试题类型：新课标Ⅲ
2016 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第 I 卷（选择题 ）和第 II 卷（非选择题 ）两部分，共 24 题，共 150 分，共 4页。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 注意事项：
1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清 楚。
3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答 题无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第I卷
一. 选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1） 设集合 S
x|(x 2)(x 3)
0 ,
,2 U 3,
T x|x 0
C. 3,
，则 T= SI
D. 0, 2 U 3,
A. 2, 3 B.
【答案】 D 【解析】易S ,2U 3, ， 得 考点】解一元二次不等式、交集 (2)若 z 1 2i，则 4i
zz 1
A. 1 B. 1 C. i D. i
SI T 0, 2 U 3,
，选 D
【答案】 C
【解析】易知 z 2i ，故 zz 1 1 4 ，
考点】共轭复数、复数运算
i ，选 4i
C zz 1
uuur 1 3 uuur 3 1
(3) 已知向量 BA 2, 2 ，BC=( 23 ，2)，则 ABC
A. 30 °B. 45 °C. 60 °D.120 答案】 A 解析】法
uuur
cos ABC uuur
uuur uuuBA BC BC BA
23 3
1 1 2 ，
，
o
ABC 30
ABC 30
o
法二：可以 B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，ABx 60o, CBx 30o, 易知
考点】向量夹角的坐标运算
(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图
.图 中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 oC ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 oC .下面叙述不正确的是
A. 各月的平均最低气温都在 0 oC以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于 20 oC的月份有 5 个 【答案】 D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于 20oC 的月份有七月、八
月，六月为 20 oC左右，故最多 3个 【考点】统计图的识别
3
2
4
(5)
若 tan ，则 cos 2sin 2
2
64 48 16 A. B. C. 1 D. 25 25 25
答
A 案】 2 解cos
4sin cos 1 4tan 2 cos 2sin 2 25
2 2 2 cos sin 1 tan 析】
考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式
64
4
3
2
3
1
(6) 已知 a 2, 3 , 253， 则 b c
A. b a c B. a bc C. b c a D. c a b
【答案】 A
4
2
3
2
3
12
【解析】
3
a 2
4, b 3, c 253 53 ，故 c a b
【考点】指数运算、幂函数性质
(7) 执行右面的程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 答案】 B 解析】列表如下
a 4 6 2 6 -2 4 2 6 -2 4 b s n 4 6 6 10 4 16 6 20 4 0 0 1 2 3 考点】程序框
π1 图
(8)在△ABC中， B 4 ， BC边上的高等于 3 BC ,则A.3 10 B. 10 C. 10 D.
10 10
答案】 C
10
3 10
10
cosA
43
解析】 如图所示， 可设 BD AD 1，则 AB 2 ，DC AC
5 ，由余弦定理知，cosA
2 5 9 10 2 2 5 10
【考点】解三角形
(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视
图，则该多面体的表面积为
A. 18 36 5 B. 54 18 5 C. 90 D. 81 【答案】 B
【解析】 由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为
2 3 3 2 3 6 2 3 9 36 54 18 5
【考点】三视图、多面体的表面积 (10)在封闭的直三棱柱 ABC－A1B1C1内有一个体积为 V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V的最 大值是
4π B. 92π C. 6π D. 332π
23
答案】
解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最 大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面， 如图所示， 则由切线长定理可知，内接圆的半径为 2，
10
又 AA1 3 2 2 ，所以内接球的半径为考点】内接球半径的求法
即 V 的最大
值为
(11) 已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 . P为 C上一点，且 PF⊥x轴.过点 A的直线 l 与线段 PF交于点 M，与 y轴交于点 E. 若直线 BM 经过 OE的
中点，C 的离心率为 则 1 1 2 3 A. BCD.
3 2 3 4 【答
A
案】
【解析】易ON OB a MF 得 MF BF a c OE
1 aa ca c 2 a ca a c
P
E
M
N O
MF AF a c
2ON AO a
考点】椭圆的性质、相似 (12)定义“规范 01数列”a{n}如下： {an}共有 2m项，其中 m项为 0，m项为 1，且对任意 k≤2m，a1，a2，⋯， ak中 0 的个数不少于 1的个数，若 m=4，则不同的 “规范 01数列”共有( )
A．18 个B．16个C．14个D．12 个 答案】 C 解析】
0 1111 0 111
0
1 1 0 11
1 01
0 0 111
0 1 0 11 1 1 01 0 0 11
1 0 1 01
0 111
10
0 1 0 11
1 01 0 11 1 0
1 01
【考点】数列、树状图
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分 .第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第(22)题~第 (24)题
为选考题，考生根据要求作答 .
