2019年北京中考数学习题精选：新定义型问题(含答案)

一、选择题

1、(2018北京昌平区初一第一学期期末) 用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b = ab2 + a.如：1☆3=1×32+1=10. 则（-2）☆3的值为

A．10 B．-15 C. -16 D．-20 答案：D 二、填空题

3、（2018北京西城区七年级第一学期期末附加题）1．用“△”定义新运算：对于任意有理数a，b，当a≤b时，都有aba2b；当a＞b时，都有abab2．那么， 2△6 = ， ()△(3)= ． 答案：24，-6

4．（2018北京海淀区第二学期练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．

阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC组成圆的折弦，ABBC，M是弧ABC的中点，MF23AB于

F，则AFFBBC．

MBFADCCEB如图2，△ABC中，ABC60，AB8，BC6，作DEAB交△ABC的D是AB上一点，BD1，

外接圆于E，连接EA，则EAC=________°．

A图1图2 答案60

5、(2018北京交大附中初一第一学期期末)如图,在平面内，两条直线l1，l2相交于点O，对于平面内任意一点

M，若p、q分别是点M到直线l1，l2的距离，则称(p，q)为点M的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”

是(2，1)的点共有______个．

1

三、解答题

ab6、（2018北京平谷区初一第一学期期末）阅读材料：规定一种新的运算： =adbc．例如：

cd12341×4-2×3=-2.

（1）按照这个规定，请你计算

52642的值．

2x4（2）按照这个规定，当

x215时求x的值． 2答案（1）5264 =20-12=8 ………………………………………………………………………2

（2）由 2x4x22152得

1(2x4)2(x2)5………………………………………………………4 2解得，x= 1……………………………………………………5

7、（2018北京海淀区七年级第一学期期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）.我们规定：

（a，b）★（c，d）=bc－ad.

例如：（1，2）★（3，4）=2×3－1×4=2． 根据上述规定解决下列问题：

（1）有理数对（2，－3）★（3，－2）= ;

（2）若有理数对（－3，2x－1）★（1，x+1）=7，则x= ;

（3）当满足等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数时，求整数k的值． 答案.

解：（1）﹣5……………………..２分

2

（2）1 ……………………..４分

（3）∵等式（－3，2x－1）★（k，x＋k）=5＋2k的x是整数 ∴（2x﹣1）k﹣（﹣3）（x﹢k）=5﹢2k ∴（2k﹢3）x=5 ∴x5

2k3 ∵k是整数 ∴2k+3=±1或±5

∴k=1，﹣1，﹣2，﹣4……………………..７分

8、(2018北京朝阳区七年级第一学期期末)对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a(ab)1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）－1=13；(3)⊙(5)＝3(35)123．

（1）求(2)⊙3的值；

12（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3＝20，写出你定义的运算：m⊕n＝

（用含m，n的式子表示）．

答案 解：（1）(2)⊙3112(23)1 224.

（2）答案不唯一，例如：mnm(n1).

9．（2018北京石景山区初三毕业考试）对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心， AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B 的“确定圆”的示意图． ．．．

（1）已知点A的坐标为(1,0)，点B的坐标为(3,3)， 则点A，B的“确定圆”的面积为_________；

（2）已知点A的坐标为(0,0)，若直线yxb上只存在一个点B， 的“确定圆”的面积为9，求点B的坐标；

3

AB使得点A，B

（3）已知点A在以P(m，0)为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线y3x3上， 3 若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于9，直接写出m的取值范围． 解：（1）25； ………………… 2分 （2）∵直线yxb上只存在一个点B，使得点A,B的“确定圆”的面积 为9，

∴⊙A的半径AB3且直线yxb与⊙A相切于点B，如图， ∴ABCD，DCA45°．

BD3l'CEAB'xyl

①当b0时，则点B在第二象限． 过点B作BEx轴于点E，

∵在RtBEA中，BAE45°，AB3， ∴BEAE322．

（ ∴B3232，）． 22 ②当b0时，则点B'在第四象限．

' 同理可得B（322，322）．

（ 综上所述，点B的坐标为

32323232，）（，）或． 2222 ………………… 6分

4

（3）m≤5或m≥11．

10．（2018北京延庆区初三统一练习）平面直角坐标系xOy中，点A(x1，y1)与B(x2，y2)，如果满足x1x20，

y1y20，其中x1x2，则称点A与点B互为反等点．

已知：点C(3，4)

y（1）下列各点中， 与点C互为 反等点；

D(3，4)，E（3，4），F（3，4）

-6-5-4-3-2-1O6543211-1-223456x（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若

存在两点P，Q互为反等点，求点P的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中

个交点互为反等点， 求r的取值范围．

在线段CG上横坐标xp的

-3-4-5-6线段CG的两

解：(1)F ……1分 (2) -3≤xp≤3 且xp≠0 ……4分

(3)4 < r≤5 ……7分

11. （2018北京市朝阳区综合练习（一））对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为 线段AB的伴随点． （1）当t=3时，

①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ； ②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N， 且MN5，求b的取值范围；

（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针

旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．

5

解：（1）①线段AB的伴随点是: P2,P3. ………………………………………………2分 ②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值.

