高中三角函数练习题及答案

一、填空题

1．如图，在棱长均为23的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则APPQ的最小值是______.

2．如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，BAC5，12BDAB，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路．该市拟修建一条从C通往海岸的

C的一观光专线CPPQ（新建道路PQ，对道路CP进行翻新），其中P为BC上异于B，点，PQ与AB平行，设PAB0，新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单12位成本的2倍．要使观光专线CPPQ的修建总成本最低，则的值为____________．

3．已知三棱锥PABC中，APB2，PAPB3，AC5，BC4，且平面3PAB平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．

4．在ABC中，AB7，BC23，cosBACBDC1，动点D在ABC所在平面内且72π．给出下列三个结论：①△BCD的面积有最大值，且最大值为3；②线段38π．其中正3AD的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D的轨迹的长度为确结论的序号为______．

5．已知单位向量e1，e2与非零向量a满足3e1e222，ae1e20，则

aa3e12e2的最大值是______.

6．平行六面体ABCDA1B1C1D1的各棱长均相等，BADDAA1A1AB60，直线AC1平面A1BDE，则异面直线D1E与AD所成角的余弦值为_________.

7．ylogsin(x)的单调增区间为________.

38．已知平面四边形ABCD的面积为36，AB4，AD3，BC5，CD6，则

cos(AC)___________.

π5(x1)π9．函数y5sinx(15x10)的图象与函数y2图象的所有交点的横坐

5x2x25标之和为___________.

10．已知OB1，A,C是以O为圆心，22为半径的圆周上的任意两点，且满足π0()，设平面向量与的夹角为，则平面向量在OAOBOABC方向上的BABC04投影的取值范围是_____.

二、单选题

1x11．已知函数fxln2e，a，b，c分别为ABC的内角A，B，C所对的边，

x1且4a24b2c26ab,则下列不等式一定成立的是（ ） A．fsinAfcosB C．f (sin A)≥f (sin B) 12．已知点P是曲线yB．f (cos A)≤f (cos B) D．f (sin A)≥f (cos B)

4上一动点，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取

ex3值范围是（ ） A．0,

6B．,

62C．,

63πD．0,

3

13．若函数ysin2x与ysin2x在0,上的图象没有交点，其中0,2，则4的取值范围是（ ） A．,2

B．,

2C．,2

D．

2,

2ACABABAOACAO2mAO14．已知O是三角形ABC的外心，若，且ABACsinBsinC3，则实数m的最大值为（ ）

A．3

3B．

5137C．

53D．

215．已知函数fx2x,xR，若当0时，f(msin)f(1m)0恒成立，则实

2数m的取值范围是（ ） A．0,1 C．1,

B．

,0

D．,1

39116．在ABC中，已知sinAsinC,设t2sinAsinC,则t(t)(t)最大值为244（ ） A．1

B．277 64C．1693 1929D．

817．已知函数f(x)3sin(x)(0,||)，f(4)f(2)6，且f(x)在[2,4]上单调.设函数g(x)f(x)1，且g(x)的定义域为[5,8]，则g(x)的所有零点之和等于（ ） A．0

B．4

C．12

D．16

log2x,x0,18．已知函数f(x)函数gx满足以下三点条件：①定义域为R；②对任

x,x0,意xR，有gx2gx；③当x[0,]时，gxsinx．则函数yfxgx在区间[4,4]上零点的个数为（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

319．已知函数fxsinxacosx(a0且0），周期T2，f()3，且fx在x

6

处取得最大值，则的最小值为（ ）

B．12

C．13

D．14

A．11

20．在锐角ABC中，三内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bsinC，则

tanAtanBtanC的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

三、解答题

21．已知向量a最小正周期为.

3cosx,cosx,bsinx,cosx0，若函数fxab1的2（1）求fx的解析式；

（2）若关于x的方程2afxcos2x2fxcos2x3a30在0，有

41212实数解，求实数a的取值范围.

