中考数学复习专题 二次函数的应用(含答案

考点一、二次函数的定义

1.y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5 x²，y=3 x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。

22.当m_______时,函数y=(m+1)mmχ - 2χ+1 是二次

函数？

考点二、二次函数的图像及性质 1.已知二次函数

（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。

（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，A，B的坐标。

（3）x为何值时，y随的增大而减少，x为何值时，y有最大（小）值，这个最大（小）值是多少？

（4）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？ 2.已知二次函数的图像如图所示，下列结论。⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a

其中正确的结论的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

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3．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是„„„„（ ）

（1）abc＜0； （2）a＋b＋c＜0； （3）a＋c＞b； （4）a＜－．

b2

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

【提示】由图象知a＜0，－

b＞0，故b＞0，而c＞0，则abc2a＜0．当x＝1时，y＞0，即a＋c－b＞0；当x＝－1时，y＜0，即a＋c－b＜0． 【答案】B．

【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a＜0，把（4）a＜－两边同除以a，得1＞－

b2bb，即－＜1，2a2a所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x＝1的左侧，判断出－

bb＜1，两边同时乘a，得a＜－，知（4）是正确的． 2a24.直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是„„（ ）

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（A） （B） （C） （D）

【提示】两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A），（B）．再从a 的大小去判断． 【答案】D．

【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a＞0，此时直线必过第一、三象限．

考点三、二次函数与一元二次方程的关系

1．已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为22，则m＝___________． 【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式有

＝(2m4)24(m210)＝16m56＝22，

来求．本题|a|故m＝－3． 【答案】－3．

【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为

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，它有着广泛|a|的应用．

2.一元二次方程3 x²+ x-10=0的两个根是x1=-2,x2=53,那么二次函数y=3 x²+ x-10与x轴的交点坐标是

3.若一元二次方程x2－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经

过„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

【提示】由＝4＋4 m＜0，得m＋1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限． 【答案】A．

【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限． 4．已知函数y＝x2－1840 x＋1997与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841 m＋1997）（n2－1841 n＋1997）的值是„„„„„„„„„（ ）

（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897 【提示】抛物线与x 轴交于（m，0）（n，0），则m，n 是一元二次方程x2－1840 x＋1997＝0的两个根．所以m2－1840 m＋1997＝0，n2－1840 n＋1997＝0，mn＝1997．

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原式＝［（m2－1840 m＋1997）－m］［（n2－1840 n＋1997）－n］＝mn＝1997． 【答案】A．

【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形． 考点四、抛物线的平移

1.二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象；

二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2(x-3)2的图象。

2.二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的图象。 引申：y=2(x+3)2-4 y=2(x+1)2+2 3.由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象. y=x2-5x+6 展开成一般式即可.

4.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析

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式. 分析:

(1)由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过(1,0) (2) 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线

5.（2008，山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）

A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位

C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

考点五、待定系数法求抛物线的解析式 1.根据下列条件，求二次函数的解析式。

(1)、图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点； (2)、图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；

(3)、图象经过(0，0)， (12，0) ，且最高点的纵坐标是3 。 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2

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又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）

∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x

考点六、二次函数的综合应用

1．一座拱桥的截面轮廓为抛物线型(如图11-1),拱高6米,跨度20米,相邻两支柱间的距离均为5米.

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图11-2所示)，其表达式是yax2c的形式. 请根据所给的数据求出a,c的值. （2）求支柱MN的长度.

（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间DE是一条宽2米的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2米、高3米的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

5米 M N 20米 6米

10米 图11-1 y C D E O - 7 -

A B x

2.如图10，已知点A(0,8)，在抛物线y1x2上，以A为顶点的四边

2形ABCD是平行四边形，且项点B，C，D在抛物线上，AD∥x轴，点D在第一象限.(1)求BC的长；(2)若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，△DAP的面积是7.