…………………………………………………………4分 如图2，当直线y=2x+b经过点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值. ………………………………………………………5分 ∴ b的取值范围是3≤b≤5. ………………………………………6分

（2）t的取值范围是图1

图2

1t2.……………………………………8分 212．（2018北京丰台区一模）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形W1，W2给出如下定义：点P为图

形W1上一点，点Q为图形W2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形W1，W2的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)． （1）连接BC，在点D(

____________；

（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中

立点”，求点K的坐标； （3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得y轴上

的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．

y 65x1x2y1y2,． 2211，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是226 4321321O123456x7654

解：（1）点A和线段BC的“中立点”的是点D，点F； ………2分

（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、

半径为1的圆上运动. 因为点K在直线y=- x+1上， 设点K的坐标为（x，- x+1），

则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.

所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分

（3）（说明：点N与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、

半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.） 所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分

13．（2018北京海淀区第二学期练习）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和存在一点T不与O重合，使点P关于直线OT的对称点P'在反射点P的示意图．

（1）已知点A的坐标为(1,0)，

C，给出如下定义：若C上

C上，则称P为C的反射点．下图为C的

yA的半径为2，

PTCP’Ox①在点O(0,0)，M(1,2)，N(0,3)中，A的反射点是

7

____________；

②点P在直线yx上，若P为

A的反射点，求点P的横坐标的取值范围；

（2）范围．

C的圆心在x轴上，半径为2，y轴上存在点P是C的反射点，直接写出圆心C的横坐标x的取值

解（1）①A的反射点是M，N． ………………1分

②设直线yx与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为D，E，F，G，过点D作

DH⊥x轴于点H，如图．

可求得点D的横坐标为32． 22232，，． 222同理可求得点E，F，G的横坐标分别为点P是

A的反射点，则A上存在一点T，使点P关于直线OT的对

称点P'在A上，则OPOP'.

∵1≤OP'≤3，∴1≤OP≤3． 反之，若1≤OP≤3，

A上存在点Q，使得OPOQ，故线段PQ的

A相交．因此点P是

A的反射点．

垂直平分线经过原点，且与

∴点P的横坐标x的取值范围是322232，或． ………………4分 ≤x≤≤x≤2222（2）圆心C的横坐标x的取值范围是4≤x≤4． ………………7分

14、．（2018北京西城区九年级统一测试）对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A，B，设kAQBQ，则称点A（或点B）是⊙C的“k相关依附点”，特别CQ2AQ2BQ（或）． CQCQ地，当点A和点B重合时，规定AQBQ，k已知在平面直角坐标系xOy中，Q(1,0)，C(1,0)，⊙C的半径为r． （1）如图1，当r2时，

①若A1(0,1)是⊙C的“k相关依附点”，则k的值为__________．

8

②A2(12,0)是否为⊙C的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C上存在“k相关依附点”点M， ①当r1，直线QM与⊙C相切时，求k的值． ②当k3时，求r的取值范围．

（3）若存在r的值使得直线y3xb与⊙C有公共点，且公共点时⊙C的“3相关依附点”，直接写出b的取值范围．

yyA1OQCA2xOQCx

图1备用图解：（1）①2．………………………………………………………………………… 1分

②是．……………………………………………………………………………2分 （2）①如图9，当r =1时，不妨设直线QM与⊙C相切的切点M在x轴上方（切点

M在x轴下方时同理），连接CM，则QM⊥CM． ∵ Q(1,0)，C(1,0)，r =1， ∴ CQ2，CM1． ∴ MQ3．

此时k 2MQ3．…………………………………………………… 3分 CQ9

图9 图10

②如图10，若直线QM与⊙C不相切，设直线QM与⊙C的另一个交点为N（不

妨设QN＜QM，点N，M在x轴下方时同理）． 作CD⊥QM于点D，则MD=ND．

∴ MQNQ(MNNQ)NQ2ND2NQ2DQ． ∵ CQ2， ∴ kMQNQ2DQDQ．

CQCQ∴ 当k=3时，DQ3．

此时CDCQ2DQ21． 假设⊙C经过点Q，此时r = 2． ∵ 点Q在⊙C外，

∴ r的取值范围是1≤r＜2． …………………………………………… 5分

（3）3＜b＜33．……………………………………………………………… 7分

15. （2018北京怀柔区一模）P是⊙C外一点，若射线．．PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PA

PB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．

(1)当⊙O的半径为1时．

①在点P1（2,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O是 ；

y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x的“特征点”

10

②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；

(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不．．是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围． ．

解：(1)①P1（2,0）、P2（0,2）…………………………………………………………………2分 ②如图， 在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2. 直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.

