一、选择题：本大题共16个小题，1-12小题，每小题2分，13-16小题，每小题2分，共
36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（ ） A．0 B．0或2 C．2 D．此方程无实数解
2．反比例函数y=的图象是（ ）
A．线段
B．直线
C．抛物线
D．双曲线
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠AOB=50°，则∠C的度数为（
A．25° B．40° C．50° D．80°
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S四边形DBCE=（
A．2：5 B．1：3 C．3：5 D．3：2
）
）6．某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳
定，适合推广的品种为（ ）
A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定
7．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ） A．2=15 C．2=15
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED
的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． = D． =
9．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x
米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6 B．x（5﹣x）=6 C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6
11．如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（ ）
A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
12．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，圆锥体的高h=2
cm，底面圆半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．
A．12π B．8π C．4π D．（4+4）π
14．（2分）（2015恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3 D．12
15．AF=x如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
16．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四
个结论：
①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③ 面积之比为k2．
成立的个数为（ ）
=k；④扇形AOB与扇形A101B1的
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中的横线上
17．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= ．
18．已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
19．如图，点P、Q是反比例函数y=图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的
面积记为S2，则S1 S2．（填“＞”或“＜”或“=”）
20．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等
于 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21． （1）解方程：x2﹣1=2（x+1） （2）计算：2cos30°﹣tan45°﹣
．
22．某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前四次单价
变化的情况，绘制了如下统计表：
A，B产品单价变化统计表 第一次 第四次 第二次 第三次 A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5 5.9 B产品单价（元/件） 3.5 4 3 3.5
并求得了A产品四次单价的平均数和方差：
=5.9，sA2=14[（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2+（5.9﹣5.9）2]=
（1）B产品第四次的单价比第二次的单价减少了 %；
（2）A产品四次单价的中位数是 ；B产品四次单价的众数是 ；
（3）求B产品四次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
23．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，
≈1.732）．
24．如图，已知反比例函数
（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B
两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2．
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2
的值？
25．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P
与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠PCD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；
若不存在，请说明理由．
26．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，AC为对角线，AH⊥BC于H，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E
的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）AH= ，CA= ；
（2）当∠AGE=∠AEG时，求圆C的半径长；
（3）如图2，连结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长．
2015-2016学年河北省石家庄市正定县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共16个小题，1-12小题，每小题2分，13-16小题，每小题2分，共
36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．一元二次方程x2﹣2x=0的解是（ ） A．0 B．0或2 C．2 D．此方程无实数解
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）=0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．
【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）=0
x1=0，x2=2
故本题选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配
方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分
解法．
2．反比例函数y=的图象是（ ） A．线段
B．直线 C．抛物线
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质可直接得到答案． 【解答】解：∵y=是反比例函数， ∴图象是双曲线． 故选：D．
D．双曲线
