反证法是一种间接证明的方法,它是通过证明原命题的否定的真实性来确立原论题的真实性的证明方法,在应用反证法证明问题的过程中以找它的逆否命题然后推出矛盾为根本.本节内容就开始学习反证法.
高手支招1细品教材 1.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法.
反证法就是一种常用的间接证明方法. 2.反证法
(1概念:假定命题结论的反面成立.在这个前提下,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而断定命题结论的反面不可能成立,由此断定命题的结论成立.这样的证明方法叫做反证法(有时也叫归谬法.
(2形式:由证明p⇒q转向证明:⌝q⇒r⇒…⇒t,t与假设或与某个真命题矛盾,⌝q为假,推出q为真.
状元笔记
反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”,即从否定结论开始,经过正确的推理,导致逻辑矛盾,从而达到新的否定(即肯定原命题的过程.用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用框图表示为:
3.反证法的证题步骤 包括以下三个步骤:
(1作出否定结论的假设(反设——假设命题的结论不成立,即假定原命题的反面为真;
(2逐步推理,导出矛盾(归谬——从假设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
(3否定假设,肯定结论(存真——由矛盾结果,断定假设不真,从而肯定原结论成立.
【示例】p>0,q>0,p3+q3=2.试用反证法证明:p+q≤2.
思路分析:此题直接由条件推证p+q≤2是较困难的,由此用反证法证之. 证明:假设p+q>2,∵p>0,q>0, ∴(p+q3=p3+3p2q+3pq2+q3>8.
又∵p3+q3=2,代入上式得:3pq(p+q>6,即pq(p+q>2.① 又由p3+q3=2,得(p+q(p2-pq+q2=2.② 由①②得
pq(p+q>(p+q(p2-pq+q2,
∵p+q>0.∴pq>p2-pq+q2⇒p2-2pq+q2<0⇒(p-q2<0. 但这与(p-q2≥0相矛盾.∴假设p+q>2不成立.故p+q≤2. 状元笔记
归谬矛盾的几种情况:(1与已知条件矛盾;(2与已有公理、定理、定义矛盾;(3自相矛盾;(4与客观事实矛盾.
4.反证法的适用情况 (1结论以否定形式出现;
(2结论以“至多……”“至少……”形式出现; (3唯一性、存在性问题;
(4结论的反面是比原结论更具体,更容易研究的命题. 高手支招2基础整理
本节的内容主要讲述了反证法的概念、形式及其证明步骤.反证法作为间接证明的一种重要形式,为证明题的解决开辟了一条重要途径,提供了便利.本节的知识结构如下:
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