因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=22.

可得b1=22.同理可得b2=-22.

∴b的取值范围是:22≤b≤22. …………………………………………………6分

(2)x>3或 x3. …………………………………………………………………………8分

Hy43E21D–4–3–2–1O–1–2–3–412y=x+b234xy=x+b

16. （2018北京平谷区中考统一练习）在M的坐标为x1,y1，点N的坐标为

平面直角坐标系xOy中，点

x2,y2，且x1x2，

y1y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.

（1）已知点A（2,0），B（0,23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；

（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；

11

（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为(3,m) .若在⊙O上存在一点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

解：（1）60； ······························································································ 1 （2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形， ∴直线CD与直线y=5的夹角是45°． 过点C作CE⊥DE于E．

∴D（4,5）或2,5． ········································ 3 ∴直线CD的表达式为yx1或yx3． ········ 5

（3）1m5或5m1． ··························································· 7

17．（2018北京顺义区初三练习）如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2Q2Q112

PL1L2图1给出如

下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有“曲似”，定值

PQ1是定值，我们称曲线L1与L2PQ2PQ1为“曲似比”，点P为“曲心”． PQ2两个同心圆

例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2（都是常数）的

C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为

rO'Mr1所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为1，“曲心”是定值，

O'Nr2r2 （1）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx与抛物

O'C2C1MN总为O'．

有

yx2、y12x分别交于点A、B，如图3所2图2线示，试判

断两抛物线是否曲似，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作

B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不明理由； （3）在（1）、（2）的条件下，若将“y“y圆，过点

使⊙O存在，说

12x”改2为

12，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间x”m的关系式．

解：（1）是．

过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．

依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．……………………………………………… 2分 因此D（k,0），C（2k,0）． ∵AD⊥x轴，BC⊥x轴， ∴AD∥BC． ∴8OAODk1． OBOC2k21． ………… 3分 26B4∴两抛物线曲似，曲似比是A2 （2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切． 13 5ODC5102

则OA=OC=2k，

又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2， ∴k2+（k 2）2=（2k）2． ∴k3．（舍负）

由对称性可取k3．

综上，k3． ………………………… 6分

（3）m的取值范围是m＞1，

k与m之间的关系式为k 2=m2-1 ． ……… 8分

18、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）对于平面直角坐标系xOy中的点P，给出如下定义：记点P到x轴的距离为d1，到y轴的距离为d2，若d1d2，则称d1为点P的最大距离；若d1d2，则称d2为点P的最大距离.

例如：点P（3，4）到到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，因为3 < 4，所以点P的最大距离为4. （1）①点A（2，5）的最大距离为 ；

②若点B（a，2）的最大距离为5，则a的值为 ； （2）若点C在直线yx2上，且点C的最大距离为5，求点C的坐标；

14

（3）若⊙O上存在点M，使点M的最大距离为5，直接写出⊙O的半径r的取值范围. ．．

解：（1）①5……………………… 1分

②5……………………… 3分 （2）∵点C的最大距离为5，

y54321–5–4–3–2–1O–1–2–3–4–512345x∴当x5时，y5，或者当y5时，x5. ………………4分

分别把x5，y5代入得：

当x5时，y7，

当x5时，y3，

15

当y5时，x7，

当y5时，x3，

∴点C（5，3）或（3，5）.……………………… 5分 （3）5r52.…………………………………7分

19、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）在平面直角坐标系xOy中，点A （0, 6），点B在x轴的正半轴上. 若

点P,Q在线段AB上，且PQ为某个一边与x轴平行的矩形的对角线，则称这个矩形为点P,Q的“X矩形”. 下图为点P,Q的“X矩形”的示意图.

（1）若点B（4,0），点C的横坐标为2，则点B,C的“X矩形”的面积为 . （2）点M，N的“X矩形”是正方形，

① 当此正方形面积为4，且点M到y轴的距离为3时，写出点B 的坐标，点N 的坐标及经过点

N的反比例函数的表达式；

② 当此正方形的对角线长度为3，且半径为r的⊙O与它没有交点，直接写出

r的取值范围 .