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质： （1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠AOB=50°，则∠C的度数为（ ）
A．25°
B．40° C．50° D．80°
【考点】圆周角定理．
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=50°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的
圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB=50°， ∴∠ACB∠AOB=×50°=25°．
故选A．
【点评】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解． 【解答】解：sinA=
=．
故选C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
5．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S四边形DBCE=（ ）
A．2：5 B．1：3 C．3：5
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】由题可知△ADE∽△ABC相似且相似比是1：2，根据相似比求面积比．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=1：2，
∴△ADE与△ABC的面积之比为1：4，
∴△ADE与四边形DBCE的面积之比是1：3．
故选：B．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6．某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S甲2=141.7，S乙2=433.3，则产量稳
定，适合推广的品种为（ ）
A．甲、乙均可 B．甲 C．乙 D．无法确定
【考点】方差．
【分析】首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大
小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适
合推广的品种为哪种即可．
【解答】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵141.7＜433.3，
∴S甲2＜S乙2，
即甲种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差
越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，
稳定性越好．
7．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ） A．2=15 C．2=15
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，
D．3：2
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED
的是（ ）
A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． = D． =
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进
行判断．
【解答】解：∵∠DAE=∠CAB，
∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED； 当
=
时，△ABC∽△AED．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形
相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
9．若关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜1 B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1
【考点】根的判别式．
【分析】根据根的判别式得出b2﹣4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．
【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+a=0不存在实数根，
∴b2﹣4ac=22﹣4×1×a＜0，
解得：a＞1．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式，关键是掌握一元二次方程根的情
况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
10．用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x
米，则根据题意可列出关于x的方程为（ ）
A．x（5+x）=6
C．x（10﹣x）=6 D．x（10﹣2x）=6
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程
式．
【解答】解：一边长为x米，则另外一边长为：5﹣x，
由题意得：x（5﹣x）=6，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答本题的关键读懂题意 列出方程式．
11．如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（ ）
B．x（5﹣x）=6
A．AC=BD
B．AC＜BD 【考点】圆心角、弧、弦的关系． 【分析】由
=
，得到
， ，
C．AC＞BD ，于是推出
D．不确定
，根据圆心角、弧、弦的关
系即可得到结论． 【解答】解：∵=∴
∴， ∴AC=BD． 故选A．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关
键．
12．在同一直角坐标系中，一次函数y=kx﹣k与反比例函数y=（k≠0）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】由于本题不确定k的符号，所以应分k＞0和k＜0两种情况分类讨论，针对每种情
况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【解答】解：（1）当k＞0时，一次函数y=kx﹣k 经过一、三、四象限，反比例函数经过一、
三象限，如图所示：
（2）当k＜0时，一次函数y=kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如
图所示：
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论
思想．
13．如图，圆锥体的高h=2cm，底面圆半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．
A．12π
B．8π C．4π D．（4+4）π
【考点】圆锥的计算．
【分析】表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．
【解答】解：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，
∵底面半径为2cm、高为2cm，
∴圆锥的母线长为4cm，
∴侧面面积=×4π×4=8π；
底面积为=4π，
全面积为：8π+4π=12πcm2．
故选：A．
【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．
14．（2分）（2015恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得
D．12
，则可求得AB的长，
又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长．
【解答】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7
∵EF∥AB， ∴
，