222．如图，某市一学校H位于该市火车站O北偏东45方向，且OH42km，已知

OM, ON是经过火车站O的两条互相垂直的笔直公路，CE,DF及圆弧CD都是学校道路，其

中CE//OM，DF//ON，以学校H为圆心，半径为2km的四分之一圆弧分别与CE, DF相切于点C, D.当地政府欲投资开发AOB区域发展经济，其中A,B分别在公路OM, ON上，且AB与圆弧CD相切，设OAB，AOB的面积为Skm2.

（1）求S关于的函数解析式；

（2）当为何值时，AOB面积S为最小，政府投资最低？

23．如图，四边形ABCD是某市中心一边长为4百米的正方形地块的平面示意图. 现计划在该地块上划分四个完全相同的直角三角形（即RtABF,RtBCG,RtCDH和RtDAE），且在这四个直角三角形区域内进行绿化，中间的小正方形修建成市民健身广场，为了方便市民到达健身广场，拟修建4条路AE,BF,CG,DH. 已知在直角三角形内进行绿化每1万平方米的费用为10a元，中间小正方形修建广场每1万平方米的费用为13a元，修路每1百米的费用为a元，其中a为正常数．设FAB，0,.

4

（1）用表示该工程的总造价S；

（2）当cos为何值时，该工程的总造价最低？

24．如图，长方形ABCD中，AB2,BC3，点E,F,G分别在线段AB,BC,DA（含端点）上，E为AB中点，EFEG，设AEG.

（1）求角的取值范围；

（2）求出EFG周长l关于角的函数解析式f()，并求EFG周长l的取值范围. 3x3xxx25．已知向量acos,sin，bcos,sin，x0,.

22222（1）用含x的式子表示ab及ab； （2）求函数的fxabab值域.

26．已知函数f(x)x2ax6(a为常数，aR).给你四个函数：①g1(x)2x1；②g2(x)3；③g3(x)log2x；④g4(x)cosx. （1）当a5时，求不等式f(g2(x))0的解集； （2）求函数yf(g4(x))的最小值；

（3）在给你的四个函数中，请选择一个函数(不需写出选择过程和理由)，该函数记为

xg(x)，g(x)满足条件：存在实数a，使得关于x的不等式f(g(x))0的解集为[s,t]，其中常数s，tR，且s0.对选择的g(x)和任意x[2,4]，不等式f(g(x))0恒成立，求实数a的取值范围.

27．已知函数fx23cosxsinx2cos2x2. (1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间; (2)求函数fx在0，上的最大值和最小值.

228．已知函数fxsinxcosx2sin2x (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的单调增区间； (3)若x0,求函数的值域．

22xx29．设向量a=（2sincos，3sinx），b=（cosx，sinx），x∈[-，]，函数f（x）

2263=2a•b．

（1）若|a|=2|b|，求x的值；

（2）若-23≤f（x）-m≤3恒成立，求m的取值范围．

30．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且3a2csinA (Ⅰ)确定角C的大小：

（Ⅱ）若c＝,且△ABC的面积为,求a＋b的值．

【参考答案】

一、填空题

311 21．2．6 3．28

4．①③

53 3565．6．

7．(2k,2k)(kZ)

368．

7##0.7 109．-7

2525,10． 55二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．D 15．D 16．B 17．C 18．A 19．C 20．D 三、解答题

7321．（1）f(x)sin(2x)；（2）a1或a. 62【解析】

（1）根据向量数量积的坐标运算及三角公式，化简可得fx的解析式； （2）先化简f(x12)sin2x，利用换元法，设tsin2xcos2x，把目标方程转化为关于

t的方程，分离参数后进行求解.

【详解】 （1）因为a3cosx,cosx,bsinx,cosx0，

所以fxabsin(2x).

61131cos2x13cosxsinxcos2xsin2x 22222因为f(x)的最小正周期为，所以（2）由（1）可知f(x2，即1，所以f(x)sin(2x). 6212)sin2x.

