维普资讯 http://www.cqvip.com 《机床与液压》２００４．Ｎｏ．３ ・５７・ 求解超静定阶梯轴的奇异函数法 陈 连 （淮海工学院机械系，连云港２２２００５） 摘要：介绍了一种求解超静定阶梯轴的新方法。该方法利ｆ１】奇异函数Ｌｊ拉普拉斯变换相结合的方法 阶梯轴弯曲变 本 形的普遍表达式，并利用边界条件确定约束力，对具有任意支承形 、受力状况和阶梯形状的超静定阶梯轴具有普遍性， 可以方便、准确地确定其支座处的约束反力、任一截面的挠度干“转ｆｆｌ等参数，可用于轴的优化设计和计算ｆＪＬ辅助设计方法也适用于一般静定轴和等截面轴、 关键词：超静定；阶梯轴；约束力；弯曲变形；奇异函数 中图分类号：ＴＨＩ１４；ＴＢ３０１ 文献标识码：Ａ 文章编号：Ｉ ＣＸ）Ｉ一３８８１（２００４）３—０５７—３ Ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔｙ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ Ｓｏｌｖｅ Ｓｔａｔｉｃａｌｌｙ Ｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ Ｓｔｅｐｐｅｄ Ｓｈａｆｔ ＣＨＥＮ Ｌｉａｎ （Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｄｅｐｔ．Ｈｕａｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ ２２２００５．Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｗａｓ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｓｔａｔｉｃａｌｌｙ ｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ ｓｔｅｐｐｅｄ ｓｈａｆｔ．Ａ ｇｅｎｅｒａｌ ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ ｆｃ＇，ｖ，ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｄｅ— ，ｌｅｃｔｉｆｏｎｓ ａｎｄ ｓｌｏｐｅｓ ｏｆ ｓｔｅｐｐｅｄ ｓｈａｆｔ ｗ艄ｇｉｖｅｎ ｕｓｉｎｇ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｅｏｍｂｉｎｉｎｇ ｓｉｎｇｕｌａｒｉｔ）ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ Ｌａｐｌａ（ｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｕｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｒｅ— ｓｔｒａｉｎｉｎｇ ｆｏｒｃｅｓ ｗｅｒｅ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｓｈ＇ａｆｔ．１｛、ｕｓｉｎｇ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈ￣ｘｌ，ｓｏｍｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｅＨｎ １１Ｐ １ｅｔｅｒｔｌｌｉｎｅｔ］ｅａｓｉｌ、 ａｎｄ ａｃｃｕｒａｔｅｌｙ，ｓｕｃｈ ａｓ ｒｅｓｔｒａｉｎｉｎｇ ｆｏｒｃｅｓ．ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ ｓｌｏｐｅ ａＩ ａｌｌ＇，ａｓｓｉｇｎｅｄ ｓｅｃｔｉｏｎｓ．Ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｂｅ ＬｌＳｅ（Ｉ ｆＩ１｜’ｓｔａｔ［（，ａＩＩ、ｉｎ（Ｉｅ— ｔｅｒｍｉｎａｔｅ ｓｔｅｐｐｅｄ ｓｈａｆｔ ｗｉｔｈ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｅｃｔｉｏｎ ｓｈａｐｅｓ，ｂｏｕｎｄａｒｙ ａｎｄ ｌｏａｄｌｕｇ‘ ｏｎ￣ｌｉｔｉｏｎｓ，ａｎｄ ｌ，ａｎ ｌ，ｅ ｕｓｅｄ ｉｎ ｏｐｌｉｎｍｍ ｄ ｃ－－ｉｇｎ ａｌｌ￣ｌ Ｃ Ｄ Ｏｒ ．ｔｈｅｓｅ ｋｉｎｄｓ ｏｆ ｓｈａｆｔｓ．Ｉｔ ｉｓ ａｌｓｏ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｔａｔｉｃａｌｋ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｔ、ｓｈａｆｔｓ ａｎｄ Ｉｈｅ ｕｎｉｆｏｒｍ ｓｅｃｔｉｏｎ ｓｈａｆｔｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｓｔａｔｉｃａｌ１ｙ ｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅ；Ｓｔｅｐｐｅｄ ｓｈａｆｔ；Ｒｅｓｔｒａｉｎｉｎｇ ｆｏｌ‘ｔ，ｅ；Ｂｅｎｄｉｎｇ ｄｅｆｌｅｃｔｉｏｎ；Ｓｉｎｇｕｌａｒｉ［）ｌＵ／ｌ（１．『ｌ『ｌ ．０前言 简单易行 轴是各类机器中最重要的零件之～，如金属切削 机床的主轴部件直接参与机械加工的表面成形运动． 对机床的加工质量和生产率有重大影响，因此被称为 机床的心脏部件。由于安装在轴上的传动件、紧固件 和密封件较多，所以机器上的轴一般都具有复杂的阶 梯形状 另一方面，由于增加支座不仅可以减小轴的 弯曲变形和应力，而且还可以提高其抗振性，因此多 支座超静定阶梯轴在机械工程中较为多见。 轴的求解包括确定支座处的约束力和计算弯曲变 形。文献［１］导出了计算弯曲变形的普遍表达式， 使不同阶梯形状和受力状况的各类轴的挠曲线方程和 转角方程有了统一的形式，从而给轴的计算机分析、 优化设计和计算机辅助设计带来极大的方便。但是为 了能够应用弯曲变形的普遍表达式计算轴的变形，作 用在轴上的外力必须是已知的。对静定轴而言，约束 力可由静力平衡方程方便地求得；对超静定阶梯轴， １ 弯曲变形的普遍表达式 利用奇异函数 ， 。ｘ－ａ） ｛‘ 一０“’ｘ －＞ ｒｌ ｌ 。 ０ Ｘ－ａ） ＝｛ 截面抗弯刚度表示为 ；Ｊ 可以将图１所示阶梯轴的弯矩方程、剪力方程及 午｝Ｅｌ ｌ二＿．ｒ — ・—卜Ｅ｜ ＿－ —］Ｅ１ ——＿｛Ｉ 上一 Ｘ —－Ｊ ， Ｎ 图１ 用传统的方法求其约束力则十分烦琐，当考虑支承弹 性和具有支承沉陷（如三支承车床主轴的辅助支承） 等情况时尤其困难。本文研究的求解约束力和计算弯 曲变形的方法，对具有任意阶梯形状、支承形式和受 任意载荷（集中力、集中力偶和均布力）的静定轴 和超静定轴具普遍性，故称为求解阶梯轴的普遍化方 法。本文介绍的方法不仅对各类阶梯轴具有普遍的适 用性，而且易于编制计算机程序。只要按轴的几何尺 寸和受力状况编制数据启动程序，即可快捷、准确地 获得支座反力、任一截面的挠度和转角、最大弯矩及 其作用位置等参数，从而使轴的设计和校核工作变得 ｖｌ（ ）： （ 一ａｊ） Ｍ （ 一 ＋ 寺 口 （（ －‘ ） 一（ —ｄ ） ） Ｑ（ ）＝Ｊ∑ＰＪ（ 一 ＋ —ｃ ）。一（ 一ｄ ） ） ∑ｑ （（…● 丽１＝壶（Ｉ＋ （ －－ ）ｌ１） Ａ ：，ｆ】（ １一 １） ｊ 将（２）式代入描述梁弯曲变形的欧拉一伯努利 维普资讯 http://www.cqvip.com ・５８・ 方程 ㈩＝ （３） 然后用拉普拉斯变换法求解，可以得到阶梯轴挠 曲线方程 （Ｘ）＝，。