按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
2.2 一元二次方程的解法
2.2.3 因式分解法
第1课时 因式分解法解一元二次方程 教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。 3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。 重点难点 重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。 教学过程
（一）复习引入1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法?
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2、用两种方法解方程：9(1-3x)=25 （二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ，，x2=- 。 1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
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2、想一想：展示课本1．1节问题二中的方程0.01t-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗? （三）探究新知
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引导学生探索用因式分解法解方程0.01t-2t=0，解答课本1．1节问题二。 把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0 解得 tl=0，t2=200。
t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇。 （四）讲解例题
1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。 2、让学生讨论P．9“说一说”栏目中的问题。 要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。 3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。 （五）应用新知 课本P．10，练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12。 [解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0， (3x-2)(x+3)=0， 3x-2=0，或x+3=0， 所以xl= ，x2=-3
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(2) 去括号、整理得 x+2x-3=12，x+2x-15=0， (x+5)(x-3)=0， x+5=0或x-3=0， 所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。 布置作业 教学后记： [教学反思]
学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。在今后的教学中，我会不断的钻研探索，使我的课堂真正成为学生学习的乐园。
本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。教学时，我让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状。由于剪的方法不同，展开图的形状也可能是不同的。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，就要求适当进行指导。通过动手操作，动脑思考，集体交流，不仅提高了学生的空间思维能力，而且在情感上每位学生都获得了成功的体验，建立自信心。
一元二次方程根的判别式
教学目标
【知识与技能】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【过程与方法】
经历思考、探究过程，发展总结归纳能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 【情感态度】
积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲. 【教学重点】
能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证. 【教学难点】
从具体题目来推出一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的b-4ac的情况与根的情况的关系. 教学过程
一、情景导入，初步认知
同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我.
【教学说明】这样设计，能马上激发学生的学习兴趣和求知欲，为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.
二、思考探究，获取新知
1.问题：什么是求根公式？它有什么作用？
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－bb2－4ac2.观察求根公式x 回答下列问题：
2a（1）当b-4ac>0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有几个根？ （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有几个根？ （3）当b-4ac<0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有几个根？
3.综上所知，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的情况是由b-4ac来判断的. 【归纳结论】我们把b-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b-4ac
⑴当Δ=b-4ac>0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即
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－bb2－4ac－b－b2－4ac，x2. x12a2a⑵当Δ=b-4ac=0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根. ⑶当Δ=b-4ac<0时，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
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4.不解方程判定下列方程的根的情况. (1)3x+4x-3=0 (2)4x=12x-9 (3)7y=5(y+1)
解：(1)因为Δ=b-4ac=4-4×3×（-3）
=52>0
所以，原方程有两个不相等的实数根. （2）将原方程化为一般形式，得 4x-12x+9=0
因为Δ=b-4ac=(-12)2-4×4×9
=0
所以，原方程有两个相等的实数根. （3）将原方程化为一般形式，得 5y-7y+5=0
因为Δ=b-4ac=(-7)-4×5×5
=-51<0
所以，原方程没有实数根.
【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识，真正体验自己发现结论的成功乐趣.
三、运用新知，深化理解
1.已知方程x+px+q=0有两个相等的实根，则p与q的关系是． 【答案】 p-4q=0
2.若方程x+px+q=0的两个根是-2和3，则p，q的值分别为. 【答案】 -1，-6
3.判断下列方程是否有解： （1）5x-2=6x（2）3x+2x+1=0
解析：演算或口算出b－4ac，从而判断是否有根 解：（1）有（2）没有
4.不解方程，判定方程根的情况. （1）16x+8x=-3（2）9x+6x+1=0
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（3）2x-9x+8=0（4）x-7x-18=0
分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可．
解：（1）化为16x+8x+3=0
这里a=16，b=8，c=3，b-4ac=64-4×16×3=-128<0 所以，方程没有实数根． （2）a=9，b=6，c=1， b-4ac=36-36=0，
∴方程有两个相等的实数根． （3）a=2，b=-9，c=8
b-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0 ∴方程有两个不相等的实根． （4）a=1，b=-7，c=-18
b-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0 ∴方程有两个不相等的实根．
5.若关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x-2ax+a+1=0没有实数根． ∴（-2a）-4（a-2）（a+1）=4a-4a+4a+8<0 ∴a<-2
∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a ∴所求不等式的解集为x<-3/a
6.已知关于x的一元二次方程x+2x+m=0． （1）当m=3时，判断方程的根的情况； （2）当m=-3时，求方程的根．
分析：（1）判断一元二次方程根的情况，只要看根的判别式Δ=b－4ac的值的符号即可判断：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，
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方程没有实数根.
（2）把m的值代入方程，用因式分解法求解即可. 解：（1）∵当m=3时，Δ=b-4ac=2-4×3=-8＜0， ∴原方程无实数根.
（2）当m=-3时，原方程变为x+2x-3=0， ∵（x-1）（x+3）=0，∴x-1=0，x+3=0. ∴x1=1，x=-3.
7.已知一元二次方程x+px+q+1=0的一根为2． (1)求q关于p的关系式；
(2)求证：抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点．
分析：（1）根据一元二次方程的解的定义，把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式；
（2）由关于x的方程x+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点．
解：（1）∵一元二次方程x+px+q+1=0的一根为2， ∴4+2p+q+1=0， 即q=-2p-5；
（2）证明：令x+px+q=0．则Δ=p-4q=p-4（-2p-5）=（p+4）+4＞0，即Δ＞0， 所以，关于x的方程x+px+q=0有两个不相等的实数根．即抛物线y=x+px+q与x轴有两个交点．
【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充. 课后作业
布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.
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