∵EF=3， ∴
，
解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=7．
故选B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的
关键是注意数形结合思想的应用．
15．AF=x如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】动点型．
【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式 到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象．
【解答】解：根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1，且△EFB∽△EDC，
=
，从而得
则=，即=，
所以y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分．
A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象．解题时，注意自变量x的取值范围．
16．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A101B1是相似扇形，且半径OA：O1A1=k（k为不等于0的常数）．那么下面四
个结论：
①∠AOB=∠A101B1；②△AOB∽△A101B1；③ 面积之比为k2．
成立的个数为（ ）
=k；④扇形AOB与扇形A101B1的
A．1个
D．4个
【考点】相似三角形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据扇形相似的定义，由弧长公式=
可得到④正确．
可以得到①②③正确；由扇形面积公式
B．2个 C．3个
【解答】解：由扇形相似的定义可得：
，所以n=n1故①正确；
因为∠AOB=∠A101B1，OA：O1A1=k，所以△AOB∽△A101B1，故②正确； 因为△AOB∽△A101B1，故由扇形面积公式
=
=k，故③正确；
可得到④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了新定义题型，相似的判定与性质，弧长和扇形面积公式，题型新颖，
有一定难度．
二、填空题：共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中的横线上
17．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b= 2015 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：a+b﹣2015=0，
即a+b=2015．
故答案是：2015．
【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的
值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
18．已知线段a=4 cm，b=9 cm，则线段a，b的比例中项为 6 cm．
【考点】比例线段．
【专题】应用题．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段
的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2=4×9，x=±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
【点评】理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
19．如图，点P、Q是反比例函数y=图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的
面积记为S2，则S1 = S2．（填“＞”或“＜”或“=”）
【考点】反比例函数系数k的几何意义．
【分析】设p（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果．
【解答】解；设p（a，b），Q（m，n）， 则S△ABP=APAB=a（b﹣n）=ab﹣an， S△QMN=MNQN=（m﹣a）n=mn﹣an， ∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab=mn=k， ∴S1=S2．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定
要正确理解k的几何意义．
20．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 5π ．
【考点】弧长的计算；旋转的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．
【解答】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，
然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，
则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π， 故答案为：5π．
【点评】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过
的路线并求出长度．
三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 21． （1）解方程：x2﹣1=2（x+1） （2）计算：2cos30°﹣tan45°﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函数值． 【分析】（1）先移项合并同类项，再用十字相乘法分解因式对方程进行化简，最后解方程；
（2）代入特殊角的三角函数值，求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣1=2（x+1），
移项，得x2﹣1﹣2x﹣2=0，即x2﹣2x﹣3=0，
分解因式，得（x﹣3）（x+1）=0，
解得x1=3，x2=﹣1． （2）原式=2×=﹣1﹣（=0．
﹣1﹣﹣1）
【点评】本题考查了因式分解法解方程以及特殊角的三角函数的应用，解题的关键是会用十
字相乘法分解因式以及牢记特殊角的三角函数值．
22．某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前四次单价
变化的情况，绘制了如下统计表：
A，B产品单价变化统计表 第一次 第四次 第二次 第三次 A产品单价（元/件） 6 5.2 6.5 5.9 B产品单价（元/件） 3.5 4 3 3.5
并求得了A产品四次单价的平均数和方差：
=5.9，sA2=14[（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2+（5.9﹣5.9）2]=
（1）B产品第四次的单价比第二次的单价减少了 12.5 %；
（2）A产品四次单价的中位数是 5.95 ；B产品四次单价的众数是 3.5 ；
（3）求B产品四次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小．
【考点】方差；中位数；众数．
【分析】（1）用第四次的单价减去第二次的单价，再除以第二次的单价即可得出答案；
（2）根据中位数和众数的定义分别进行解答即可；
（3）先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）B产品第四次的单价比第二次的单价减少了：
故答案为：12.5；
×100%=12.5%；
=5.95，
5.2，5.9，6，6.5，（2）把这组数从小到大排列为：最中间两个数的平均数是：
则A产品四次单价的中位数是5.95；
B产品四次单价的众数是3.5；
故答案为：5.95，3.5；
（3）B产品四次的平均数是：（3.5+4+3+3.5）÷4=3.5，
则B产品四次单价的方差是： [（3.5﹣3.5）2+（4﹣3.5）2+（3﹣3.5）2+（3.5﹣3.5）2]=，
因为B的方差比A的方差小，