（０）＋Ｙ（０） ＋ 赢 【（ —ａｊ）。＋ Ａ Ａ，ｊＩＰｊ＋ １ （（ 一６，） ＋ Ａ 。，） 『＋ （４） 瓦１ ｛【（Ｘ－－Ｃｍ） 一（ 一 ） 】＋ Ａ （Ｃｉ 一Ｄ ） 式中：）（０）、Ｙ‘（０）分别为 ＝０截面的挠度和转 角，其它符号意义为 （ｘ－ａｊ）￣＝＋３ ：一。 一 ．。≥ 耋 ｉ ｘ－ｂｔ）２ ．ｆ（ —ｃ ） ｃ （５） Ｃ ＝ｊ（ — ） ＋６（ 一ｃ ） （ — ；） ＋ 【４（ 一ｃ ）（ — ） ｃ ＜ ｆ（ ～ ） ｄ Ｄ ：ｊ（ —Ｘｉ） ＋６（ 一ｄ ） （ — 。） ＋ 【４（ 一。ｄ ）（ — 。） ｄ ＜ 对（４）式求一阶导数，可得转角方程 （ ）＝ｙ （ ）＝ｙ （０）＋ １磊Ｋ （３（ 一 ） Ａ Ａｏ）ＰＪ＋ （２（Ｘ－－６ ＋ ，）＋Ｍｔ＋ １× ∑．【４（（ ＿－ ） 一（ —ｄ ） ）＋互Ａ。（Ｃ 一Ｄ 。 ）】ｑ （６） （４）式和（６）式对具有任意阶梯形状、承受任 意外力（集中力、集中力偶和均布力）的阶梯轴均 适用，故称为阶梯轴弯曲变形的普遍表达式 。 ２支承反力的确定 图２ 为了能够利用（４）、（６）两式计算弯曲变形， 《机床与液压＞２００４．Ｎｏ．３ 作用在梁上的外力（包括载荷和约束反力）必须是 已知的。对静定轴而言，支承反力可用静力平衡方程 求解；而对超静定轴，则必须由支承处的变形协调条 件解出。 为使方法具有普遍性，图２给出了最一般情况的 超静定轴（具有阶梯形和径向及角度弹性支承）。为 简单起见，图中只画出了约束反力、各符号意义为： Ｋ。——主动力个数；Ｋ ——支承反力个数；Ｋ——集 中力总数，Ｋ＝Ｋ。＋ ；Ｌ。——主动力偶个数； ——约束力偶个数；￡——集中力偶总数，Ｌ＝Ｌ．＋ Ｌ，；ＬＩ——轴的总长。 令： ｌ ． 、 ｚ（ ）＝一｛ ６ Ｊ ｌ （（ —ａｊ） ＋ Ａ ｉ ＝ｌ ‘ Ａ） ＋ １ ＾。 、 寺 （（ —ｂ１） 。 Ａ～Ｂ）肘ｆ＋ 【（（ ～ ） 一（ ～ ） ）＋ Ａ。（ｃ Ｄ ）】ｇ ： 。（７） 可以将（４）式和（６）式改写成如下形式 Ｅｌｏ） （ ）＝Ｅｌ， Ｙ（０）＋Ｅｌ，０， （０） ＋ Ｉ： 。（（ｘ－ ） ＋未Ａ。‘４ ） ＋ ’Ｉ ￡ ： （（ 一６，） ＋善Ａ ）肘，一ｚ（ ） （８） ＥｌｏＯ（ ）＝Ｅｌｏｙ （０）＋ １∑＋Ｋ：。（３（ — ）！＋熹Ａ Ａ；）Ｐｊ＋ 寺，ｌ ￡（２（ —ｂ１）’ Ａ。 ）肘，一：（ ） ： 。（９） 令： ｚＭ（ｘ）＝一『＝一Ｉ∑Ｐｌ （７ ｌ （ — 一 ）ａＪ．’ ）。＋＋∑毫肘，ｆ＝ｌ 肘ｆ。 （ — 一，ｂ，ｏ。 ＋ 、 （（Ｘ－－Ｃｍ （ｘ－ ）］ （１０） （ ）＝～ Ｋ （ ）。＋ ｇ （（ｌ” ～ ） 一 一（ —ｄ）’）１ ．可以将（２）式改写为如下形式： 肘（ ）＝ ：弄＋。（ 一 ）’ ＋ ： 。（ —ｂ１）。Ｍ，一ｚＭ（ ）１ ＾ ， Ｑ（ ）＝（ — ）。 一ｚＱ（ ） Ｊ ，： ＋，（１１） 支承处的变形协调条件可以表示为 Ｙ（０＾－ｌ＋ ）＝Ｕ，＋ｐ ＋，／Ｖ １ ０（０肌，）＝５，＋Ｍ ，／Ｇ Ｉ （１２） （ｒ＝ｌ，３，…， ） Ｊ 维普资讯 http://www.cqvip.com 《机床与液压》２００４．Ｎｏ．３ 其中 、Ｇ，和 、ｓ，表示各支承的径向静刚度、扭 转静刚度和相应的沉降量。无沉降时Ｕ，＝０，Ｓ，＝０ 这时可能存在以下两种情况：（１） ，一∞，Ｇ，一０， 相当于固定或可动铰链支座； 一∞，Ｇ，一∞，相当 于固定端。 轴右端截面的边界条件为： Ｍ（￡，）＝０１ ｐ（Ｌ，）＝０ Ｊ 将（１２）、 （１３）两式代入（８）和 （１０）式， 经整理可得： Ｅｌｂｙ ０ ＋Ｅｌ０Ｙ ０ ｎｋ ＋ ’１ 一 ～ 『 ．