19 自适应滤波的应用

§3.5 自适应滤波的应用 主要介绍自适应滤波技术在对消, 陷波, 逆滤波, 预测和信号分离等方面的应用原理和性能概要分析. 3.5.1 自适应（干扰）对消 最小均方误差法和最小二乘法都可以用于自适应对消. 下面讨论以最小均方误差准则为例, 并假设信号为实信号. 1. 对消原理 自适应干扰对消系统的原理图如图3.5.1所示. 原始输入 信号源 d(n)=s(n)+N0(n)x(n)=N1(n)噪声源 参考输入 自适应滤波器y(n)−+∑系统输出(误差信号)•实际响应°e(n)图3.5.1 自适应对消系统 󰁺 系统输入: 原始输入: d(n)=s(n)+N0(n) 其中: s(n)为有用信号,N0(n)为干扰(或噪声), N0(n)与s(n)不相关. 参考输入: 干扰x(n)=N1(n), N1(n)与N0(n)必须相关. 假定：s(n),N0(n),N1(n)均为零均值的平稳随机过程. 󰁺 系统输出(即误差信号): 用x(n)=N1(n)估计d(n)中与之相关的N0(n)分量, 达到抵消干扰的目的. e(n)=d(n)−y(n)=s(n)+N0(n)−y(n) (3.5.1) 其中y(n)是由N1(n)经自适应滤波器产生的实际响应. 为了实现干扰对消, y(n)应是对d(n)中N0(n)的最佳估计: ˆ(n) (3.5.2) y(n)=N0因此, 自适应对消系统的输出: ˆ(n)] e(n)=[s(n)+N0(n)]−y(n)=s(n)+[N0(n)−N0 [附注] 韩传久编

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(3.5.3) 在s(n)与N0(n),N1(n)不相关的条件下, 均方误差为 ˆ(n))2] (3.5.4) E[e2(n)]=E[s2(n)]+E[(N0(n)−N0调整自适应滤波器的参数, 使 E[e2(n)]=min (3.5.5) ˆ(n))2]最小, 即式(3.5.4)中, E[s2(n)]＝常数, 所以, 使E[(N0(n)−N0有E[e2(n)]最小. 可见, 由于系统消除或减弱了d(n)中的干扰N0(n)，可使ˆ(n)=N(n)时, 输出e(n)≅s(n). 最好的情况是: 当y(n)=N00e(n)=s(n)——体现了自适应对消器从噪声中提取有作信号的特点. 2. 性能分析 思考: 为什么将s(n)+N0(n)作为理想信号d(n)? N1(n)与N0(n)为什么必须相关? 自适应对消系统性能分析模型如图3.5.2所示. 其中: s(n)——原始输入端的有用信号; n(n)——原始输入端中待对消的干扰信号(与n1(n)相关); m0(n)——原始输入端的加性噪声; n1(n)——参考输入中由n(n)经H(z)形成的与n(n)相关的干扰信号; m1(n)——参考输入端的加性噪声; m0(n)s(n)°n(°n)+∑++原始输入∑ 参考输入∑ +H(z)d(n)n1(n)+m1(n)+x(n)W (z)*y(n)−+∑系统输出(误差信号)•°e(n)图3.5.2 自适应对消系统的性能分析模型 原始输入信号为 d(n)=s(n)+n(n)+m0(n) 参考输入信号为 x(n)=n1(n)+m1(n)=n(n)∗h(n)+m1(n) 显然, 若满足m1(n)=0, n(n)与m0(n)不相关, 且自适应滤波器是 [附注] 韩传久编

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H(z)的逆系统, 即传输函数 Wopt(z)=1 (3.5.6) H(z)这时, 自适应滤波器的输出y(n)=n(n), 对消系统输出 e(n)=s(n)+m0(n) 即为理想对消. 若m1(n)≠0, 且n(n)与m0(n)不相关, 则 Pnn(z)H(z−1)1Wopt(z)== 2Pnn(z)|H(z)|+Pm1m1(z)H(z)[1+C(z)] (3.5.7) 其中 具体推导见西电教材p120. C(z)=Pm1m1(z)Pnn(z)|H(z)|2 (3.5.8) 下面对自适应对消系统的性能作进一步讨论. 设: 待对消的干扰n(n)的功率谱为Pnn(z); 加性噪声m0(n)的功率谱为Pm0m0(z); 则 原始输入端的噪声功率谱为 这里可把n(n)看作“噪声信号”. [Pnn(z)]pri=Pnn(z)+Pm0m0(z)=Pnn(z)[1+B(z)]其中 (3.5.9) B(z)=输出端的噪声功率谱为 Pm0m0(z)Pnn(z) (3.5.10) [Pnn(z)]out=Pm0m0(z)−Pm1m1(z)|Wopt(z)|2+Pnn(z)|1−H(z)Wopt(z)|2 (3.5.11) 将式(3.5.7)和(3.5.8)代入上式, 化简后得 [Pnn(z)]out=Pnn(z)B(z)+Pnn(z)定义“系统增益”G: C(z) (3.5.12) 1+C(z) [附注] 韩传久编 第 19-3 页

