纯强迫振动讲解

Methods of Mathematical Physics

第七章 行波法 travelling wave method

问题的引入：

一无限长的均匀弦，因受其力密度为bxt 的外力 作用作振幅极其微小的横振动。若弦的初位移 为0,初速度为(l  x)，试求该弦的振动规律。

2u au xx  bxt,  x  

u(x, t)  ?



0, u t 0  l  x u  tt 0 

tt

§ 7.2 纯强迫振动

Pure forced viberation

一、定解问题

§7.2 纯强迫振动

ut a2u f (x, t) (1)

t

xx 

u |t 0  0

 u | 0t t 0

(2) (3)

二、求解

1、思路：

化有源问题为无源问题，利用达朗贝尔公式求解。

附：叠加原理

§7.2 纯强迫振动

1、定义：在物理学中研究问题时，常将几种不同原因综合所产生的效果，用这些不同原因单独产生的效果的累加来代替，这就是叠加原理。 2、在数学上：叠加原理对应于线性方程或线性定解条件。

设 L 为线性微分算符，则

Lu  f

表示线性方程或线性定解条件。

附：叠加原理

n

§7.2 纯强迫振动

（1） 若L ui fi (i  1,2,L, n) , 且 u  ciui ,

则 Lu  ci fi

i1

n

i1

（2） 若L ui fi (i  1,2,L, n) , 且 u  ciui一致收敛，



则 Lu  ci fi

i1



i1

（3） 若 Lu f (M , M 0 ) , 且U  u(M , M 0 )dM 0一致收敛，



则 LU   f (M , M 0 )dM 0

二、求解

(x, t) f的作用情况2、分析源 瞬时力

§7.2 纯强迫振动

瞬时力引 起的振动

(1) f (x, t)  f (x, ), 0    t w(x, t; ) u(x, t) lim 

 0

t

 0

(2) f (x, )在时间间隔内引起的振动为

w  a w  0   t   tt xx  w | 0 t  w |  f (x, ) t t 

2

二、求解

2、分析源 f (x, t)的作用情况 设：w(x, 2 t; )  v(x, t; )§7.2 纯强迫振动

w  aw  0

tt

xx



w | 0 t  w |  f (x, ) t t t

󰀀

vtt  a vxx  0 (4)  v |t   0 (5) v |  f ( x, ) (6)  t t 

2

(3) u ( x, t ) 



0

v ( x, t; )dxa(t  ) ３、纯强迫振动的解：

1 t u( x, t) 2a 0

 xa(t  ) f ( , )dd

三、例题

求解初值问题：

§7.2 纯强迫振动

解：u tt  u xx  x u ( x,0)  0 u t ( x,0)  0

u ( x, t ) 

1 t x  ( t )

d d2

0 x  ( t  )

 1 xt 2

2

四、小结

1、对于纯强迫振动：

2

§7.2 纯强迫振动

（1)先将有源问题按utt  au xx f ( x, t) (1)

冲量原理化为无源问 

(2) 题； u |t 0 0

ut |t 0  0 （2）再利用迭加原(3) 

理和达氏公式求解。 t2

v  av  0

tt

xx

 v | 0 t  v |  f (x, ) 

 t t 

u ( x, t ) v ( x, t;)d0

1 t u( x, t) 2a 0  xa(t  ) xa(t  ) f ( , )dd



四、小结

§7.2 纯强迫振动

2



tt  a u xx  0

1 I  I

u|u :  ( x) u   ( x  at )   ( x  at )t  0 2 I

|  ( x) u x  at t  0 1 t2 II  ( )dII  a u f ( x, t ) x  at u 2 tt xx

 I t x  a (t  ) II 1 u : u |t  0  0  f ( , )dd II

2a 0 x  a (t  )

u| 0 t t  0 

2、对于一般强迫振动： u tt  a u xx  f ( x, t )

III |x) t  0  ( 使： u 令 u  u  u ,



u t | t  0  ( x)  I 2 I



本节作业

习题 7.2：1（4）；