（（。¨，一 ） Ａｔ。 ） ＋Ｉ ÷＿ｆ１，： （圭 （（ ＋。¨，，一 一 Ａ６ ＋ Ａ ）ｉＢｉｌ） ，一ｆ一Ｊ 砜（ ，＋Ｐ ＋／ ）： （。 ＋，） ｆ ｙ （０）＋ １： ．（３（ ＋，一ａｊ）：＋主Ａ，Ａ ） ＋｛ ＿ｆ＿ｆ１：： ．毫．（２（ ａ¨，一６ ＋。．．毫 Ａ ，－曰．，） ，一｝一』 ‘ ＋ｒ）Ｉ ： ．（ＬＪ— ） ＋ ； ．（ＬＪ一６ ）。Ｍ ＝ｚＭ（Ｌ，）Ｉ ，： ．（ＬＪ— ）。 ＝ｚＱ（ＬＪ） Ｉ ：１，２，…，Ｋ２ ｊ ｆ】４） 或写成矩阵形式： ＡＸ＝Ｂ （１５） 式中： ＝［Ｅ，０Ｙ（０），Ｅ，０Ｙ（０），…Ｐ ．，Ｐ ，…， Ｐ ，Ｍ Ｉ， ２，…， ］ Ｂ＝［ｚ（ｄ＾１＋１），ｚ（ｏ Ｉ＋２）， …ｚ（ｎ ），ｚ （ｏ Ｉ＋Ｉ）， （０ ＋ ），…， （ａ ）， （ 』），ｚＱ（Ｌ，） ］ 为（２Ｋ２＋２）阶列矩阵，Ａ为（２Ｋ２＋２）阶方阵， 其元素可根据（１４）式写出。求解线性代数方程组 （１４）或（１５）式，可以求得 个约束力Ｐ ，和 ！ 个约束力偶Ｍ ，（ｒ＝１，２，…， ）以及两个初参 数）’（０）和Ｙ（０）。 ３程序和算例 式（４）、式（６）和式（１４）是弯曲变形和支承 反力的解析计算式，因此计算精度高，计算工作量 小，而且形式规范、统一，便于编制计算机程序。如 果只需要计算约束反力（设计或选用轴承），则只需 对（１３）式进行求解；如果需要确定某一截面的弯 ・５９・ 曲变形（刚度校核），则还要将以 计算结果代人 （４）、（６）两式进行。作者按以上原理编写了通用计 算机程序ＳＢＥ，对任意支承形式、截面形状和受力状 况的阶梯轴，只要按已知条件编制数据，即可迅速获 解、如果不考虑支承弹性，只要在编制数据时将 ． 取足够大、Ｇ 取足够小即可在轴的优化设计中， 由于每一步迭代均要计算一次刚度函数值，将ＳＢＥ 作为子程序嵌入到优化程序中，可充分发挥其计算简 单、计算工作量小、计算精度高的优点 ３６ ２１￣Ｎ／ｍ ２ｍ ：． ， 。 ． 。 ］４Ｏｌ１２ ｝◆ ｒ◆ ◆◆◆◆ ｊ ３ 为便于比较，引用文献［２］中的一个例子（图３） 利用程序ＳＢＥ可以求得约束反力分别为Ｒ．＝ ２５．６５４５４ｋＮ，Ｒ，＝２２．４６４０７ｋＮ，Ｒ ＝ｌ５．７５ｌ３３ｋＮ． Ｒ ＝２８．１３００７ｋＮ；最大弯矩发生在Ｙ＝４ｍ处．其数 值为Ｍ…＝３９．３０９０７ｋＮ・ｍ，文献：ｌ一中用三弯矩 疗程求得Ｒ．＝２５．７ｋＮ，Ｒ，＝２２．４ｋ．Ｘ．Ｒ、＝ｌ５．８ｋＮ． Ｒ ＝２８．１ｋＮ，最大弯矩Ｍ ．、＝３９．４ｋＮ－ｉ１１． 用ＳＢＥ还可求出左端挠度和转角分圳为、（０） ＝０．１６９２５６ｍｍ．０（０）＝一８．３５４１５３×１０～ｒａｄ． 任意截面如 ＝３０００ｒａｍ处的挠度值为、（３０００）＝ 一０．０８５２６５ｍｍ，ｙ（０）为轴全长ｔ的最大挠度 ５结论 本文利用奇异函数导出了计算阶梯轴弯曲变形和 约束反力的新方法，对具有任意阶梯形状、支承形式 和受力状况的阶梯轴具有普遍的适用性，而对受力和 支承情况都很复杂的超静定阶梯轴以及轴的优化设计 和计算机辅助设计尤为适宜，对提高轴的设计质量有 工程价值。 参考文献 【１】陈连，王元文．阶梯轴弯曲变形的普遍表达式．机 械强度．２０００（２）：１５３～１５５． 【２】ｗ．Ａ．纳什著，杨春生译．材料力学的理沦硬 题． 北京：国防工业出版社，１９８５． 【３】刘鸿文．材料力学．北京：人民教育出版社，１９７９． 【４】陈连．计算方法与优化技术一方法、程序与 【程直 用．北京：兵器工业出版社．２０ｔ）２． 作者简介：陈 连，男，汉族，１９５４年１２月生，ｌ 学硕上，副教授，淮海工学院机械工程系副主任，主要从 事过程装备与控制工程、机械动力学，现代设计方法等方 面的教学和研究工作，发表论文２０余篇 收稿时间：２００３—０３—０４