备用图

16

y76A54321-1O-112y76P 54321Q3B45x-1O-1123456x

答案：（1）6； …………………………………………………………………………1分 （2）① B（6,0） ………………………………………………………………………2分

N（1,5）或N（5,1） …………………………………………………………4分

y5； ……………………………………………………………………………5分 x923或r. …………………………………………………8分

22 ② 0r3220、（2018北京东城第一学期期末）对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G，若在图形G上存在一点N，使M，N两点间的距离等于1，则称M为图形G的和睦点． （1）当⊙O的半径为3时， 在点P1（1,0），P2（3,1），P3（

7,0），P4（5,0）中，⊙O的和睦点是________； 2（2）若点P（4,3）为⊙O的和睦点，求⊙O 的半径r的取值范围；

（3）点A在直线y=﹣1上，将点A向上平移4个单位长度得到点B，以AB为边构造正方形ABCD，且C，D两点都在AB右侧．已知点E（2,2），若线段OE上的所有点都是正方形ABCD的和睦点，直接写出点A的横坐标xA的取值范围．

答案： 解： （1）P2，P3； ………………2分 （2）由勾股定理可知，OP=5，

以点O为圆心，分别作半径为4和6的圆，分别交射线OP于点Q，R，可知PQ=PR=1，此时P是⊙O的和睦点；

若⊙O半径r满足01，此时，P不是⊙O的和睦点； 若⊙O半径r满r>6时，r-OP>1，此时，P也不是⊙O的和睦点；

若⊙O半径r满足4综上所述，4≤r≤6． ………………4分

（3）52≤xA≤3， 或21≤xA≤1． ………………8分

17

21、（2018北京丰台区第一学期期末）28．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：如果⊙C的半径为r，⊙C外一点P到⊙C的切线长小于或等于2r，那么点P叫做⊙C的“离心点”.

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点P1（

31，），P2（0，－2），P3（5，0）中，⊙O的“离心点”是 ；

22②点P（m，n）在直线yx3上，且点P是⊙O的“离心点”，求点P横坐标m的取值范围； （2）⊙C的圆心C在y轴上，半径为2，直线y1x1与x轴、y轴分别交于点A，B. 如果线段AB2上的所有点都是⊙C的“离心点”，请直接写出圆心C纵坐标的取值范围.

解：（1）①P2，P3； ……2分

2②设P（m,－m＋3），则mm35. …3分

2解得m11，m22. ……4分 故1≤m≤2. ……6分

（2）圆心C纵坐标yC的取值范围为：125≤yC＜15或3＜yC≤4. ……8分

22、（2018年北京海淀区第一学期期末）对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线．．AP与⊙C

交于点Q（点Q可以与点P重合），且1PA2，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”． QA已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．

（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________； （2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足tanBAO12，求点B的纵坐标t的取值范围；

（3）直线y3xb与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，

直接写出b的取值范围是_____________________________．

18

y5432y5432–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x–3–2–1O–1–2–3–4–5–6A112345x

解：（1）（2，0）(答案不唯一). ………………1分

（2）如图，在x轴上方作射线AM，与⊙O交于M，且使得tanOAM1，并在AM上取点N，2使AM=MN，并由对称性，将MN关于x轴对称，得MN，则由题意，线段MN和MN上的

点是满足条件的点B.

yN 作MH⊥x轴于H，连接MC，

∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°. ∵ AC是⊙O的直径，

AMOx ∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°. ∴ ∠OAM=∠HMC.

∴ tanHMCtanOAMHCM'N'1. 2 ∴

MHHC1. HAMH2 设MHy，则AH2y，CH1y， 2 ∴ ACAHCH544y2，解得y，即点M的纵坐标为.

5528， 5 又由AN2AM，A为（-1，0），可得点N的纵坐标为

19

故在线段MN上，点B的纵坐标t满足：

48t. ……………3分 55 由对称性，在线段MN上，点B的纵坐标t满足：84t.……………4分 55 ∴ 点B的纵坐标t的取值范围是8448t或t. 5555（3）43b1或1b43. ………………7分

23、（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的横坐标为x，纵坐标为2x，满足这样条件的点称为“关系点”.

(1)在点A(1,2)、B(2,1)、M(

11，1)、N(1，)中，是“关系点”的 ； 22(2)⊙O的半径为1，若在⊙O上存在“关系点”P，求点P坐标；

(3)点C的坐标为(3，0)，若在⊙C上有且只有一个“关系点”P，且“关系点”P的横坐标满足-2≤x≤2.请直接写出．．．．．．⊙C的半径r的取值范围．

解：(1)A、M. ……………………………………………………………………………………2分 (2)过点P作PG⊥x轴于点G…………………………………………………………………3分 设P（x，2x）

∵OG2+PG2=OP2 ………………………………………………………………………………4分

20

∴x2+4x2=1 ∴5x2=1

y1P∴x2=

1 55 5x–1OG1–1∴x=∴P(

525525，)或P(，)……………………………………………………5分 5555 (3)r=

65或 17r541 …………………………………………………………7分

y7654321–4–3–2–1O–1–2–3–4–5–61234567891011x24、（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）以点P为端点竖直向下的一条射线PN，以它为对称轴向左

右对称摆动形成了射线PN1，PN2，我们规定：N1PN2为点P 的“摇摆角”， 射线PN摇摆扫过的区域叫作点P 的“摇摆区域”（含PN1，PN2）. 在平面直角坐标系xOy中，点P(2,3).

