8下练习题1 角平分线和线段垂直平分线1

一、基础练习

1、已知： PA、PC分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分线，它们交于P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F，求证：BP为∠MBN的平分线。

2、如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补，求证：AD＝CD.

3、 △ABC中，AB=AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB=2BC，则腰长为________________。

4、如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于______________。

A O E C D

5、已知：如图，∠B=∠C=900，DM平分∠ADC， AM平分∠DAB 。求证： M B=MC

DEMCAB

二、角平分线、平行线、等腰三角形综合：

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a、b两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行 //OA32CD13DODC 12 等腰三角形DOCb、 如图乙：一直线与角的平分线平行

图甲

DE//OC

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

CODC13 23CD//OA12

b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

OE34OD13AOB2AOB34  13OC//DE1 1AOB2 132434ODOE等腰三角形ODE12B

O 3 D

图乙 1 2 4 E

A

C

3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线

a、如图甲：与一腰平行 OA//DC3212 CODC31b、如图乙：与底边平行 ODOE34      1 21 3 DE//OC 24

角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三。这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。

1、如图1：已知在△ABC中ABC、ACB的平分线交于点I，过点I作DE//BC，分别交AB、AC于点D、E。求证：DE=BD+CE。 A

D I E

3 1 2

B C

2、如图2：已知I是△ABC的角平分线的交点，DI//AB交BC于点D，EI//AC交BC于E。求证：△DIE的周长等于BC。 A I 图（2） 1 3 2 B C D E

3、如图3：已知在△ABC中，ABC的平分线与ACB的外角平分线交于点D，DE//BC，交AB于点E，交AC于点F，求证：EF = BE—CF。 A

E F D

1 3 4 B 2 C M

4、如图：BAC90,ABAC1,BD是角平分线DE//BC，交AB于点E。求DE之长。 A E D 3

1 2 B

C

三、角平分线类问题常用思路： 1、 轴对称性：

内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形

基本结构：如图，

2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。

4、 补充性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则有AB:AC=BD:DC

1：如图，在△ABC中，∠A等于60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB

BA求证：DH=EH

D

H

B

2：如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求证：．AD=DC

3 已知：如图5，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证：AC+CD=AB

0ADCEC

四、角平分线定理使用中的几种辅助线作法： 1、已知角平分线，构造三角形

如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。求证：BE

A12FEBDC1(ACAB) 2EAPNB2、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段

如图所示，∠1=∠2，P为BN上的一点，并且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD。

B求证：∠BAP＋∠BCP=180°。 CD

A

1 2

3、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段

FCB如图所示，在△ABC中，PB、PC分别是∠ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2

E

G P

五、与三角形的角平分线有关的结论的探究：

1、在ABC中，∠A，∠B的平分线交于点P，试探究∠BPC与∠A的关系？

2、在ABC中，BP是∠ABC的平分线，CP是ΔABC的外角∠ACE的平分线，试探究：∠BPC与∠A的关系？ 3、在ABC中，BP， CP分别是ΔABC的两个外角的平分线，试探究：∠BPC与∠A的关系？

A

P

B EC

AAP内心CBCEFP

六、角平分线携“截长补短”显精彩：

角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.

D1、 如图1-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.

A求证：CD=AD+BC.

E

C

B 图1-1

2、已知，如图2-1，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180° A

NPB12DC图2-1

3、已知：如图3-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.

4、如图5所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB于E，并且AB>AC。

求证：BE－AC=AE。 B

A12BDC图3-1

DEA图5

FC 练习 A 1、AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，自D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．

E C M B

F D 图1

2、四边形ABCD中，BC＞AB，BD平分∠ABC，且AD=DC， 求证：∠A+∠C=180°．

3.△ABC中，B22.5，C60，AB的垂直平分线交BC于D，交AB于F，BD62，AE⊥BC于E，求EC的长．

4. CE，BF分别是锐角三角形ABC的ACB，ABC的平分线，AFBF于F，AECE于E，试说明：（1）EF∥BC；（2）EF

1(ABACBC)． 2