人口模型

问题：假定人口的增长服从这样的规律：时刻t的人口为x(t),t到t+t时间内人口的增长量与xm-x(t)成正比（其中xm为最大容量）。试建立模型并求解。作出解得的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。 一、模型的假设

1．人口的最大容量为xm

2.人口的增长率r(x)是一个关于人口数量x的减函数。设r(x)=r-sx(r,s>0)

二、模型的建立与求解 由已知的条件与假设有：

r(x)=r-sx (1)

x(t+t)-x(t)=r(x)xt (2)

x(t+t)-x(t)=k(xm-x(t))(k>0是比例系数) (3) 当t0由（2）（3）得

dxdt=k

dxdt+r(x)x ，x(0)=x0 (4)

rxm当x=xm时，有r(x)=0代入（1）式有s=

rxm于是（1）式为

r(x)=r-x (5)

所以（4）为

dxdt(rrxmx)x=

1k, x(0)=x0 (6)

再对（6）式进行分离变量法求解得到：

xm x(t) =

(1k)[1(xmx01)exxmrt] (7)

rx体现人口自身的增长趋势，而(1-)体现资源和环境的阻滞作用，显然x越

大，后一个因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。对此作下面两个图形一个：

dxdt~t，另一个：x(t)~t 如下图所示：

dx/dt 0 xm

2

xmx

x 1kxmx 2(1k)xmx0 0 xmt

最终模型：x(t) =

三、模型的分析

(1k)[1(xmx01)ert]

首先，问题中有时刻t的人口为x(t),t到t+t时间内人口的增长量与xm-x(t)成正比（其中xm为最大容量）的条件，所以我们所建立的模型中人口增率不是一个固定的量，而应该是一个变化减小的量，所以与logistic模型的假设的前提假

设相同，进而根据问题中条件和logistic模型建立过程的思想，集合数学知识得到我们所要建立的模型。

结果的比较

调查从1860年到1990年之间美国人口数量如下表所示（单位~百万） 年份 人口数量 1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 10 62.9 1900 76.0 1910 92.0 1920 106.5 1930 123.2 1940 131.7 1950 15.07 1960 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4

根据数据，用统计的最小二乘法进行拟合可以得出

 r=0.2257 xm=392.1

k=0.0353 x0=31.4

把所估计的参数代入（7）即可得到所求的模型。这样就可以预测未来的人口数量。

用模型计算2000年的人口x(2000)=284.(百万)（实际人口281.4（百万））误差约1.12%

用logistic模型 x(2000)=274.5（百万）（实际人口281.4（百万））误差约2.5% 用指数模型x(2000)=422.1（百万），显然误差很大。

综上所述：可以认为所建立的模型是满意的，效果比上面两种方法优越。