二、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分
x 10
(13)设 x，y 满足约束条2y 0 ，则 z x y 的最大值为 ______ . 件 x
x 2y 20 3
【答案】
2 【解析】三条直线的交点
分别为
考点】线性规划
3
y
2, 1 , 1, 2 , 0, 1 ，代入目标函数可得
1
3, 2, 1，故最小值为
33
(14)函数 y sinx 3cosx 的图像可由函数 y sinx 3cosx 的图像至少向右平移 ___ 个单位长度得到 . 【答案】2 3
3
【解析】 Q y sinx 3cosx 2sin x , y sinx 3cosx 2sin x 3 ，故可前者的图像可由后者向 33
2
右平移 3 个单位长度得到
3
22
【考点】三角恒等变换、图像平移
(15)已知 f(x)为偶函数， 当 x 0时， f (x) ln x 3x ，则曲线 y f x 在点 1, 3 处的切线方程是 ____________________________________________________________________________________
答案】 2x y 1 0
解析】f'1 2 ，故切线方程为 2x y 1 0 法
f ' x 1 3,
法二：当 x 0 时， f x ln x 3x ， f' 1 2，故切线方程为 2x y 1 0 x x
考点】奇偶性、导数、切线方程
2 2
(16)已知直线 l ：mx y 3m 3 0 与圆 x 2
y 12交于A,B两点，过A,B分别作l的垂线与 x轴交于
f '(x) 3 3 ， xx
11
两点，若 AB 2 3 ，则 |CD |
答案】 3
解析】如图所示，作 AE BD于E，作OF AB于F Q AB 2 3, OA 2 3, OF 3 ，即
∴直线 l 的倾斜30 角为 °
23 3 CD AE 2 3 2
考点】直线和圆、弦长 公式
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤 (17)( 本小题满分
12 分)
已知数an 的前 n 项和 Sn=1+λan，其中 列 λ≠0．
(1) 证明
an 是等比数并求其通项公式；
列，31
若 S，求
5 (2) 32 λ．
【答 案】 (1) ；(2)
【解
析】 解： Q Sn 1 an, 0
(1)
an 0
当 n 2 时， n
S
n
S
n 1
n a 1 a1 an 1 an
即
1 an an 1 ，
C,D
x
，
Q 0, an 0,
1 0, 即 1
, n 2，
an
a
1
n 1
a
是等比数公
列， 比
n=时， S1 1 a1 a1， 1
n
a
1
n1
a
n
2)
S
5
31 32
5
则 S5
1
31
1
1 32
考点】等比数列的证明、由
Sn 求通项、等比数列的性质
(18) ( 本小题满分 12 分)
图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨 )的折线图 .
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y与 t的关系，请用相关系数加以说明；
(2)建立 y 关于 t的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 附注：
i1
i1
i1
Q 0, an 0, 1 0, 即 1
参考数据： 7 7 7
yi 9.32 i1 tii1 i 40.17 (yii1
2
0.55 7 ≈2.646.
， y， y)，
n
(ti t )(yi y)
i1
参考公式： r ， nn
(ti t )2 (yi y)2
i 1 i 1
回归方程 t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： n
(ti t )(yi y)
i1
n
y b$t
2
t )(t2 i
i1
答案】 (1)见解析； (2) y 0.92 0.10t ， 1.82 亿吨
解析】
7
(1) 由题意得
12345 t
7
67
y
4， i
i1
1.331
7
7
(tt )(yi i y)
ti yi nty
i1
i1
40.17 7 4 1.33 0.99
r
7 7
7
(ti
7
(t22i t)2
(yi y)2
i1
t ) (yi y)
28 0.55
i1
因为 y 与 t 的相关系数近似为0.99 ，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合与 t 的关系
n
i 1
(t
i
t)( y
i
y)
2.89 (2) b
$ i1
n(t t)2
22.889
0.103
(t2 28i t )
i1
a$
y b$
t 1.33 0.103 4 0.92
所以 y关于 t 的线性回归方程为 y a$
b$
t 0.92 0.10t
$
将 t 9 代入回归方程可得， y 1.82
预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82 亿吨 考点】相关性分析、线性回归 (19) ( 本小题满分 12 分)
如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA⊥底面 ABCD， PA=BC=4，M为线段 AD上一点， AM=2MD，N为PC的中点 .