21

（1）当点P的摇摆角为60时，请判断O(0,0)、A(1,2)、B(2,1)、C(23,0)属于点P的摇摆区域内的点是

______________________（填写字母即可）；

（2）如果过点D(1,0)，点E(5,0)的线段完全在点P的摇摆区域内，那么点P的摇摆角至少为_________°； （3）⊙W的圆心坐标为(a,0)，半径为1，如果⊙W上的所有点都在点P的摇摆角为60 时的摇摆区域内，

求a的取值范围．

Oxy 备用图

解：（1）点B，点C； …………………………………………2分 （2）90°………………………………………………………3分 （3）当⊙W运动到摇摆角的内部，与PF左边的射线相切时如图28-1

∵点P(2,3)的摇摆角为60° ∴KPF30，PF3

在Rt△PFK中， tanKPFtan30KF在 PF 可求得KF3

y ∵KPF30， ∴PKF60

PQ

OKWFx22

在Rt△PFK中， sinQKFsin60QW，

KW可求得KW23

3∴OWOFKFKW2323213 33 当⊙W运动到摇摆角的内部，与PF右边的射线相切时如图28-2

y 同理可求得OW=2+13 3∴213≤a≤2+13 33

25、（2018北京密云区初三（上）期末）已知在平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下的定义：若

在图形G上存在一点Q ,使得P、Q之间的距离等于1，则称P为图形G的关联点. （1）当

PQ'OFWxK'O的半径为1时，

12P(0,3)中，①点P1(,0),P2(1,3),3O的关联点有_____________________.

O的关联点，求点P的横坐标x的取值范

②直线经过（0，1）点，且与y轴垂直，点P在直线上.若P是围.

（2）已知正方形ABCD的边长为4，中心为原点，正方形各边都与坐标轴垂直.若正方形各边上的点都是某个圆的关联点，求圆的半径r的取值范围.

23

y54321-5-4-3-2-1y5432112345-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5xO-1-2-3-4-512345x

备用图 备用图

答案：（1）P1、P2 ………2分

（2）如图，以O为圆心，2为半径的圆与直线y=1交于P1,P2 两点.线段P1P2上的动点P（含端点）都是以O为圆心，1为半径的圆的关联点.故此3x3. y543P1211P22345xO-5-4-3-2-1O-1-2-3-4-5…………………………………………………………6分

（3）由已知，若P为图形G的关联点，图形G必与以P为圆心1为半径的圆有交点.

正方形ABCD边界上的点都是某圆的关联点

 该圆与以正方形边界上的各点为圆心1为半径的圆都有交点

故此，符合题意的半径最大的圆是以O为圆心，3为半径的圆；符合题意的半径最小的圆是以O为圆心，

221 为半径的圆.

综上所述，221r3 .………………………..8分

24

26、（2018北京平谷区第一学期期末）在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．

（1）以O为圆心，半径为5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的“互换点” ； （2）点M,N是一对“互换点”，点M的坐标为(m,n)，且(m＞n)，⊙P经过点M,N．

①点M的坐标为(4,0)，求圆心P所在直线的表达式； ②⊙P的半径为5，求m－n的取值范围．

解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）；............................................................................. 2

（2）①连结MN，

∵OM=ON=4，

∴Rt△OMN是等腰直角三角形． 过O作OA⊥MN于点A，

25

∴点M,N关于直线OA对称． ......................................................... 3 由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上． ................................. 4 ∴圆心P所在直线的表达式为y=x． ................................................ 5 ②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=52； ..... 6 当点M,N重合时，即点M,N横纵坐标相等，所以m－n=0； ................. 7 ∴m－n的取值范围是0＜m－n≤52． .................................................... 8

27、（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为

(x2,y2)，且x1x2，y1y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则

称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图． ．．．

yQPOx

（1）已知点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(3,0)，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为_________°； （2）若点C的坐标为(0,3)，点D在直线y43上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，

求直线CD的表达式；

（3）⊙O的半径为2，点N在双曲线y3上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰x三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标xN的取值范围．

解：（1）120º； ……………………………………………………………2分

（2）∵C,D的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x轴平行，

43)或 ∴直线CD与x轴成60°角，与y轴成30°角，通过解直角三角形可得D的坐标为(3，(3，43)，

进

一

步

得

直

线

26

CD的表达式为y3x3或

y3x3. …………………………………………5分

（3）3xN1或1xN3. ……………………8分

28、（2018北京通州区第一学期期末）点P的“d值”定义如下：若点Q为圆上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“d值”，记为dP.特别的，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0. 当⊙O的半径为2时：

（1）若点C1,0，D3,4，则dC_________，dD_________； 2（2）若在直线y2x2上存在点P，使得dP2，求出点P的横坐标；

（3）直线y3xbb0与x轴，y轴分别交于点A，B.若线段AB上存在点P，使得2dP3，3请你直接写出b的取值范围.

