等价，相似，合同性质（转）

矩阵等价

定义

如果矩阵A经过有限次初等⾏变换变成矩阵B，就成矩阵A与B⾏等价。如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，就成矩阵A与B列等价。如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价。

性质反⾝性：A~A

对称性：若A~B，则B~A传递性：若A~B,B~C,则A~C推论：

有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满⾜B=QAP（P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵），那么这两个矩阵之间是等价关系。r(A)=r(B），且A与B为同型矩阵。

矩阵相似

定义

设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵，对A进⾏运算P^(-1)AP称对A进⾏的相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。

性质

1.若n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从⽽A与B的特征值相同。

2.n阶矩阵A与对⾓矩阵相似（A可以对⾓化）的充分必要条件是A有n个线性⽆关的特征向量。推论

若n阶矩阵A与对⾓矩阵相似，则λ1,λ2,λ3....λn即是A的n个特征值。如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对⾓矩阵相似。A与某对⾓矩阵相似，B也与该对⾓矩阵相似，则A与B相似。|A|=|B|，r(A)=r(B),A与B迹相等。

矩阵合同

⼀般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在⼆次型中。⼆次型⽤的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

定义

b两个n阶矩阵A和B，如果存在可逆矩阵C使得C^(T）AC=B，则称A与B合同，并称由A到B的变换为合同变换，称C为合同变换的矩阵。

⼀个⼆次型是半正定⼆次型，当且仅当它的正惯性指数等于它对应矩阵的秩。对于半正定⼆次型，其对应的对称矩阵在实数域内可以合同到⼀个对⾓线元素只由0和1构成的对⾓矩阵。

正定⼆次型对应矩阵⼀定是可逆矩阵，且⾏列式⼤于0。对于正定⼆次型，其对应的对称矩阵在实数域内合同于单位阵。⼀个n元⼆次型是正定⼆次型，当且仅当它的正惯性指数是n，同样的可以定义半负定、负定和不定的⼆次型。

转载 沛⽵君 https://blog.csdn.net/qq_368195/article/details/604688