qjniie2012考研数学重要知识点解析之高等数学(三)

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懒惰是很奇怪的东西，它使你以为那是安逸，是休息，是福气；但实际上它所给你的是无聊，是倦怠，是消沉;它剥夺你对前途的希望，割断你和别人之间的友情，使你心胸日渐狭窄，对人生也越来越怀疑。

罗兰

2012考研数学重要知识点解析之高等数学（三）

万学海文

数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。

万学海文数学考研辅导专家们在此，特别为2012年的广大考生归纳一下高等数学的部分知识点。这次我们介绍的是拉格朗日中值定理。 1.定理内容：

若f(x)满足条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导

则在开区间(a,b)内至少存在一点，使得

f(b)f(a)baf'()，

即f(b)f(a)f'()(ba)

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2.定理证明：

分析：由于该定理中出现了中值，我们需要用学过的罗尔定理来证明。分析已知条件可知，我们需要构造一个辅助函数，这个函数既要和f(x)有关，又要满足洛尔定理的条件。辅助函数的构造是中值定理解决实际问题的关键，就这个

f(b)f(a)0，很容

baf(b)f(a)易我们会联想到洛尔定理的结论是f'()0，如果f'()可以看作

ba定理而言，我们从定理的结论入手，把它变型为：f'()某个函数在点的导数值的话，如果这个函数满足洛尔定理的条件，那么这个辅助函数我们就找到了。事实上，此时辅助函数可记为F(x)f(x)f(b)f(a)x，

baf(b)f(a)x.

ba证明：作辅助函数F(x)f(x)易验证F(x)满足：F(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，且

F(a)F(b)；

f(b)f(a)。

ba又 F(x)f(x)根据罗尔定理，可得在a,b内至少有一点，使F()0，即

f(b)f(a)0,

baf()即 f(b)f(a)f()(ba). 3.定理注解:

（1）定理的不同形式：

1）f(b)f(a)f()(ba)，在a,b之间；

2）f(b)f(a)f(a(ba))(ba),01；

3）f(ah)f(a)f(ah)h,01. （2）定理的几何意义：

可微曲线上存在一点，使其切线平行于端点的连线。 4.应用举例：（证明含有中值的等式）

设0ab.试证至少存在一点(a,b),使得

alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

分析：这个结论中含有中值，还有函数在两个端点处的函数值，首先将

lnblnaba1ln，从这个式子的所证式子中不带的移到等式一端，整理得

ba2形式我们看出可以尝试使用拉格朗日中值定理去证明！ 证明:设f(x)lnx1lnx，f(x) xx2因为0ab.，所以f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理，

lnblnaa1ln 至少存在一点(a,b),使得bba2

即 alnbblna(ab2ba2)(1ln)/2.

总结：在遇到用中值定理去证明等式时，设置辅助函数是一个重点，也是一个难点。解决这类问题，通常从结论出发，把含有中值的项分离到等式一边，剩余项放在另一边，并从中分析出辅助函数的形式。最后，验证辅助函数满足定理的条件，并证明之。