第一讲 找规律
例1.按规律在“？”处填数。
【解析】：
第（1）小题，仔细观察前三幅图，通过计算可找到规律：上格的数字与左下格数字之差的2倍就是右下格数字，如第一幅图中：（8-6）×2=4。
所以第四幅图中“？”处的数字为：（13-6）×2=14；第五幅图中“？”处的数字为：32-（24÷2）=20。
第（2）小题，仔细观察前两幅图，通过计算可找到规律：中间方格中的数字就等于左、上、右方三角形中三个数字连乘的积，如第一幅图中：1×4×5=20。
所以第三幅图中“？”处的数字为：3×5×2=30；第四幅图中“？”处的数字为：56÷（7×8）=1。
例2.将8个数从左到右排成一行，从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和。如果第7个数和第8个数分别是81，131，那么第一个数是多少？ 【解析】：
根据题意列出数列（未知数字用方框代替）： □、□、□、□、□、□、81、131……
“从第三个数开始，每个数恰好等于它前面两个数的和”，倒过来可以推出，这个数列中每个数等于这个数后面两个数的差。如：第8个数等于第7个数与第6个数的和，则第6个数就等于第8个数与第7个数的差，可求出第6个数为：131-81=50。依次倒推，可求出前面5个数。
第5个数为：81-50=31； 第4个数为：50-31=19； 第3个数为：31-19=11； 第2个数为：19-11=8； 第1个数为：11-8=3。
本题答案就是斐波那契数列的一部分。
例3.从下边表格中各数列的规律可以看出：（1）“☆”代表＿，“△”代表＿；（2）81排在第＿行第＿列。
【解析】：
观察表格寻找规律，一般包括三个观察方向：横着看、竖着看、斜着看。
不难看出这个表格中的数字都是奇数，从左上角开始，沿着右上到左下的方向从小到大依次斜向排列。
解法一：简单枚举。
按照表格中的数字的排列规律，填出表格中所有空格里的数字，则题中的问题必然迎刃而解。
解法二：探索规律。
依次从表格中不同的方向观察，寻找规律。
从表格的第一行横着看，这是个递增数列，后面的数依次比前一个数大：2、4、6……。所以，“△”代表的数为：31+12+14=57；
从表格第一列竖着看，这也是个递增数列，后面的数依次比前一个数大： 4、6、8、10……。所以，“☆”代表的数为：29+12+14+16=71；
从表格的左上角向右下角斜看，看到的数列是：1、9、25……。这个数列的前三项依次是1的平方、3的平方、5的平方……，按照这个规律排下去，81是9的平方应该是第5项，排在表格的第5行第5列。 解法二比解法一更有效。
例4.在1，2两数之间，第一次写上3；第二次在1，3之间和3，2之间分别写上4，5，得到：
1 4 3 5 2
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和。这样的过程共重复了8次，那么所有数的和是多少？ 【解析】：
解法一：简单枚举。
按照规定的要求重复8次相同的操作，写出8次重复操作后的所有数字。 起始数列：1、2； 第1次后：1、3、2； 第2次后：1、4、3、5、2；
第3次后：1、5、4、7、3、8、5、7、2；
第4次后：1、6、5、9、4、11、7、10、3、11、8、13、5、12、7、9、2； 第5次后：1、7、6、11、5、14、9、13、4、15、11、18、7、17、10、13、3、14、11、19、8、21、13、18、5、17、12、19、7、16、9、11、2；
……
再求出第8次后，所有数的和（略）。
重复次数少，题目简单，这种解法比较适合。当重复次数增加到一定的程度，这种解法非常繁琐，很容易错，人力甚至无法计算。
解法二：探索规律。
从简单的情况开始，依次列出每次操作后所有数的和，再寻找规律，并按规律求解。
起始值：1+2=3；
第1次后，数字总和：3+3=6； 第2次后，数字总和：6+4+5=15； 第3次后，数字总和：15+5+7+8+7=42； ……
起始值和前面三次计算后得到的和依次是：3、6、15、42……，这是个递增数列，从第二项（第1次操作后的总和）开始，后面的数依次比前一个数多：3、32、33……，按照这个规律，8次重复操作后的所有数之和为：
3+3+32+33+34+35+36+37+38=3+3+9+27+81+243+729+2187+6561=9843。 上面这道算式也可以用数列求和公式求解，不过四年级孩子只能通过先乘后加进行计算了。
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