乌马河区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

乌马河区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

2x10的解集为（ ） 1． 奇函数fx满足f10，且fx在0，上是单调递减，则

fxfxA．1，1 C．，1

B．，11，

D．1，

），则f（2）的值为（ ）

2． 已知幂函数y=f（x）的图象过点（，A．

B．﹣

C．2

2D．﹣2

23． 在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4． 已知函数f（x）=xex﹣mx+m，若f（x）＜0的解集为（a，b），其中b＜0；不等式在（a，b）中有且只有一个整数解，则实数m的取值范围是（ ） A．

B．

C．

D．

5． 集合1,2,3的真子集共有（ ）

A．个 B．个 C．个 D．个 6． 过抛物线y=x2上的点A．30°

的切线的倾斜角（ ）

B．45° C．60° D．135° log2（a－x），x＜1

7． 已知函数f（x）＝x若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）

2，x≥1A．4 C．2 A．13

9． 实数a=0.2

B．26 ，b=log

0.2，c=B．3 D．1

C．52

D．56

8． 在等差数列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，则此数列前13项的和是（ ）

的大小关系正确的是（ ）

A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a

10．“互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调

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查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 11．在等差数列A．12

A．{2} B．{0，2}

中，已知B．24

，则

C．36

（ ）

D．48

12．若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁UP=（ ）

C．{﹣1，2} D．{﹣1，0，2}

二、填空题

13．自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则PQ的最小值为（ ） A．

1321 B．3 C．4 D． 1010【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．

14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an，若对于任意n∈N*，当t∈[﹣1，1]时，不等式x2+tx+1＞Sn恒成立，则实数x的取值范围为 ． 15．不等式

的解集为 ．

316．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】函数fxxx的单调增区间是__________． 17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是 ．

18．已知f（x）=

，则f[f（0）]= ．

三、解答题

19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？

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x2y2

20．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

21．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各 10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．

已知男、女生成绩的平均值相同． （1）求的值；

（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．

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22．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分别是AC、AB上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图

2．

（Ⅰ）求证：平面A1BC⊥平面A1DC；

（Ⅱ）若CD=2，求BD与平面A1BC所成角的正弦值； （Ⅲ）当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．

23．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1，）在椭圆C上． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF2B的面积为的圆的方程．

，求以F2为圆心且与直线l相切

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24．设0＜||≤2，函数f（x）=cos2x﹣||sinx﹣||的最大值为0，最小值为﹣4，且与的夹角为45°，求|+|．

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乌马河区民族中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

2x12x102x1fx0，即整式2x1的值与函数fx的值符号相反，当试题分析：由

fxfx2fxx0时，2x10；当x0时，2x10，结合图象即得，11，．

考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式. 2． 【答案】A

【解析】解：设幂函数y=f（x）=x，把点（，

α

）代入可得=

α

，

∴α=，即f（x）=故f（2）=

=

，

，

故选：A．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：在ABC中，tanAsinBtanBsinA，化简得

22sinAsinBsin2Bsin2A，解得 cosAcosBsinBsinAni2Asni2sinAcosAsinBcosB，即scosAcosBABB，所以2A2B或2A2B，即AB或

2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D．

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin2Asin2B，从而得到AB或AB题的一个难点，属于中档试题． 4． 【答案】C

【解析】解：设g（x）=xex，y=mx﹣m， 由题设原不等式有唯一整数解， 即g（x）=xex在直线y=mx﹣m下方， g′（x）=（x+1）ex，

2是试

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g（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，

故g（x）min=g（﹣1）=﹣，y=mx﹣m恒过定点P（1，0）， 结合函数图象得KPA≤m＜KPB， 即

≤m＜

，

，

故选：C．

【点评】本题考查了求函数的最值问题，考查数形结合思想，是一道中档题．

5． 【答案】C 【解析】

考点：真子集的概念.

6． 【答案】B

2

【解析】解：y=x的导数为y′=2x， 在点

由k=tanα=1， 解得α=45°． 故选：B．

的切线的斜率为k=2×=1，

设所求切线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），

【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线的倾斜角的求法，考查运算能力，属于基础题．

7． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.

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即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.