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G=输出端信噪声比原始输入端信噪比=Pnn(z)[Pnn(z)]out Pnn(z)[Pnn(z)]pri代入式(3.5.9)和式(3.5.12), 得到 G= [讨论] [1+B(z)][1+C(z)] (3.5.13) B(z)+C(z)+B(z)C(z)(1) 由式(3.5.8)和式(3.5.10)可知, B(z)和C(z)分别反映了原始输入端及参考输入端内部噪声的相关性. 显然, 若B(z)和C(z)愈小, 则系统增益G愈大, 抵消作用就愈强. 可见, 系统抵消噪声的能力受这种噪声相关性的限制. B(z)↓, C(z)↓ → G↑ → 抵消作用越好. 详见西电教材p121. (2) 当B(z)和C(z)很小时, 系统抵消能力受其他因素(如滤波器有限长度, 梯度噪声, 失调量及信号向参考输入端的泄漏等)的影响将变得突出. 3. 应用举例 (1) 消除心电图中的电源干扰 原始输入信号d(n): 带有电源干扰的心电图信号; 参考输入信号x(n): 电源信号. 由于d(n)中的电源干扰与x(n)同自一个干扰源, 两者是相关的,所以可以实现自适应抵消. (2) 胎儿心电监护 胎儿心音中混有母亲的心音及背景干扰(主要由母亲肌肉活动及胎儿运动产生). 母亲心音通常比胎儿心音强2∼10倍. 原始输入信号d(n): 从母亲腹部采样的信号(包括母亲心音, 胎儿心音和背景噪声); 参考输入信号x(n): 从母亲胸部采样的信号(主要包括母亲心音和背景噪声). (3) 天线旁瓣自适应抑制 如图3.5.3所示. 原始输入信号d(n)(见图3.5.3 (a)): 方向图主瓣对准目标回波信号入射方向, 旁瓣接收干扰信号, 两者共同进入接收机, 作为原始输入信号; 参考输入信号x(n)(见图3.5.3(b)): [附注] 韩传久编

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取天线阵中的部分阵元, 使方向图主瓣在目标回波信号入射方向形成谷点(接收的回波信号为零), 由天线旁瓣接收的干扰作为参考输入信号. 目标回波入射方向 目标回波入射方向 方向图主瓣点干扰源干扰方向 点干扰源干扰方向 (a) (b) 图3.5.3 天线旁瓣自适应抑制示意图 3.5.2 自适应陷波器(点阻滤波器) 自适应陷滤器(NF)用于抵消单色干扰(即单一频率正弦波干扰)的自适应对消系统, 又称点阻滤波器. 其原理图如图3.5.4所示. 为了分别跟踪干扰[Ccos(ω0t+ϕ)]的幅度和相位变化, 需要采用两个权系数的自适应滤波器. 两个参考输入信号正交(其中一路经90°相移). 陷波器:Notch Filter(NF)(1) 传输函数 模拟输入经采样后, 原始输入信号: d(n)=s(n)+cos(ω0nT) 参考输入信号: 工作原理:通过调整w1和w2 ,达到调节正弦波的振幅和相位, 使 y(n)≈cosω0nT 从而 e(n) ≈ s(n) |W(ejωT)|1Cx1(n)=Ccos(ω0nT+ϕ)=(ejϕejnω0T+e−jϕe−jnω0T) (3.5.14) 2Cjϕjnω0Tx2(n)=Csin(ω0nT+ϕ)=(ee−e−jϕe−jnω0T) (3.5.15) 2j原始输入 采样 0ω0陷波器的频率特性 ωs(t)+cosω0t参考输入 w1(n)x1(n)w2(n)90° d(n)+∑y(n)+∑Ccos(ω0t+ϕ)x2(n)−•e(n)LMS算法图3.5.4 自适应单频干扰抵消器 [附注] 韩传久编