答案：

27

29、（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy中，A，B两点的坐标分别为A(2,2)，B(2,2)．对

于给定的线段

AB及点P，Q，给出如下定义：若点Q关于AB所在直线的对称点Q落在△ABP的内部（不含边界），则称点Q是点P关于线段AB的内称点． （1）已知点P(4,1)．

①在Q1(1,1)，Q2(1,1)两点中，是点P关于线段AB的内称点的是____________；

②若点M在直线yx1上，且点M是点P关于线段AB的内称点，求点M的横坐标xM的取值范围；

（2）已知点C(3,3)，⊙C的半径为r，点D(4,0)，若点E是点D关于线段AB的内称点，且满足直线DE

与⊙C相切，求半径r的取值范围．

答案：

28

30、（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任

意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点.

例如：点A (2,0) ，点 B(1,1) ，点 C (1, 2)，则A、

29

y4321B4xA–4–3–2–1O123–1C–2–3–4

B、C三点的 “横长”a=|1(2)|=3，A、B、C三点的“纵长”b=|1(2)|=3. 因为a=b，所

以A、B、C三点为正方点.

（1）在点R (3，5) ，S(3，2) ，T (4，3)中，与点A、B为正方点的是 ； （2）点P (0，t)为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为 ；

（3）已知点D (1，0).

①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；

②若直线l：y1xm上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围． 2y5432

45x5432y1DA–5–4–3–2–1O123–1–2–3–4–5

1DA–5–4–3–2–1O123–1–2–3–4–545x（

备用图）

解：（1）点R……………………… 1分 （2）−2或3……………………… 3分

（3）①画出如图所示的图像……………………… 5分

②m

y54321AD–5–4–3–2–1O123–1–2–3–4–545x5或m2……………………… 7分 230

31、（2018北京朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m，给出如下定义：若存在一点P，

使得点P到直线m的距离等于1，则称P为直线m的平行点． （1）当直线m的表达式为y=x时，

①在点P1（1，1），P2（0，2），P3（22，）中，直线m的平行点是 ； 22②⊙O的半径为10，点Q在⊙O上，若点Q为直线m的平行点，求点Q的坐标.

（2）点A的坐标为（n，0），⊙A半径等于1，若⊙A上存在直线y3x的平行点，直接写出n的取值

范围．

答案：（1）①P2，P3 ……………………………………………………………………2分

② 解：由题意可知，直线m的所有平行点组成平行于直线m，且到直线m的距离为1的直线.

设该直线与x轴交于点A，与y轴交于点B.

如图1，当点B在原点上方时，作OH⊥AB于点H，可知OH=1. 由直线m的表达式为y=x，可知∠OAB=∠OBA=45°. 所以OB=2.

直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q. 连接OQ1，作Q1N⊥y轴于点N，可知OQ1=10. 在Rt△OHQ1中，可求HQ1=3. 所以BQ1=2.

在Rt△BHQ1中，可求NQ1=NB=2.

所以ON=22.

所以点Q1的坐标为（2，22）.

同理可求点Q2的坐标为（22，2）.……………………………4分

31

如图2，当点B在原点下方时，可求点Q3的坐标为（22，2）点Q4的坐标为 （2，22）. ………………………………………………………6分

综上所述，点Q的坐标为（2，22），（22，2），（22，2），（2，22）.

（2）4343≤n≤. ……………………………………………………………8分 33

32、（2018北京东城区二模）研究发现，抛物线y相等.如图1所示，若点P是抛物线y12x上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：y1的距离412x上任意一点，PH⊥l于点H，则PFPH. 4基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点M到点P的距离与点P到点F的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线y点.

121x的关联距离；当2≤d≤4时，称点M为抛物线yx2的关联44

4)中，抛物线y0)，M2(1，2)，M3(4，5)，M4(0，（1）在点M1(2，12x的关联点是______ ； 432

1)，点A(t13)，C( t. （2）如图2，在矩形ABCD中，点A(t，①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线y12x的关联距离d的取值范围； 4②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线y12x的关联点，则t的取值范围是__________. 4(1) M1，M2； -----------------------------------------------------------------2分

（2）①当t4时，A41，，3，D4，3， ，B51，C5， 此时矩形ABCD上的所有点都在抛物线y12x的下方， 4∴dMF.