8． 【答案】B

【解析】解：由等差数列的性质可得：a3+a5=2a4，a7+a13=2a10， 代入已知可得3×2a4+2×3a10=24，即a4+a10=4， 故数列的前13项之和S13==故选B

=

=26

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．

9． 【答案】C

【解析】解：根据指数函数和对数函数的性质，知log 即0＜a＜1，b＜0，c＞1， ∴b＜a＜c． 故选：C．

0.2＜0，0＜0.2

＜1，

，

【点评】本题主要考查函数数值的大小比较，利用指数函数，对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键． 10．【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 11．【答案】B 【解析】，所以

答案：B

12．【答案】A

，故选B

x800,x20，故选B． 50600600800第 8 页，共 16 页

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2

【解析】解：∵x＜2

∴﹣＜x＜

＜x＜

，x∈Z|}={﹣1，0，1}，

2

∴P={x∈Z|x＜2}={x|﹣

又∵全集U={﹣1，0，1，2}， ∴∁UP={2} 故选：A．

二、填空题

13．【答案】D 【

解

析

】

14．【答案】 （﹣∞，

]∪[

，+∞） ．

【解析】解：数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，2an+1=an， ∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列，

=2﹣（）n﹣1，

Sn=

*2

对于任意n∈N，当t∈[﹣1，1]时，不等式x+tx+1＞Sn恒成立， 2

∴x+tx+1≥2，

x2+tx﹣1≥0， 令f（t）=tx+x﹣1，

2

∴解得：x≥

或x≤

，

，

]∪[

，+∞）．

∴实数x的取值范围（﹣∞，

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15．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

16．【答案】(，即

，求得0＜x≤1，

33 ,3323333【解析】fx3x10x3,3 ,所以增区间是3,3

17．【答案】 异面 ．

【解析】解：把展开图还原原正方体如图，

在原正方体中直线AB与CD的位置关系是异面． 故答案为：异面．

18．【答案】 1 ．

【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1， f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1， 故答案为：1．

【点评】本题考查了分段函数的简单应用．

三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）

*

（x∈N）…6

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（2）盈利额为当且仅当

即x=7时，上式取到等号…11

…

答：使用游艇平均7年的盈利额最大．…12

【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．

20．【答案】 【解析】解：

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

x2k2x22

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±，

422

1＋2k

2k

∴y＝±，

2

1＋2k即M（

21＋2k

2

，2k1＋2k

2

），N（－21＋2k

2

，

－2k1＋2k

2

），

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∴|MN|＝ ＝4424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，2≤2＝1， 1＋2k1＋2k当且仅当2k2＝1，即k＝－

2时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 22

即当k＝－时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x.

2221．【答案】（１） a7；（２） P【解析】

试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于86分的学生共五人，写出基本事件共10个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．

3． 10第 12 页，共 16 页

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其

中恰有2名学生是女生的结果是(96,93,87)，(96,91,87)，(96,90,87)共3种情况． 所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率P考点：平均数；古典概型．

【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较时也可以看成是无序的，如(1,2)(2,1)相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用P(A)1P(A)求解较好． 22．【答案】 【解析】

【分析】（Ⅰ）在图1中，△ABC中，由已知可得：AC⊥DE．在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC，即可证明DE⊥平面A1DC，再利用面面垂直的判定定理即可证明． （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设平面A1BC的法向量为

，利用

，BE与平

复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，(x,y)可以看成是有序的，如1,2与2,1不同；有

3．1 10面所成角的正弦值为．

=

（Ⅲ）设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，利用

（0＜x＜6），即可得出．

【解答】（Ⅰ）证明：在图1中，△ABC中，DE∥BC，AC⊥BC，则AC⊥DE， ∴在图2中，DE⊥A1D，DE⊥DC， 又∵A1D∩DC=D，∴DE⊥平面A1DC， ∵DE∥BC，∴BC⊥平面A1DC，

∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面A1DC．

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（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系：A1（0，0，4）B（3，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0）， E（2，0，0）． 则，， 设平面A1BC的法向量为则

，解得

，即

则BE与平面所成角的正弦值为

（Ⅲ）解：设CD=x（0＜x＜6），则A1D=6﹣x，在（2）的坐标系下有：A1（0，0，6﹣x），B（3，x，0）， ∴==（0＜x＜6）， 即当x=3时，A1B长度达到最小值，最小值为

．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为

椭圆C两焦点坐标分别为F1（﹣1，0），F2（1，0）． ∴

2

∴a=2，又c=1，b=4﹣1=3，

，由题意可得：

．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：

，

，不符合题意．

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当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1）， 由

2222

，消去y得（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0

显然△＞0成立，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则又即

又圆F2的半径所以

42

化简，得17k+k﹣18=0，

22

即（k﹣1）（17k+18）=0，解得k=±1

，

， ，

，

所以，，

22

故圆F2的方程为：（x﹣1）+y=2．

【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．

24．【答案】

2

【解析】解：f（x）=cosx﹣||sinx﹣|| =﹣sin2x﹣||sinx+1﹣|| =﹣（sinx+

2）+

+1﹣||=0，

+1﹣||， ＜0，

∵0＜||≤2，∴﹣1≤﹣由二次函数可知当sinx=﹣

时，f（x）取最大值

当sinx=1时，f（x）取最小值﹣||﹣||=﹣4， 联立以上两式可得||=||=2，

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又∵与的夹角为45°， ∴|+|=

=

=

【点评】本题考查数量积与向量的夹角，涉及二次函数的最值和模长公式，属基础题．

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