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误差信号为 e(n)=d(n)−y(n)=d(n)−∑wi(n)xi(n) (3.5.16) i=12自适应滤波器的两个输出信号分别为 y1(n)=w1(n)x1(n)=Cw1(n)(ejϕ+jnω0T+e−jϕ−jnω0T) (3.5.17) 2y2(n)=w2(n)x2(n)=Cw2(n)(ejϕ+jnω0T+e−jϕ−jnω0T) (3.5.18) 2j 应用LMS算法, n+1时刻的权系数取值为 w1(n+1)=w1(n)+2µe(n)x1(n)=w1(n)+Cµe(n)[ejϕejnω0T+e−jϕe−jnω0T]w2(n+1)=w2(n)+2µe(n)x2(n)=w2(n)+设z变换如下: (3.5.19) (3.5.20) Cµe(n)jϕjnω0T[ee−e−jϕe−jnω0T]je(n)⇔E(z), d(n)⇔D(z) w1(n)⇔W1(z), w2(n)⇔W2(z) y1(n)⇔Y1(z), y2(n)⇔Y2(z), Y(z)=Y1(z)+Y2(z) 定义自适应陷波器的(视在)传输函数: W(z)=结果如下: E(z)E(z)= D(z)E(z)+Y(z)z2−2zcosω0T+1W(z)=2 (3.5.21) z−2zcosω0T(1−µC2)+(1−2µC2)(2) 幅频特性和相频特性 由式(3.5.21)可知: W(z)有两个零点: µc2(BW)TBz01°Azp1•QωT001z0=e±jω0T(均在单位园上) (3.5.22) 两个极点: zp2°z02zp1,2=(1−µC2)cosω0T±j[(1−2µC2)−(1−µC2)2cos2ω0T]12 (3.5.23) [附注] 韩传久编

ω0——模拟角频率; ω0Τ——数字角频率; A,B两点为半功率点 第 19-6 页

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2当µC2≪1时, 模: |zp|≈1−µC 相角: ϕp=ω0T 这说明零,极点在同一条直线上, 且在半径方向上距离之差为µC2. [讨论] (1) 因零点z0在单位园上, 故在ω0T(即ω=ω0)处, 频响特性出现零点(出现缺口), 说明这点衰减(陷波深度)为无穷大,而在单位园上其它点(如Q点), 零点矢量之积极点矢量之积|W(ejωT)|12µC2=(BW)T

0ω0ω≈1 陷波器的频率特性 与3dB带宽 故有图示形状的频率特性. 当干扰频率作慢变化时, 由于参考干扰源同样在变化, 因此可准确地跟踪陷波频率. (2) 3dB带宽BW: 定性分析: 极点越靠近单位园, 带宽越窄(下陷越尖锐), 即 󰀇󰀇 µC↓, AB↓, (BW)T↓, 可近似求得 22µC2µC2ΩBW≈= (3.5.24a) Tπ或 数字角频率单位表示的3db带宽. BW≈2µC2 (3.5.24b) 调节µC2可改变BW. (3) W(z)于四个参数: ω0,T,C,µ. 若T,µ固定, 则W(z)由输入角频率ω0及参考输入振幅C决定, 即由参考输入信号xi(n)决定系统特性. (4) 当ω0=0时, 这时陷波器可用于消除零点漂移. 对于直流信号, ϕ=0, cosω0T=1, 当C=1时, 有 W(z)=z−1 z−(1−2µ)3.5.3 自适应逆滤波 (1) 什么是逆滤波系统？ 自适应处理器在调整自己的参数后, 最终成为与所要求系统特性完全相反的系统, 即为逆滤波系统. 这一过程又称为“逆向建模”. [附注] 韩传久编

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举例: a) 自适应均衡器, 见图3.5.5. 在数字通信中, 均衡器用于消除由于信道存在的多径传播而引起的码间串扰. 这时均衡器与信道传输函数互为倒数, 均衡器即为信道的逆滤波系统. 采用自适应均衡, 可不必预先知道信道特性, 且适用于时变(变参)信道. b) 解卷积 存在码间干扰的波形 消除码间干扰后的波形 信道 输入信号 均衡器输出与输入信号具有相同的信号形式, 并有一定时延.输出信号H1(z)1H1(z)H(z)=1↔h(n)=δ(n)图3.5.5 自适应均衡器作为信道特性的逆系统已知卷积 y(n)=x(n)∗h(n) ←→ Y(z)=X(z)H(z) 观察信号 原信号 解卷积(逆滤波)——已知y(n), 求x(n): 由X(z)=Y(z)逆滤波系统的冲激响应: (−) h(n)↔1 → 得x(n)=y(n)∗h(−)(n) H(z)1 (3.5.25) H(z)(2) 自适应逆系统的类型 具有无延迟与有延迟两种类型, 如图3.5.6所示, 其中“被控系统”也称为“未知系统”. a) 无延迟的自适应逆系统 原始输入: 被控系统的输出加系统噪声, xk=(sk∗hk)+nk; 参考输入: 被控系统的输入, dk=sk. 原理：xk(因含sk)与dk相关, 当ek→0时, ←其中hk是被控系统的单位冲激响应. yk≈dk 即 yk≈sk 自适应滤波器按均方误差最小准则调整自己的权值，使它的输出yk [附注] 韩传久编

