固镇县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

固镇县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+棱的长度为（ ）

=2，则四面体D﹣ABC中最长

A． B．2 C． D．3

2． 把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（ ） A．40（8）

B．45（8）

C．50（8）

D．55（8）

3． 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ） A．（1，2） B．[1，2]

C．[1，2） D．（1，2]

4． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（ ）

A． B． C． D．

5． 抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣A．

B．

C．

D．

y=0的距离是（ ）

6． 下列式子表示正确的是（ ）

A、00,2,3 B、22,3 C、1,2 D、0 7． 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=

bc，sinC=2

sinB，则A=（ ）

第 1 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

A．30° B．60° C．120°

（ ）

D．150°

8． 设为虚数单位，则

A． B． C． D．

9． 已知曲线C1：y=ex上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（ ）

A．1 B． C．e﹣1 D．e+1

10．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x2．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值是（ ） A．0

B．0或

C．

或

D．0或

＞0的解集为（ ）

11．设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式A．（﹣2，0）∪（2，+∞）

B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2） C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．0）（﹣2，

∪（0，2）

12．下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A．y=x﹣1

B．y=（）x C．y=x+

D．y=ln（x+1）

二、填空题

13．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则

= ．

14．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值等于_________. 15．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 开始加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） n135000 2015年5月1日 12 48 35600 S5,T12015年5月15日 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． ST？在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升． 16．当 x时，4＜logax，则a的取值范围 ． 输出 nSS4否是17．设函数f（x）=T2T， 结束①若a=1，则f（x）的最小值为 ； nn1第 2 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是 ． 18．设

,则

的最小值为 。 三、解答题

19．某校为选拔参加“央视猜灯谜大赛”的队员，在校内组织猜灯谜竞赛．规定：第一阶段知识测试成绩不小于160分的学生进入第二阶段比赛．现有200名学生参加知识测试，并将所有测试成绩绘制成如下所示的频率分布直方图．

（Ⅰ）估算这200名学生测试成绩的中位数，并求进入第二阶段比赛的学生人数；

（Ⅱ）将进入第二阶段的学生分成若干队进行比赛．现甲、乙两队在比赛中均已获得120分，进入最后抢答阶段．抢答规则：抢到的队每次需猜3条谜语，猜对1条得20分，猜错1条扣20分．根据经验，甲队猜对每条谜语的概率均为，乙队猜对前两条的概率均为，猜对第3条的概率为．若这两队抢到答题的机会均等，您做为场外观众想支持这两队中的优胜队，会把支持票投给哪队？

20．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜（1）求f（x）的解析式；

）的一段图象如图所示．

（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；

（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．

第 3 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

21．2015年第7届女足世界杯在加拿大埃德蒙顿联邦体育场打响，某连锁分店销售某种纪念品，每件纪念品的成本为4元，并且每件纪念品需向总店交3元的管理费，预计当每件纪念品的售价为x元（7≤x≤9）时，一

2

年的销售量为（x﹣10）万件．

（Ⅰ）求该连锁分店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式L（x）；

（Ⅱ）当每件纪念品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润L最大，并求出L的最大值．

22．（本小题满分12分）已知点Aa,0,B0,ba4,b4,直线AB与圆

M:x2y24x4y30相交于C,D两点, 且CD2,求.

（1）a4b4的值； （2）线段AB中点P的轨迹方程； （3）ADP的面积的最小值.

第 4 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

23．在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AB⊥SC；

（Ⅱ）设D，F分别是AC，SA的中点，点G是△ABD的重心，求证：FG∥平面SBC； （Ⅲ）若SA=AB=2，AC=4，求二面角A﹣FD﹣G的余弦值．

24．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a， （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

*3

（Ⅱ）若a=n且n∈N，设xn是函数fn（x）=nx+2x﹣n的零点．

（i）证明：n≥2时存在唯一xn且

；

（i i）若bn=（1﹣xn）（1﹣xn+1），记Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．

第 5 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

第 6 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

固镇县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参）

一、选择题

1． 【答案】 B

【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥VD﹣ABC=，BC=1， 即AD•

≥1，

≥2

=2，

因为2=AD+当且仅当AD=这时AC=得BD=故选B．

=1时，等号成立，

，

，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=

，故最长棱的长为2．

【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．

2． 【答案】D

5320

【解析】解：∵101101（2）=1×2+0+1×2+1×2+0+1×2=45（10）．

再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）． 故答案选D．

3． 【答案】D

x

【解析】解：A={x|2≤4}={x|x≤2}， 由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1} ∴A∩B={x|1＜x≤2} 故选D．