∴AF≤d≤CF.

∵AF=4，CF=29，

∴4≤d≤29. ---------------------------------------------------------------------------------- 5分

②-23≤t≤231. ------------------------------------------------------------------------8分

33、（2018北京房山区二模）已知点P，Q为平面直角坐标系xOy中不重合的两点，以点P为圆心且经过点Q

作⊙P，则称点Q为⊙P的“关联点”，⊙P为点Q的“关联圆”.

13

1）FM（1）已知⊙O的半径为1，在点E（1，，（－2，2 ），（0，－1）中，⊙O的“关联点”为 ； （2）若点P（2，0），点Q（3，n），⊙Q为点P的“关联圆”，且⊙Q的半径为5 ，求n的值； （3）已知点D（0，2），点H（m，2），⊙D是点H 的“关联圆”，直线y4x4与 3x轴，y轴分别交于点A，B. 若线段AB上存在⊙D的“关联点”，求m的取值范围.

33

解：（1）① F，M.………………………………………………………………………2′

（注：每正确1个得1分） （2）如图1，过点Q作QH⊥x轴于H. ∵PH=1，QH=n，PQ=5 ∴由勾股定理得，PH2+QH2=PQ2 即1n225

2 解得，n2或－2. ………………………………………………………4′

y （3）由y4x4，知A（3，0），B（0，4） 3BTDOH1Ax ∴可得AB=5

I. 如图2（1），当⊙D与线段AB相切于点T时，连接DT. 图2(1) 则DT⊥AB，∠DTB=90° ∵sinOBAOADT ABBDy6

∴可得DT=DH1=

5 ∴m1B6 …………………………………………………5′ 5DOAH2x II. 如图2（2）, 当⊙D过点A时，连接AD.

由勾股定理得DA=OD2+OA2=DH2=13 ……………………6′ 综合I，II可得：-13≤m≤-

34、（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy中，将任意两点Px1,y1与Q34

图2(2)66或≤m≤13 ………………………………8′ 55x2，y2之间的“直距”定义为：

DPQx1x2y1y2.

例如：点M（1，2），点N（3，5），则DMN已知点A(1，0)、点B(-1，4). （1）则DAO132(5)5.

_______，DBO_______；

（2）如果直线AB上存在点C，使得DCO为2，请你求出点C的坐标； （3）如果⊙B的半径为3，点E为⊙B上一点，请你直接写出DEO的取值范围.

y 7654321123456x654 321O1 23 4 5678答案. （1）DAO1，DBO5；………………2分 （2）如图：

解法1：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.

设点C的坐标为（x，-2x+2），则x2x22，则点C 的坐标为（0，2）或(,). 解法2：由点A和点B坐标可得，直线AB的解析式为y=-2x+2.

点C与点O之间的“直距DCO”为2的运动轨迹为以点O为中心、对角线分别位于坐标轴上、对角线长度为4的正方形.设点C的坐标为（x，-2x+2），则利用直线解析式可求得，点C的坐标为（0，2） 或(,). ………………5分

43234323（3）DEO的取值范围为422DEO532………………7分

35

35、（2018北京海淀区二模）对某一个函数给出如下定义：若存在实数k，对于函数图象上横坐标之差为1的任意

两点(a,b1)，(a1,b2)，b2b1k都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数yx2，当x取值a和a1时，函数值分别为b1a2，

b2a1，故b2b11k，因此函数yx2是限减函数，它的限减系数为1．

（1）写出函数y2x1的限减系数；

（2）m0，已知y

1

（1xm,x0）是限减函数，且限减系数k4，求m的取值范围． x

（3）已知函数yx2的图象上一点P，过点P作直线l垂直于y轴，将函数yx2的图象在点P右侧的部分关于直线l翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数

k1，直接写出P点横坐标n的取值范围．

答案28．解：（1）函数y2x1的限减系数是2；

111110，（2）若m1，则m10，（m1，）和（m，）是函数图象上两点，mm1m(m1)m1m与函数的限减系数k4不符，∴m1． 若0m111，（t1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0tm，2t1t111， tt1t(t1)11111∵t(t1)0，且t(t1)(t)2(m)2，

2424411∴4，与函数的限减系数k4不符. tt1∴m若

1． 2111（t1，）和（t，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则0tm，m1，

2t1t111， tt1t(t1)36

111∵t(t1)0，且t(t1)(t)2，

24411114，当t时，等号成立，故函数的限减系数k4． ∴tt1t(t1)2∴m的取值范围是

1m1． 2（3）-1n1．

36．（2018北京市东城区初二期末）

定义：任意两个数a,b，按规则cabab扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“如意数”.