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是被控系统输入sk的最小均方匹配，这时该自适应滤波器便是未知系统系统噪声nk+原始输入sk• 被控系统 h(n)++xk实际响应逆模型•h参考输入(−)(n)ek−++yk≈skdk←由于dk=sk与xk中的有用信号分量相关,因此自适应系统必输出sk的估值与之相抵消.逆系统的输出必与原系统的输入相同. 系统噪声nk++原始输入sk• 被控系统 +xk实际响应延迟逆模型•ek延迟 −++yk≈sk−∆dkz―∆参考输入(b) 有延迟图3.5.6 自适应逆系统的类型 的解卷积逆系统(逆模型). b) 有延迟的自适应逆系统(实用模型) 原始输入: 被控系统的输出加系统噪声, xk=(sk∗pk)+nk; 参考输入: 被控系统输入sk的∆步延时, dk=sk−∆. 原理: 与无延迟的区别是: 通过自适应滤波器的参数调整, 使其输出yk转换成为输入信号的时延, 即 (a) 无延迟ˆ=sˆk−∆ (3.5.26) yk=dk这时, 被控系统的输入sk和自适应滤波器的输出yk除了延时∆外, 两者具有相同的信号形式. 显然, 自适应滤波器就是未知系统的逆系统, 即延迟逆模型. [说明] 这里延时是必需的. 原因如下: 󰁺 当被控系统对sk有延迟时, 则自适应滤波器必须具备超前特性, 这是不可实现的. 󰁺 若未知系统是一个非最小相移系统, 比如有一个零点在单位园外, 则它的逆系统将有一个极点在单位园外, 因此自适应滤波器可能 [附注] 韩传久编

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是一个非稳定的因果系统, 或是一个非因果的稳定系统, 因而也不能实现. h(−)(n)(−)h∆(n)=h(−)(n−∆)截断0(a) 一个非因果稳定逆滤波器的冲激响应特性 n0∆(b) 经过延迟后的特性n图3.5.7 自适应逆系统的FIR实现 图3.5.7(a)所示h(−)(n)是一个非因果稳定逆系统滤波器的冲激响应特性, 图3.5.7(b)是经过延迟∆和截断后的特性, 可见, 该特性可用FIR滤波器逼近实现. 3.5.4 自适应预测器与信号分离器 (1) 自适应预测器 原理图如图3.5.8所示. s(n) ••原始输入参考输入d(n)s(n−k)AF-1 ++−••e(n)ˆ(n)[是s(n-k)的k步预测] y(n)=s参考输入与原始输入相关, AF-1必输出一个近似与原始输入相同的信号,以使e(n)→0.z―k 延时 •s(n)参数复制ˆ(n+k)[是s(n)的k步预测] sAF-2 图3.5.8 自适应预测器 原始输入: d(n)=s(n), 为平稳随机序列; 参考输入: 原始信号s(n)的k步延时信号s(n−k). 两者显然是相关的. 原理: 󰁺 先看AF-1支路: 根据自适应抵消原理, 由于s(n−k)与原始信ˆ(n), 以试图抵消号s(n)相关, 这时AF-1必将输出一个y(n)=sˆ(n)应是其输入s(n−k)的k步预测. s(n). 因此, s [附注] 韩传久编

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󰁺 再看AF-2支路: 若AF-2是AF-1的移植(或复制, 两者具有ˆ(n+k)便是其输入s(n)的k步预相同的参数), 则AF-2的输出s测. (2) 自适应信号分离器 作用: 当宽带信号中混入周期干扰时, 用于分离宽带信号与周期信号. 其原理图如图3.5.9所示. ~(n), ~(n)的原始输入: d(n)=s(n)+v即宽带信号s(n)与周期干扰v混合信号; 参考输入: 原始信号的k步延时, 即x(n)=d(n−∆). 周期干扰 宽带信号←所谓“宽带信号”可理解为持续时间较短的非周期信号. ~(n)v+s(n)++• 原始输入 ~(n)d(n)=s(n)+v=d(n−∆)自适应滤波器+参考输入 x(n)+−••宽带信号ˆ(n)e(n)=s周期信号z―∆ 延时 ~(n)y(n)≈v图3.5.9 自适应信号分离器 原理: 设置足够大的延时∆, 使参考输入与原始输入两者中的宽带信号分量不相关, 但由于周期信号具有周期性, 仍然彼此相关, 因此, 自适应~(n). 最后~~(n)的估值vˆ(n), 以抵消原始输入中的v滤波器必输出一个v~ˆ(n). ˆ(n)及周期信号估值v输出: 宽带信号估值s 应用: 谱线增强, 即从噪声中检测低电平正弦波. 见图3.5.10. x(n)• 原始输入 参考输入 +自适应滤波器+−e(n)z―∆ 延时 y(n)权系数值DFT滤波器传输函数 图3.5.10 信号分离与谱线增强 [附注] 韩传久编 第 19-11 页