(3)连结AC，E为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将

 ABCD分成面积相等的两部分？并求此时E点的

坐标及直线OE的函数关系式. B C O 图10

x y A D

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二次函数的应用 【例题经典】

用二次函数解决最值问题

例1 （2006年旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．

【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．

例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）•与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

x（元） 15 20 30 „ y（件） 25 20 10 „ 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则5kb25,102kb2 解

得k=-1，b=40，•即一次函数表达式为y=-x+40．

（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225

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元．

【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）•问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．

【考点精练】

1．二次函数y=x2+x-1，当x=______时，y有最_____值，这个值是________．

2．在距离地面2m高的某处把一物体以初速度V0（m/s）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s（m）与抛出时间t（s）满足：S=V0t-gt2（其中g是常数，通常取10m/s2），若V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面________m． 3．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．•有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式S=这一公式为S=

12

V确定；雨天行驶时，10012

V．如果车行驶的速度是60km/h，•那么在雨501212天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米． 4．（2006年南京市）如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10．在EF上取一点M，•分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN～矩形ABCD．令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？

5．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品

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批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据： 销售价x（元/千克） „ 25 24 23 22 „ 销售量y（千克） „ 2000 2500 3000 3500 „ （1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；

（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？

6．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．

（1）试求出y与x的函数关系式；

（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（•直接写出答案）．

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7．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．

（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； （2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．

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8．（2006年泉州市）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD•为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD．

（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积；

（2）已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米． ①求隧道截面的面积S（米）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）；

②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）

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答案:

例题经典

例1：解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）

NPBCBF（作辅助线构造相似三CNAF11y31角形），即=，∴y=-x+5，S=xy=-x2+5x（2≤x≤4），

224x2易知CN=4-x，EM=4-y．且有

此二次函数的图象开口向下,对称轴为x=5，

∴当x≤5时，•函数的值是随x的增大而增大，

对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值S最大=-×42+5×4=12． 考点精练

1．-1，小，- 2．7 3．36 4．解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD，∴

MNMF， ADAB5225， 21232∵AB=2AD，MN=x，∴MF=2x，∴EM=EF-MF=10-2x， ∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2（x-）2+∴当x=时，S有最大值为

5225． 25．解：（1）正确描点、连线．由图象可知，y是x的一次函数，设y=kx+b，•

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∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，

200025kb,∴250024kbk500解得: ，

b14500∴y=-500x+14500．

（2）P=（x-13）·y=（x-•13）·（-500x+14500）

=-500x2+21000x-188500=-500（x-21）2+32000， ∴P与x的函数关系式为P=-500x2+21000x-188500， 当销售价为21元/千克时，能获得最大利润． 6．解：（1）设y=kx+b由图象可知，30kb400,40kb200k20解之得:，

b1000∴y=-20x+1000（30≤x≤50）

（2）P=（x-20）y=（x-20）（-20x+1000）

=-20x2+1400x-20000．

∵a=-20<0，∴P有最大值．

当x=-1400=•35时，P最大值=4500．

2(20)即当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润

4500元．

（3）31≤x•≤34或36≤x≤39． 7．解：（1）M（12，0），P（6，6）．

（2）设这条抛物线的函数解析式为：y=a（x-6）2+6， ∵抛物线过O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=，

2∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）+6，即y=-x2+2x．

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161616（3）设点A的坐标为（m，-m2+2m），

∴OB=m，AB=DC=-m2+2m，根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，

∴BC=12-2m，即AD=12-2m，

∴L=AB+AD+DC=-（m-3）2+15．

∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．

8．（1）当AD=4米时，S半圆=×（

12AD21）=×22=2（米2）． 2212111m+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-66331616

（2）①∵AD=2r，AD+CD=8，∴CD=8-AD=8-2r，

∴S=r2+AD·CD=r2+2r（8-2r）=（-4）r2+16r，

②由①知CD=8-2r，又∵2米≤CD≤3米，∴2≤8-2r≤3，

∴2．5≤r≤3，

由①知S=（-4）r2+16r=（×3.14-4）r2+16r

=-2.43r2+16r=-2.43（r-∵函数图象对称轴r=

864）2+， 2.432.431212121212∵-2.43<0，∴函数图象为开口向下的抛物线，

8≈3.3．又2.5≤r≤3<3.3， 2.43由函数图象知，在对称轴左侧S随r的增大而增大， 故当r=3时，S有最大值，

S最大值=（-4）×32+16×3≈（×3.14-4）×9+48=26.13

≈26.1（米2）．

答：隧道截面面积S的最大值约为26.1米2．

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1212

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