（1） 若a2,b1,直接写出a,b的“如意数”c；

（2） 如果am4,bm,求a,b的“如意数”c，并证明“如意数” c0

（3）已知a=x1(x0)，且a,b的“如意数”cx3x1,，则b (用含x的式子表示)

.解：（1）c221.2322分

（2）am4,bmc(m4)(m)(m4)(m)m24m4c05分（3）bx26分

4分

cm24m4(m2)237.（2018北京市平谷区初二期末）对于实数a，我们规定：用符号a的根整数，例如：

a表示不大于

a的最大整数，称

a为

93，103.

4_______;26________.

37

(1)仿照以上方法计算：

（2）若

x1，写出满足题意的x的整数值______________.

如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对10连续求根整数2次 这时候结果为1.

（3）对100连续求根整数，______次之后结果为1.

10331，

（4）只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是________. 解：(1)2, 5 (2)1,2,3 (3) 3 (4)255

38.（2018北京市顺义区八年级期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.

x1a2bxya2b2（1）下列分式: ①2；②2；③2；④. 其中是“和谐分式”是 (填写序号222xyx1ab(ab)即可)；

（2）若a为正整数，且

x1为“和谐分式”，请写出a的值; 2xax44a2ab时， （3） 在化简23abbb4小东和小强分别进行了如下三步变形:

22234a2a44a24a4ab4aabb22小东：原式=2 33232abbbbabbbabbb24a2a44a24a4a4aab 2小强：原式=2 232abbbbbabbabb显然，小强利用了其中的和谐分式, 第三步所得结果比小东的结果简单， 原因是： ，

请你接着小强的方法完成化简. 解：（1）②………………1分

（2） 4，5………………3分

38

（3）小强通分时，利用和谐分式找到了最简公分母. ………………4分

4a24a24ab 原式 2abb 4a4ab4a ………………5分 22abbabbabb39．（2018北京市西城区八年级期末附加题）我们把正n边形（n3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3=12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”．

（1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩

展图形”； （2）已知a3=12，a4=20，a5=30，则图4中a6=__________，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中

图1

图2

图3

图4

an=_______________；（用含n的式子表示）

111111111111（3）已知，，，……，且a334a445a556a3a4a5

解：（1）如图所示； ……………………………………… 2分

（2）42，n(n1)； …………………………………… 4分 （3）99． ………………………………………………… 6分

197，则n=________． an30040. （2018北京西城区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点Q(x,y)（x≠0），将它的纵坐标y与横坐标x的

39

比

y2 称为点Q的“理想值”，记作LQ.如Q(1,2)的“理想值”LQ2.

1x（1）①若点Q(1,a)在直线yx4上，则点Q的“理想值”LQ等于_________；

②如图，C(3,1)，⊙C的半径为1. 若点Q在⊙C上，则点Q的“理想值”LQ的取值范围是 .

（2）点D在直线y3x+3上，⊙D的半径为1，点Q在⊙D上运动时都有 30≤LQ≤3，求点D的横坐标xD的取值范围；

（3）M(2,m)（m＞0），Q是以r为半径的⊙M上任意一点，当0≤LQ≤22时，画出满足条件的最大圆，

并直接写出相应的半径r的值.（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

解：（1）①． ………………………………………………………………………… 1分

② 0≤LQ≤．……………………………………………………………… 2分

（2）设直线y3x+3与x轴，y轴的交点分别为点A，点B，可得A(33,0)， 3B(0,3)．

∴ OA33，OB3，OAB30．

由0≤LQ≤，作直线y3x．

40

①如图13，当⊙D与x轴相切时，相应的圆心D1满足题意，其横坐标取到最大值．作D1E1x轴于点E1，

可得D1E1∥OB，

D1E1AE1BOAO． ∵ ⊙D的半径为1， ∴ D1E11．

∴ AE13，OE1OAAE123．

∴ xD123．

②如图14，当⊙D与直线y3x相切时，

相应的圆心D2满足题意，其横坐标取到 最小值．

作D2E2x轴于点E2，则D2E2⊥OA．

设直线y3x与直线y33x+3的 交点为F．

可得AOF60，OF⊥AB． 则AFOAcosOAF333292． ∵ ⊙D的半径为1， ∴ D2F1．

∴ AD2AFD72F2． 41

图13

图14

7373∴ AE2AD2cosOAF224， OE532OAAE24． ∴ x53D24． 由①②可得，x53D的取值范围是4≤xD≤23． ………………………………………… 5分

3）画图见图15．

2．…………………………………………… 7分

42

15

图（