因为(sin2xcos2x)2sin22x2sin2xcos2xcos22x12sin2xcos2x， (sin2xcos2x)2sin22x2sin2xcos2xcos22x12sin2xcos2x，

22所以(sin2xcos2x)12sin2xcos2x11(sin2xcos2x).

令tsin2xcos2x，则(sin2xcos2x)22t2，

则方程2afxcos2x2fxcos2x3a30 121222可化为2a2t2t3a30，即2at22ta30.

因为x0,，所以2x,，

4444所以tsin2xcos2x2sin2x[1,1].

4所以由题意可知，方程2at22ta30在t[1,1]时有解； 令g(t)2at22ta3，

3当a0时，g(t)2t3，由g(t)0得t（舍）；

212t21当a0时，则2at2ta30可化为，

a32t212t21令y，t[1,1]，设u32t，则t(3u),u[1,5]，

232t1172(3u)12u6， 1(3u)222uyu2u因为u727，当且仅当u7时，取到最小值， u7取到最大值8， u2当u1时，u173. 所以y[73,1]，所以[73,1]，解得a1或aa273. 所以实数a的取值范围是a1或a2【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，利用向量的坐标运算及三角公式把目标函数化简为最简形式，是这类问题常用求解方向，方程有解问题通常利用分离参数法来解决，侧重考查数学运算的核心素养.

[2(sincos)1]2,0,；（2）. 22．（1）S2sincos42【解析】 【分析】

（1）以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则H(4,4)，在RtABO中，设ABl，又OAB，故OAlcos，OBlsin，进而表示直线AB的方程，由直线

AB与圆H相切构建关系化简整理得l形面积公式表示AOB面积即可；

4(sincos)2，即可表示OA,OB，最后由三角

sincos2t2t3（2）令t2(sincos)1，则sincos，由辅助角公式和三角函数值域可

81求得t的取值范围，进而对原面积的函数用含t的表达式换元，再令m进行换元，并构

t建新的函数g(m)3m22m1，由二次函数性质即可求得最小值. 【详解】

解：（1）以点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则H(4,4)，在RtABO中，设ABl，又OAB，故OAlcos，OBlsin. 所以直线AB的方程为

xy1，即xsinycoslsincos0. lcoslsin因为直线AB与圆H相切， 所以|4sin4coslsincos|sin2cos22.(*)

因为点H在直线AB的上方， 所以4sin4coslsincos0，

所以(*)式可化为4sin4coslsincos2，解得l4(sincos)2.

sincos所以OA4(sincos)24(sincos)2. ，OBsincos1[2(sincos)1]2,0,. 所以AOB面积为SOAOB22sincos2

（2）令t2(sincos)1，则sincost22t3， 8且t2(sincos)122sin1(1,221]，

4t216S22所以t2t3321，t(1,221].

t2t822211221142g(m)m,1,1上令在，g(m)3m2m13m，所以t7733单调递减. 所以，当m答：当【点睛】

本题考查三角函数的实际应用，应优先结合实际建立合适的数学模型，再按模型求最值，属于难题.

323．（1）S()16a(13sin6sincos)，0,；（2）当cos时，S()16af()44221，即时，g(m)取得最大值，S取最小值.

47时，AOB面积S为最小，政府投资最低.

4取得最小值 【解析】

(1)根据题意可知BF4sin,AF4cos,进而求得SRt【详解】

（1）在RtABF中,FAB,AB4,所以BF4sin,AF4cos. 由于RtABF,RtBCG,RtCDH和RtDAE是四个完全相同的直角三角形,所以

AEBFCGDH4sin,EFFGGHHE4(cossin),

ABF与S正方形EFGH再求得总造价S即可.

(2)由(1)有S()16a(13sin6sincos),再求导分析函数的单调性与最值即可.

所以SRtABF11AFBF4cos4sin8sincos, 22S正方形EFGHEF242(cossin)216(12sincos).