(1) 证明 MN ∥平面 PAB；
AD∥BC，
(2)求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值 .
答案】 (1) 见解析； (2) 8 5
25 2
解析】 (1) 由已知得 AM 3AD 2，取 BP的中点 T，连接 AT,TN ， 1
由N为 PC中点知 TN / /BC ， TN ........... BC 2. 3分
2
又 AD / / BC ，故TN平行且等于 AM ，四边形 AMNT为平行四边形， 于是 MN / /AT .
6分
因为AT 平面PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN//平面 ABCD ，故可以 A为坐标原点， 以面 PAB.
(2) 取BC中点E ，连接AE ，则易知 AE AD ，又Q PA
x 轴，以 AD 为 y
AP 为 z 轴建立空间直角坐
轴，以 标系，
5
2
,1,2 则A 0, 0,
P 0, 4 、C 5, 2, 0 、 、M 0, 2, 0
0 、 0, N
uu5,1,
uuuur uuur 5 ur 2
2 , PM 0, 2, 4 , PN N
2
,1,
AN
故平PMN 的法向量
0, 2, 面cos uuur r n 5 5
4 AN, n 1 2
85 25
直线 AN 与平面
PMN 所成角的正弦值为 8 5
25
考点】线面平行证明、线面角的计算 (20) ( 本小题满分 12 分)
已知抛物线 C： y2
=2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C的准线 于 P，Q 两点 .
(1)若 F在线段 AB上，R是 PQ的中点，证明 AR∥FQ； (2)若△PQF的面积是 △ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程 【答案】 (1) 见解析； (2) y2 x 1 【解析】
(1)法一：
1
由题设 F(2,0).设l1:y a,l2:y b，则 ab 0，且 22
22a b 1 1 1 a b
AE为
A(2 ,a),B( ,b),P( 2,a),Q( 2,b),R( ,).
a
b2
11
12ab2
记过 A,B两点的直线为 l，则 l的方程为 2x (a b)y ab 0. 由于 F 在线AB故1 ab 0. 段记
AR 的斜率上， FQ 的斜率为 为
k1， k2 ，则 a b a b 1 ab k
1 1 2 2 2 2
b k2 . 1 aa ab a a
所以 AR∥FQ.
.5 法二：
证明：连接 RF， PF ，
由 AP=AF，BQ=BF 及 AP∥ BQ，得∠ AFP +∠BFQ =90°， ∴∠ PFQ =90°， ∵R是 PQ 的中点， ∴RF=RP=RQ， ∴△ PAR≌△ FAR，
∴∠ PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，
∵∠ BQF + ∠ BFQ =180°﹣∠ QBF=∠PAF=2∠PAR， ∴∠ FQB=∠PAR， ∴∠ PRA=∠PQF， ∴AR∥FQ．
(2)设l与 x轴的交点为 D(x1,0)，
则
S
ABF b a FD
b a x
,S
PQF 1
2 . 由题设可得 2b a x1 1
ab22
1 2
2
2
，所以 x1 0(舍去)，AB的中点为 E(x,y) .
当 AB 与 x 轴不垂直时，由 k2 y
AB kDE 可得 (x 1).
a b x 1 a b
2
而 y ，所以 y2
2 x 1(x 1).
当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合 .所以，所求轨迹方程为 y2 x
x1 1. 设满足条件的
考点】抛物线、轨迹方程 3分
.. 12 分(21) ( 本小题满分 12 分)
1.
设函数 f x acos2x a 1 cosx 1 ，其中 a 0 ，记 f x 的
(1) 最大值为求 f ' A. x
； (2) 求 A； (3)证2A.