所以B的波动小．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差 越大，波动性越大，反之也成立．
23．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，
≈1.732）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由
仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．
【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，
∵i=1： =，
，
∴坡AB与水平的角度为30°， ∴
，即得h=，即得a=
=10m，
∴MN=BC+a=（30+10）m，
∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°， ∴
，
解得：DN=MNtan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），
∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．
答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．
【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B
的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．
24．如图，已知反比例函数
（k1＞0）与一次函数y2=k2x+1（k2≠0）相交于A、B
两点，AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且tan∠AOC=2． （1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2
的值？
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）设OC=m．根据已知条件得，AC=2，则得出A点的坐标，从而得出反比例函
数的解析式和一次函数的表达式；
（2）易得出点B的坐标，反比例函数y1的图象在一次函数y2的图象的上方时，即y1大于y2．
【解答】解：（1）在Rt△OAC中，设OC=m． ∵tan∠AOC=
=2，
∴AC=2×OC=2m．
∵S△OAC=×OC×AC=×m×2m=1， ∴m2=1．
∴m=1，m=﹣1（舍去）．
∴m=1，
∴A点的坐标为（1，2）． 把A点的坐标代入∴反比例函数的表达式为
中，得k1=2．
．
把A点的坐标代入y2=k2x+1中，得k2+1=2，
∴k2=1．
∴一次函数的表达式y2=x+1；
（2）B点的坐标为（﹣2，﹣1）．
当0＜x＜1或x＜﹣2时，y1＞y2．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，以及用待定系数法求二次函数的解
析式，是基础知识要熟练掌握．
25．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P
与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；
（2）当∠PCD=30°时，求AE的长；
（3）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；
若不存在，请说明理由．
【考点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质． 【专题】代数几何综合题；存在型．
【分析】（1）根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽
△PAE；
（2）由△CDP∽△PAE得出∠EPA=∠PCD=30°，由角的正切值定理知AE=APtan∠EAP，代
入相应的数据即可求得答案；
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11﹣x，由△CDP∽△PAE知x=8，此时AP=3，AE=4．
【解答】（1）△CDP∽△PAE． ∴∠PCD+∠DPC=90°，（3分）
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，（4分） ∴∠PCD=∠EPA，（5分）
，（7分）
，解得
∴△CDP∽△PAE．在Rt△PCD中，由tan∠PCD=∴∴
，（9分）
，
，（8分）
解法1：由△CDP∽△PAE知：
∴，（10分）
解法2：由△CDP∽△PAE知：∠EPA=∠PCD=30°， ∴
；（10分）
（3）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=11﹣x，
∵△CDP∽△PAE，
根据△CDP的周长等于△PAE周长的2倍，得到两三角形的相似比为2， ∴
即
，（11分）
解得x=8，
此时AP=3，AE=4．（12分）
【点评】本题考查矩形的性质以及三角形的相似性质，综合性较强．
26．如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，AC为对角线，AH⊥BC于H，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E
的右侧），射线CE与射线BA交于点G．
（1）AH= 3 ，CA= 5 ；
（2）当∠AGE=∠AEG时，求圆C的半径长；
（3）如图2，连结AP，当AP∥CG时，求弦EF的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）在Rt△ABH中，利用余弦定义可计算出AH=4，再根据勾股定理可计算出BH=3；
则CH=BC﹣BH=4，然后再根据勾股定理计算出AC=5；
（2）过点E作EN⊥BC于N，如图1，由AD∥BC得到∠AEG=∠BCG，加上∠AGE=∠AEG，则∠BCG=∠G，所以BG=BC=8，AG=BG﹣AB=3，易得AG=AE=3，接着判断四边形AHNE为矩形得到HN=AE=3，EN=AH=3，所以CN=CH﹣HN=1，然后在Rt△CEN中利
用勾股定理可计算出CE；
（3）如图2，连结EP交AC于M，作CQ⊥EF于Q，根据垂径定理得到EQ=CQ，先判断四边形APCE是菱形，则AC⊥EP，CM=AC=，由（1）得AB=AC，则∠ACB=∠B，于是在Rt△PCM中利用余弦定义可计算出CP=定理计算EQ，从而得到EF的长．
，则CE=
，然后在Rt△CEQ中利用勾股
【解答】解：（1）在Rt△ABH中，∴cosB=∴AH=×5=4， ∴BH=
=3；
=，
∴CH=BC﹣BH=8﹣4=4， 在Rt△ACH中，AC=
=
=5； =
；
故答案为3，5；
（2）过点E作EN⊥BC于N，如图1 ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEG=∠BCG， ∵∠AGE=∠AEG，
∴∠BCG=∠G，
∴BG=BC=8，
∴AG=BG﹣AB=8﹣5=3， ∵∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE=3，
易得四边形AHNE为矩形， ∴HN=AE=3，EN=AH=3， ∴CN=CH﹣HN=4﹣3=1， 在Rt△CEN中，CE=
=
（3）如图2，连结EP交AC于M，作CQ⊥EF于Q，则EQ=CQ，
∵AP∥CE，AE∥PC，
∴四边形APCE为平行四边形，
∵CE=CP，
∴四边形APCE是菱形，
∴AC⊥EP，CM=AM， ∴CM=AC=，
=cosB=，
由（1）得AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
在Rt△PCM中，∵cos∠MCP=
∴CP==，
∴CE=，
在Rt△CEQ中，CQ=AH=3，
∴EQ=
∴EF=2EQ=．
=
=，
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和等腰三角形的判定与性质；灵活应用
菱形的判定与性质；会运用勾股定理和三角函数进行几何计算．
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