所以S()48sincos10a16(12sincos)13a44sina

16a[20sincos(12sincos)13sin] 16a(13sin6sincos),0,. 4（2）由（1）记f()13sin6sincos,0,.

4则f()cos6(cos2sin2)12cos2cos612(cos)(cos). 32令f()0,因为0,,所以cos或cos(舍).

4343记cos0,所以当(0,0)时,f()0,f()单调递减；

43423当(0,)时,f()0,f()单调递增. 所以当cos43时,f()取得极小值,也是最小值, 4又a0,所以当cos【点睛】

3时,S()16af()取得最小值. 4本题主要考查了三角函数在几何中的运用,同时也考查了求导分析函数最值的方法,属于难题.

1sincos24．（1）[,]（2）f()，[,]，EFG周长l的取值范围为

63sincos63[2(21),2(31)]

【解析】

（1）结合图像可得当点G位于D点时，角取最大值，点F位于C点时，BEF取最大值，角取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在RtΔEAG中，求出EG11，在RtΔEBF中，求得EF，在RtΔGEF中，cossin111，通分可得cossinsincos根据勾股定理得FG2EF2EG2，从而可得f()f()1sincos，令tsincos，借助三角函数的性质即可求解.

sincos【详解】

（1）由题意知，当点G位于D点时，角取最大值， 此时tan3，因为02，所以max3

当点F位于C点时，BEF取最大值，角取最小值， 此时BEF=3，所以min236

故所求的取值集合为[,]

63（2）在RtΔEAG中，cosAE1，AE1，所以EG EGcos在RtΔEBF中，cosBEFcos(2)BE1，BE1，所以EF EFsin在RtΔGEF中，有勾股定理得FG2EF2EG2

11sin2cos21 sin2cos2sin2cos2sin2cos2因为[,]，所以sin63所以f()EGEFFG所以f()0,cos0，FG1

sincos111 cossinsincos1sincos，[,]

sincos63t21令tsincos，则sincos

2所以l2(1t)2 t21t157因为[,]，[,]，

6341212所以sin(4)[62,1] 4所以tsincos2sin()[4【点睛】

31,2] 2所以EFG周长l的取值范围为[2(21),2(31)]

本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.

325．（1）abcos2x；ab2cosx，x0,（2）fx,1

22【解析】

（1）根据平面向量数量积的坐标表示以及三角恒等变换公式可得ab，根据ab=|ab|2可求得结果；

（2）利用二倍角的余弦公式化为关于cosx的二次函数可求得结果. 【详解】

3x3xxx（1）因为向量acos,sin，bcos,sin，x0,， 22222所以|a|cos2所以abcos23x3xxxsin21，|b|cos2sin21， 22223xx3xx3xxcossinsincos()cos2x， 222222aba22abb212cos2x121cos2x4cos2x，

ab2cosx，x0,；

22（2）fxcos2x2cosx2cosx2cosx1，

3又x0,，∴cosx0,1，fx,1.

22【点睛】

本题考查了平面向量的数量积的坐标运算，考查了求平面向量的模，考查了二倍角的余弦公式，考查了整体换元化为二次函数求值域，属于基础题.

26．（1）1log32,)；（2）ymin–a5,a22a6,2a2；（3）a1. 4a5,a2【解析】

（1）令ug2x，则fu0的解为u1或u6，由后者可得f(g2(x))0的解. （2）令tg4x，则t[1,1]，分类讨论后可求yt2at6，t[1,1]的最小值，该最小值即为原来函数的最小值.

（3）取gxg3(x)log2x，可以证明g(x)满足条件，再利用换元法考虑任意x[2,4]，不等式f(g(x))0恒成立可得实数a的取值范围. 【详解】

2（1）当a5时，fxx5x6.