4． 【答案】A

【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段，

第 7 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP是虚线，左视图为：

故选A．

【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．

5． 【答案】C

2

【解析】解：抛物线y=2x的焦点F（，0），

由点到直线的距离公式可知： F到直线x﹣

y=0的距离d=

=，

故答案选：C．

6． 【答案】D 【解析】

试题分析：空集是任意集合的子集。故选D。 考点：1.元素与集合的关系；2.集合与集合的关系。 7． 【答案】A 【解析】解：∵sinC=2

22∵a﹣b=

sinB，∴c=2

=b，

=

bc，∴cosA=

∵A是三角形的内角 ∴A=30° 故选A．

【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．

8． 【答案】C

【解析】【知识点】复数乘除和乘方

第 8 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

【试题解析】 故答案为：C 9． 【答案】C

【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：∴0＜1+ln（x2﹣m）≤∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m， 令x2﹣m≤

，

，∴

．

=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，

∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．

xe

化为m≥x﹣e﹣，x＞m+．

令f（x）=x﹣e∴m≥e﹣1．

x﹣e

，则f′（x）=1﹣ex﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．

故选：C．

10．【答案】D

2

【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x，

22

∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）=x=f（x），

又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，

又直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：

当a=0时，直线y=x+a变为直线l1，其方程为：y=x，显然，l1与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；

当a≠0时，直线y=x+a与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a与函数y=f（x）相切，切点的横坐标x0∈[0，1]．

第 9 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

由2

得：x﹣x﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x0=x=∈[0，1]．

综上所述，a=﹣或0 故选D．

11．【答案】B

【解析】解：∵f（x）是偶函数 ∴f（﹣x）=f（x） 不等式

也就是xf（x）＞0

①当x＞0时，有f（x）＞0

∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0 ∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2； ②当x＜0时，有f（x）＜0

∵﹣x＞0，f（x）=f（﹣x）＜f（2）， ∴﹣x＞2⇒x＜﹣2

综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2） 故选B

12．【答案】 D

1

【解析】解：①y=x﹣在区间（0，+∞）上为减函数，

，即

第 10 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

②y=（

x

）是减函数，

第 11 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，

第 12 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，

∴A，B，C不正确，D正确， 故选：D

第 13 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．

二、填空题

13．【答案】 1 ．

【解析】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6， ∴cosC=∴sinC=

=，cosA=

，sinA=

，

=

∴==1．

故答案为：1．

【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．

14．【答案】6

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，S9,T2,n2,ST；第2次运行后，

S13,T4,n3,ST；第3次运行后，S17,T8,n4,ST；第4次运行后，S21,T16,n5,ST；第5次运行后，S25,T32,n6,ST，此时跳出循环，输出结果n6程

序结束．

15．【答案】 8 升．

【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．

16．【答案】

【解析】解：当

x

时，函数y=4的图象如下图所示

．

xx

若不等式4＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4的图象的上方（如图中虚线所示） x

∵y=logax的图象与y=4的图象交于（，2）点时，a=

故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足

＜a＜1

第 14 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

故答案为：（，1）

17．【答案】

【解析】解：①当a=1时，f（x）=

x

当x＜1时，f（x）=2﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，

≤a＜1或a≥2 ．

，

当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x﹣3x+2）=4（x﹣）﹣1，

2

2

当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增， 故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，

②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a） 若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，

所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，

而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1， 所以≤a＜1，

若函数h（x）=2﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，

x

则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，

当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h（1）=2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1=a，x2=2a，都是满足题意的， 综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．

18．【答案】9

第 15 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

【解析】由柯西不等式可知

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设测试成绩的中位数为x，由频率分布直方图得， （0.0015+0.019）×20+（x﹣140）×0.025=0.5， 解得：x=143.6．

∴测试成绩中位数为143.6．

进入第二阶段的学生人数为200×（0.003+0.0015）×20=18人． （Ⅱ）设最后抢答阶段甲、乙两队猜对灯谜的条数分别为ξ、η， 则ξ～B（3，）， ∴E（ξ）=