明：
见解
解析 析】
(1f'x 2asin2x a 1 sinx
)
(21| f (x)| |acos2x (a 1)(cos a 2(a 1) 3a 2 f (0)
) 时， x 1)|
因3a 2
此，
当0 1将． f (x) 变形为 f (x) 2acos2 1)cos x 时2x (a 令 2at， (a 1)t 1，则 A是| g(t) 1,1］1 上的最大
． g(t) |在［ 值， 1a4a
时，
g( 1a ， 3a 2 ，且 ) g(1)
当 4a g(t) 取得极小值， 1a 极小值为g( )
(a 1)2 a2
6a
4a
8a
8a
令1 1a4a
1， 解得 舍去)，
4a a
a
①a 1
时， g(t)在1,1)内无极值| g( 1)| |g(12 3a ，|g( 1)| | g(1)
当
5 ( 点， a ， )| | ，所以 3a
．
②a 1
由
1g(1) 2(1
0 ，知 g(1
g(1a4a
4a
)． 当
时， g( ) a) g( 1)
)
1 (a)(1 7a) 6a 1 a
0，
1 a a2
又|g(4a)| | g( 1)| 所以
1
1 8a
A
|g(14a
)8a
|
2 3a,0
2
a 6a 1
综上， A
1 8a 5 1． 3a
2,a
1
(3) 由(1)得|f
2asin2(a 1)sin x| 2a a (x)|
1'
x
| 1| . 当 0 a 时，'
2 4a 2(2 3a) 2A.
5
| f (x)| 1
a
1 a 1 3 '
'
5 a 1时， A 1，所以 | f (x)| 1 a
''
当a 1时， | f (x)| 3a 1 6a 4 2A，所以 | f (x)|
2A. 考点】导函数讨论单调性、不等式证明
当
请考生在 22、23 、24 题中任选一题作答 2B ,作答时用 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果
多做 ,则按所做的第一题计分。
(22) ( 本小题满分 10 分)选修 4 1：几何证明选讲
如图，⊙ O 中 AB 的中点为 P，弦 PC ，PD AB于 E，F两点。 分别交
(I)若∠ PFB=2∠PCD ，求∠ PCD 的大小； (II) 若 EC 的垂直平分线与
OG⊥CD。
?
答案】见解析 解析】
(1)连结 PB,BC ，则B FD PBA BPD, PCD 因为 AP BP ，所以 PBA PCB，又 BPD 又 PFD BFD 180, PFB 2 PCD ，所以 3
o
PCB BCD .
BCD ，所以 BFD PCD .
o
PCD 180o ， 因此 PCD 60
由此知 C,D,F,E 四点共圆，其圆心既在 CE的垂
EFD 180 ，
直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过C,D,F,E 四点的圆的圆心，所以 G在CD的垂直 (2)因为 PCD BFD ，所以 PCD 平分线上，因此 OG CD. 考点】几何证明选讲
o
(23) ( 本小题满分 10 分)选修 4 4 ：坐标系与参数方程 x 3cos 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为
y sin
sin
轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 4
( 为参数 ) 。以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极
(1)写出 C1 的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P在C1上，点 Q在C2上，求 PQ 的最小值及此时 P的直角坐标
答案】见解析 解析】
2
(1) C1的普通方程为 x3 y2 1，C2 的直角坐标方程为 x y 4 0. ⋯⋯5分
3
(2)由题意，可设点 P的直角坐标为 ( 3cos ,sin )，因为 C2是直线，所以 | PQ |的最小值， d( ) 即为 P到 C2的距离 d( )的最小值，
| 3cos sin
4|
2 | sin( 3) 2|.
2
且仅当
2
(
)
6
k
k Z时， d( )取得最小值，最小值为 2，此时 P的直角坐标为考点】坐标系与参数方程
(24) (本小题满分 10分)，选修 4 5 ：不等式选讲 已知函数 f x 2x a a.
(1)当 a=2 时，求不等式 f x 6的解集；
(2) 设函数 g x 2x 1 . 当 x R时， x g x 3 ，求 a 的取值范围。 答案】 (1){x| 1 x 3} ；(2) [2, ) 解析】
(1)当 a 2时， f(x) |2x 2| 2. 解不等式 |2x 2| 2 6 ，得 1 x 3.
因此， f(x) 6的解集为 {x| 1 x 3} . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 (2)当 x R时， f(x) g(x) |2x a| a |1 2x| |2x a 1 2x| a |1 a| a ，
1 当
x
2 时等号成立，
所以当 x R时， f(x) g(x) 3 等价于 |1 a| a 3. ① 7分
当 a 1 时，①等价于 a a 3 1 ，无解 .
当 a 1 时，①等价于 a 1 a
3 ，解得 a 2. 所以 a的取值范围是 [2, ) .
10 分
考点】不等式选讲
31 ,当
22).
8分
10分
(
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