§4-3 轴向拉(压)杆的应力

1．应力的概念

为了解决杆件的强度问题，不仅要知道当外力达到一定值时杆件可能沿哪个截面破坏，而且还要知道该截面上哪个点首先开始破坏。因而仅仅知道杆件截面上内力的合力是不够的，还需要进一步研究截面上内力的分布情况，从而引入了应力的概念。应力就是杆件截面上分布内力的集度。

若考察某受力杆截面m-m上M点处的应力，如图4-8所示。

图4-8 一点的应力

在M点周围取一很小的面积A，设A面积上分布内力的合力为F，则面积A上内力F的平均集度为

pmFA (4-1)

式中pm称为面积A上的平均应力。当微小面积A趋近于零时，就得到截面上M点处的总应力，即

plimFAdFdA (4-2)

A0由于F是矢量，故P也是矢量，其方向一般不与截面垂直或平行，因此可以分解成与截面垂直的法向分量正应力和与截面向切的切向分量切应力(剪应力)。

从应力的定义可知，应力是与“截面”和“点”这两个因素分不开的。一般地说，杆件在外力作用下，任一截面上不同点的应力值是不同的，同一点位于不同截面上的应力值也是不同的。因此在谈内力时，应明确是哪个截面哪个点处的应力。应力的量纲为

力长度2，其国际单位为Pa(帕斯卡)，1Pa=1牛顿/米2。工程中常用MPa，1MPa=106Pa。

2．拉(压)杆横截面上的应力

对于拉(压)杆，横截面上的内力为轴力FN，与轴力对应的应力为正应力。

观察受拉等直杆(图4-9(a))的变形情况。首先在等直杆侧面作两条横向线ab和cd，代表其横截面，然后在杆的两端施加一对轴向拉力F使杆发生变形。可以观察到，横向线ab和cd移动到a’b’和c’d’的位置了，如图4-9(b)所示。对于压杆，同样可以观察到该现象。根据这一现象，可以假设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面，即平面假设。根据这一假设，拉(压)杆变形后两横截面将沿杆轴线方向作相对平移，也就是说，拉(压)杆在其任意两个横截面之间纵向线段的伸长变形是均匀的。从而可推知，横截面上的内力是均匀分布的，即横截面上的内力的集度为常量，如图4-9(c),(d)所示。

图4-9 受拉等直杆的应力

用静力学的方法求合力，可得轴力

FNdAdAA

由此得到拉(压)杆横截面上的正应力的计算公式

FNA

Aa

(4-3)

式中FN为轴力，A为杆的横截面面积。当FN为拉力时，为拉应力，FN为压力时，为压应力。的正负号与FN的正负号一致。

式(4-3)是根据杆横截面上内力集度为常量的结论导出的。需要说明一点的是，该公式实际上只在杆上离外力作用点稍远的部分才正确，在外力作用点附近，由于杆端连接方式的不同，其应力的分布是复杂的。但实验已证实正确的圣维南(Saint-Venant)原理指出：“力作用在杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。故在拉(压)杆的应力计算中，都以式(4-3)进行计算。

例题4-3 求图示阶梯直杆横截面1-1﹑2-2和3-3上的轴力，如横截面面积A1=200mm2，A2=300mm2，A3=400mm2，求各横截面上的应力。

图4-10 例题4-3图

解：通过截面法可以计算出各截面的轴力，分别为

FN210kN

对应各截面的应力分别为 FN120kN

FN310kN

312FN1A1FN2A22010N200mm43100MPa

33.3MPa1010N300mm43

43FN3A31010N400mm25MPa3．拉(压)杆斜面上的应力

轴向拉(压)杆不仅横截面上存在应力，其斜截面上也存在应力。

图4-11 拉(压)杆斜面上的应力

如图4-11(a)所示，在等直拉杆中，欲分析与横截面成a角度的斜截面k-k上的应力，可以假想的用一斜截面k-k将杆截分为二，考虑左段的平衡，如同4-11(b)所示。可以计算出斜截面上的内力

(a)

同计算横截面上正应力的分析方法一样，可以得到斜截面上各点处的总应力Pa相等的结论。于是有

PFA

FF

(b)

式中Aa是斜截面的面积。如果横截面的面积为A，则AAcos，代入式(b)，并利用式(a)，即得

PFAcos0cos (4-4)

式中，

0FA为横截面(a=0)上的正应力。

通常将总应力Pa沿斜截面法向和切向分解为正应力和切应力，如图4-11(c)所示。 上述两个应力分量可表示为

pcos0cos (4-5)

psin0sin22 (4-6)

式(4-5)和式(4-6)表达了不同斜截面上正应力和切应力的变化规律。由式(4-5)和式(4-6)

2，是a中的最大可知：当a=0时，0，是中的最大值；当45时，

值。这表明：杆件在轴向拉压时，最大正应力发生在横截面上，而最大切应力发生在与横截面成45°的斜截面上，且其值等于横截面上正应力值的一半。

2a0