．

]×20=30，

∴最后抢答阶段甲队得分的期望为[∵P（η=0）=P（η=1）=P（η=2）=P（η=3）=∴Eη=

∴最后抢答阶段乙队得分的期望为[∴120+30＞120+24， ∴支持票投给甲队．

，

． ，

， ，

]×20=24．

【点评】本小题主要考查概率、概率与统计等基础知识，考查推理论证能力、数据处理能力、运算求解能力及应用意识，考查或然与必然的思想，属中档题．

20．【答案】

【解析】解：（1）由函数的图象可得A=3， T=再根据五点法作图可得×

+φ=0，求得φ=﹣

=4π﹣

，解得ω=．

，∴f（x）=3sin（x﹣）．

第 16 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

（2）令2kπ﹣k∈z．

≤x﹣

≤2kπ+，k∈z，求得 5kπ﹣π≤x≤5kπ+

=2kπ+

，即 x=5kπ+

，故函数的增区间为[5kπ﹣π，5kπ+

]，

函数的最大值为3，此时， x﹣时x的集合为{x|x=5kπ+

，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值

，k∈z}．

（3）设把f（x）=3sin（x﹣y=3sin（x+

）]．

=x+

）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即

）=3cosx 的图象．

则由（x+m）﹣，求得m=π，

把函数f（x）=3sin（x﹣）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+

【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性和最值，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）该连锁分店一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为： L（x）=（x﹣7）（x﹣10）2，x∈[7，9]， 令L′（x）=0，得x=8或x=10（舍去），

2

（Ⅱ）L′（x）=（x﹣10）+2（x﹣7）（x﹣10）=3（x﹣10）（x﹣8），

∵x∈[7，8]，L′（x）＞0，x∈[8，9]，L′（x）＜0， ∴L（x）在x∈[7，8]上单调递增，在x∈[8，9]上单调递减， ∴L（x）max=L（8）=4；

答：每件纪念品的售价为8元，该连锁分店一年的利润L最大，最大值为4万元．

【点评】本题考查了函数的解析式问题，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．

【解析】

试题分析：（1）利用CD2，得圆心到直线的距离d2，从而22．【答案】（1）a4b48；（2）x2y22x2,y2；（3）426．

2b2aabab222，再进行化简，即可求

第 17 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

ax2解a4b4的值；（2）设点P的坐标为x,y，则代入①，化简即可求得线段AB中点P的轨

by21b1迹方程；（3）将面积表示为SADPa4a4b8ab2a4b46，再利用基本

224不等式，即可求得ADP的面积的最小值.

1b1a4a4b8ab2a4b462224当ab422时, 面积最小, 最小值为426.

（3）SADP考点：直线与圆的综合问题.

a4b46426,

【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的综合问题，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、轨迹方程的求解，以及基本不等式的应用求最值等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中将面积表示为SADPa4b46，再利用基本不等式是解答的一个难点，属于中档试题. 23．【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：∵SA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴SA⊥AB，又AB⊥AC，SA∩AC=A， ∴AB⊥平面SAC，

又AS⊂平面SAC，∴AB⊥SC．

（Ⅱ）证明：取BD中点H，AB中点M， 连结AH，DM，GF，FM， ∵D，F分别是AC，SA的中点，

第 18 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

点G是△ABD的重心，

∴AH过点G，DM过点G，且AG=2GH， 由三角形中位线定理得FD∥SC，FM∥SB， ∵FM∩FD=F，∴平面FMD∥平面SBC， ∵FG⊂平面FMD，∴FG∥平面SBC．

（Ⅲ）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， ∵SA=AB=2，AC=4，∴B（2，0，0），D（0，2，0），H（1，1，0）， A（0，0，0），G（，，0），F（0，0，1）， =（0，2，﹣1），

=（

），

设平面FDG的法向量=（x，y，z）， 则

，取y=1，得=（2，1，2），

又平面AFD的法向量=（1，0，0）， cos＜，＞=

=．

∴二面角A﹣FD﹣G的余弦值为．

【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．

24．【答案】

2

【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax+2，

第 19 页，共 20 页

精选高中模拟试卷

若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增； 若a＜0，令f'（x）＞0，∴函数f（x）的单调递增区间为

或

， 和

；

3

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，fn（x）=nx+2x﹣n在R上单调递增，

又fn（1）=n+2﹣n=2＞0， fn（=

2

当n≥2时，g（n）=n﹣n﹣1＞0，

）==

=﹣

，

，∴

n≥2时存在唯一xn且（i i）当n≥2时，∴∴

又f1（x）=x3+2x﹣1，

，又

∴∴

命题得证．

， ，

（零点的区间判定）

，（数列裂项求和） ，

，（函数法定界）

，（不等式放缩技巧）

【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．

第 20 页，共 20 页