令ug2x，因为u25u60的解为u1或u6， 所以3x1（舍）或3x6，故x1log32， 所以f(g2(x))0的解集为1log32,). （2）令tg4xcosx,xR，则t[1,1]，

2函数yf(g4(x))的最小值即为httat6，t[1,1]的最小值.

aa2当1,1即2a2时， htmin6. 24当当

a1即a2时，htmina5； 2a1即a2时， htmin–a5. 2故ymin–a5,a22a6,2a2. 4a5,a2（3）取gxg3(x)log2x，

令ulog2x，设u2au60的解集为闭区间u1,u2，

u1u2由u1uu2得2u1x2u2，故f(g(x))0的解集为2,2，

取s2u1，则s0，故g(x)满足条件.

当x[2,4]时，u[1,2]，故fu0在[1,2]上恒成立，

12a160故2，解得a1， 22a60所以实数a的取值范围是a1.

【点睛】

本题考查复合函数的性质及复合函数对应的不等式的解与恒成立问题，此类问题可通过换元法把复合函数问题转化为二次函数的最值问题或恒成立问题，本题有一定综合性，是难题.

2k（2）5； -2 27．（1）T；k,36【解析】 【分析】

（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可

（2）由x0，求出2x的范围，再根据函数图像求最值即可

62【详解】

2（1）fx23cosxsinx2cosx23sin2xcos2x32sin2x3，

6T3222kxk,k， ，令2x2k,6223262k,kZ； 即单减区间为k,3677π（2）由x0，t2x,，当t时，fx的最小值为：-2；

66662当t2时，fx的最大值为：5

【点睛】

本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题

328．（1）；（2）[k，k],kZ；（3）[1,2].

88【解析】 【分析】

（1）先化简函数f(x)的解析式，再求函数的最小正周期；（2）解不等式2k22x42k2,kZ，即得函数的增区间；（3）根据三角函数的性质求函数

的值域. 【详解】

（1）由题得f(x)1sin2x21cos2xsin2xcos2x2sin(2x)， 24所以函数的最小正周期为（2）令2k2=. 222x42k2,kZ,

3所以kxk,kZ,

883所以函数的单调增区间为[k，k],kZ.

88（3）0x2,02x,42x45, 42sin(2x)1,12sin(2x)2， 244所以函数的值域为[1,2]. 【点睛】

本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

π29．（1）x；（2）3,332.

4【解析】 【分析】

（1）根据|a|2|b|，利用化简函数化简解得x的值； （2根据f（x）＝2a•b．结合向量的坐标运算，根据x∈[23f（x）﹣m3恒成立，可得m的取值范围． 【详解】

解：（1）由|a|=2|b|， 可得a22b2； 即4sin2x=2（cos2x+sin2x） 即sin2x=∴sinx=∵x∈[-∴x=

1； 22； 26，

]，求解范围，）﹣3，]， 63 4（2）由函数f（x）=2a•b=2sin2x+23sin2x

11=sin2x+23（cos2x）=sin2x3cos2x+3=2sin（2x-）3 223∵x∈[-

，]， 632∈[-，]， 333则32≤2sin（2x-）3≤23；

3∴2x-要使-23≤f（x）-m≤3恒成立， m2332则

3m23解得：3m332

故得m的取值范围是[3，332]． 【点睛】

本题考查三角函数的化简能力和向量的运算，考查转化思想以及计算能力． 30．(Ⅰ)

（Ⅱ）5 3【解析】 【详解】

试题分析：（1）先根据正弦定理边化角转化为3sinA2sinCsinA即可得sinCC60（2）∵S3，故2133，再由余弦定理可得ab absinC22试题解析： 解：

（1）由正弦定理得3sinA2sinCsinA， ∵A,C是锐角，∴sinC（2）∵S3，故C60. 2133，∴ab6 absinC22由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)23ab(ab)2187 ∴ab5

点睛：在解三角形问题时多注意正余弦定理的结合运用，正弦定理主要用在角化边和边化角上，而余弦定理通常用来求解边长