 教学方法中图分类号：G420 文献标识码：A

文章编号：1674-098X(2014)10(c)-0145-02

A new method of teaching sufficient statistics in mathematical statistics

WAN Shuwen

(Department of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing, Jiangsu, 210023,China)Abstract：Sufficient statistics is a difficult concept in teaching mathematical statistics, and students usually find it hard to understand. In this paper, we propose a new method of teaching sufficient statistics using the ideas of parameter estimation and decomposing probability functions.

Key words：Sufficient statistics Mathematical Statistics Teaching Method

nn充分统计量是数理统计学中的一个重要的概念,它由著名统计学家Fisher在1922年提出。在对应用数学专业本科生的教学过程中,我们发现学生对该概念的引入以及数学定义普遍感到较难理解和掌握,尽管对其后如何利用因子分解定理去求参数的充分统计量掌握的较好。该文探讨如何从易于学生理解和接受的角度,在教学过程中将充分统计量这个相对抽象的概念引入以及最终给出严格的数学定义。

许多教材在给出充分统计量的数学定义前,先从定性描述的角度解释充分统计

n统计量的存在和功能。

例1(一个连续型的例子),设X1,,Xn

p(x1,x2,,xn,θ)=θi=1(1−θ)∑xin−∑xii=1nn是来自总体X~N(µ,σ02)的样本,其中µ未

lnp(x1,x2,,xn,)xiln(nxi)ln(2即

知,σ0已知。我们需要对未知的参数µ进i1i1行估计。xi)ln(1) 解:方法1,从原始样本进行估计.根据Fisher的思想,µ的估计量应使样本的联合密度函数最大。故写出样本的联合密度函数为

p(x1,x2,,xn,)i1n令

nidlnp(x1,x2,,xn,)0 ,得到

dni1ix(1)(nx) i1(x)2expi2 202021nn2ˆ=故θ的估计量为θ1n∑xi.ni=1ni=1量的概念。譬如,充分统计量T(X1,,Xn)(xi)2 1是对原有样本X1,,Xn的简化,它包含了样ndlnp(x1,x2,,xn,)0, 得到(xi)0 令本X1,,Xn关于参数θ进行统计推断的所d有信息。知道了充分统计量T(X1,,Xn)与

i1即lnp(x1,x2,,xn,)2ln22ln022(x0i11n方法2,从某统计量T(x1,x2,,xn)=∑xi进行估计。根据Fisher的思想,µ的估计量应使统计量

∑xi=1ni知道原有的完整样本X1,,Xn对推断参数

故µ1nˆ=∑xi=x。的估计量为µni=1的分布列最大。因为

θ是等效的。换句话说,在已知充分统计量

方法2,从某统计量T(x1,x2,,xn)=x进行估计。根据Fisher的思想,µ的估计量应使统计量

∑xi=1ni~B(n,θ),故写出其分布列为

ttp(t,θ)=Cnθ(1−θ)n−tt即lnp(t,)lnCntln(nt)ln(1) T(X1,,Xn)=t的前提下样本X1,X2,,Xn不

再包含关于θ的有用信息,即可以从样本在T(X1,,Xn)=t下的条件分布与参数θ无关对统计量的充分性下严格的数学定义。

通过以上途径引入充分统计量从逻辑上似乎顺理成章,但是站在学生的角度,他们是不易理解的。一个很重要的原因是现行的教材都是将参数估计部分安排在了充分统计量章节的后面,学生们在接触充分统计量时还不知道如何借助于样本对参数进行推断,特别是借助于样本的分布列或密度函数进行参数的最大似然估计,也就理解不了样本是如何包含关于参数的所有信息,更不用说充分统计量如何包含参数的所有信息。 如何解决这种问题呢?可以通过一两个小例子初步讲解一下参数的最大似然估计以及如何从样本或某个统计量出发进行参数的估计,使同学们能够直观地感受充分

/nx1的密度函数最大。因为

2

x~N(µ,σ0/n),故写出

x的密度函数为

t(1−θ)=θ(n−t),令dlnp(t,)0得到 d(t)2p(t,)exp 2220/n20/n故θ的估计量为θˆ=n=n∑xi

i=1

通过以上的两个例子,我们可以直观地

t1

n

1112即lnp(t,)2ln22ln(0/n)22/n(t看出参数估计可以通过完整的原始样本进

0(t)2 行,也可以只通过从样本构造的某个统计量进行,这样的统计量就是充分的统计量,因为对于参数估计而言,该统计量是样本的充

令

dlnp(t,)0 ,得到µ−t=0d分的代表。

接下来我们就可以循序渐进地引入充分统计量的严格的数学概念。设样本的概率函数为f(x1,x2,,xn,θ);离散情形指的是分布列,连续情形指的是密度函数。记某统计量T的概率函数为fT(t,θ),则

f(x1,x2,,xn,θ)=fT(t,θ)

f(x1,x2,,xn,θ)

fT(t,θ)故µ的估计量为µˆ=t=x例2(一个离散型的例子),设X1,,Xn是来自一个两点分布总体X~b(1,θ)的样本,我们需要对未知的参数θ进行估计。

解:方法1,从原始样本进行估计。根据Fisher的思想,θ的估计量应使样本的联合分布列最大。故写出样本的联合分布列为

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=1tCn

n

f(x1,x2,,xn,θ)若与θ无关,则由

fT(t,θ)Fisher的思想,从样本的概率函数去推断参数θ的估计量与从统计量T的概率函数去推断参数θ的估计量是一样的。此时的统计量T就是我们在例一和例二谈到的充分统计量。故充分统计量的一个定义可以直接由此给出:

定义1:设X1,X2,,Xn是来自某个总体X的样本,样本的概率函数为f(x1,x2,,xn,θ)。设统计量T=T(x1,x2,,xn)的概率函数为fT(t,θ)。

f(x1,x2,,xn,θ)

与θ无关,则称T为θ的

fT(t,θ)何运用其数学定义寻找充分统计量还不可能熟练掌握,此时可以举两个具体的例子加以阐述,以加深学生对概念和定义的掌握.此时举的例子完全可以结合例一和例二给出, 学生可以更好的掌握。

例3.设X1,X2,,Xn是来自总体N(µ,1)的样本,证明:统计量T=x是µ的充分统计量。

证明: 在T=t, 即x=t时, 有

p(x1,x2,,xn,)p(x1,x2,,xn|Tt) p(Tt,)(xi)2exp22i1 n1exp{(t)2}22/nn因其与θ无关, 故T=∑xi是θ的充分

i=1

统计量。

综上所述,我们探讨了在充分统计量教学过程中如何借助于最大似然估计的思想以及借助于样本概率函数的分解来促进学生更好地掌握充分统计量,深刻理解充分统计量的由来与定义。在很好掌握充分统计量的定义后,再学习教材中的因子分解定理求解充分统计量就不难了。该文探讨的思路在实际教学过程中取得了较好的教学效果。

1若

充分统计量。

定义1与大部分教材中直接给出的充分统计量的定义是不一样的,因为大部分教材是依据样本的条件分布给出了充分统计量的数学定义。实际上,定义1与最终的数学定义已十分接近了。根据概率论的知识,我们知道样本的条件概率函数与

1n(xi)2}2i1 n(2/n)1/2exp{(t)2}2(2)n/2exp{1n(2)exp{[(xit)2n(t)2]}2i1 n1/22(2/n)exp{(t)}2n/2参考文献

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f(x1,x2,,xn,θ)

有如下的联系:

fT(t,θ)f(x1,x2,,xn,), fT(t,)f(x1,x2,,xn|Tt) 0,  T(x1,x2,,xn)t T(x1,x2,,xn)t (2)n/2exp{1n(xit)2}2i1 (2/n)1/2因其与µ无关, 故T=x是µ的充分统计量。

例4，设X1,X2,,Xn是来自总体0-1

xi是分布b(1,θ)的样本,证明:统计量T=∑i=1

n

θ故可以根据样本的条件分布给出最终

的充分统计量的最常用的数学定义,即有如下的定义2:

定义2: 设X1,X2,,Xn是来自某个总体X的样本,总体的分布函数为F(x,θ)。统计量T=T(x1,x2,,xn)称为θ的充分统计量,如果在给定T的取值t后,样本X1,X2,,Xn的条件分布与θ无关。

在初步了解了充分统计量的严格数学定义后,学生对充分统计量的认识,以及如(上接133页）动，使得不同水平的学生都有发挥的空间，能参与到课堂活动中来，并体验到不同的生活和工作情景。本课中，笔者运用图片、电子相册、旅游线路图等形式展开师生互动、生生互动等活动帮助学生获取信息、处理信息，帮学生在头脑中形成无形的信息网络图，从行为和感情上直接参与到教学活动中来，通过自身的体验和亲历来建构知识。

2.2.3 方向更倾专业性

职高英语最大的特点就是要为专业服务，我们的旅游专业应用英语的地方太多了，我们不能将整堂课都变成专业操作课，所以只能选取与专业结合紧密的内容巧妙

的充分统计量。

证明:在T=t,即∑xi=t时,有

i=1n

p(x1,x2,,xn|T=t)=

[(1)i1n1xi1xip(x1,x2,,xn,θ)

p(T=t,θ)1txii1n1]txi1in1(1)ttCn(1)nt =

θt(1−θ)n−t

ttCnθ(1−θ)n−t设计，让学生在不知不觉中既学习了英语也锻炼了专业技能。那么这个选材的责任自然落到教师的身上了，例如本课中，笔者将一篇悉尼的旅游介绍与富阳的一日游巧妙的联系在一起，学生学会了设计有关自己家乡的一日游计划，参与感很强。并且有了自己做导游的体验后，学生在上导游实践课的时候也增加了信心。

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