金融经济学习题参考

第二章

2.1 ①

11001000r10% 1r ②

1100r1221000r9.76%

③

1100r112r121000r9.57% ④1100er11000r9.53%

15%2.2 e1r14.91%

122.3 假设每年支付利息x元

则有 xe10.122.12x100000e1x61（元）8.36

122.4 为简单起见，采用等额折旧法，假设屋顶每年的折旧为x元，故有

xx15%15%2x1604.85

x15%2020 000

因此，只有5年使用寿命的旧屋顶的价值为

xxx694825（元） 15%15%15% S2T2ST116.9%26.3%1f7.5% 2.5 1,2TT2121 2.6 由即期现货利率曲线为 SS1,S2,S3,S4,S5,S65.0,5.3,5.6,5.8,6.0,6.1

v f1,2,f1,3,f1,4,f1,5,f1,65.6,5.9,6.1,6.25,6.32

以上即为一年后的现货利率曲线。

2.7 ①

10001S33816.3  S37%（三年期现货利率）

② 假设利率期限结构式水平的，所以S1S3，由①的计算可知S17%，故一年后债券的价格为

1

949.377017%940.9259

由70701000940.9259，得到y11.3%。 1y(1y)22.8 略，见课本P32-P35。

2.9 、2.10的解答参见2.11的解答。 2.11 ⑴ ①QerT11ef1,2T2T1er2T2

rT11f1,2T2T1r2T2 f1,2r2T2rTrr11r1T221T2T1T2T1

dr =f0,1T2令T2T10dT由于现货利率期限结构曲线是单调上升的，所以

drdr0f1,2f0,1T20 dTdT因此，远期利率期限结构曲线也是单调上升的，并且由上式可以看出f1,2f0,1r1 即远期利率期限结构曲线在现货利率期限结构曲线的上方。

② 下面比较到期收益率和现货利率结构曲线。 由债券定价公式，当为一年期债券时，有

FF 故r1y1 1r11y1当为两年期债券时，有

CCFCCF 221r11r21y21y2由于即期利率曲线是单调上升的，故有r1r2，则

CCFCCF 221r21r21y21y2因此得到r1y1y2r2

从上式可知，当现货利率期限结构曲线上升时，到期收益率曲线也是单调上升的。且现货利率曲线在到期收益率曲线的上方。

2

综上所述，远期利率、现货利率及到期收益率的图像及位置关系如图㈠所示。

r远期利率现货利率到期收益r到期收益现货利率远期利率0图㈠

T

0

图㈡

T

⑵当现货利率期限结构曲线单调下降时，与⑴的分析类似，远期利率期限结构曲线和到期收益率曲线都是单调下降的，位置如图㈡所示。

第三章

3.5 （方法一）

由于uW0ZpuW0h11puW0h2 （1）

下面对（1）的左边在W0出进行Taylor展开

有uW0ZuW0ZuW0oZ2 （2） 接下来对（1）的右边在W0处进行Taylor展开得

puW0h11puW0h2puW01puW0ph1uW01ph2uW02h12h2puW01puW0oh12oh22 （3）

22uW0ph11ph2uW022ph1ph212uW0oh12oh22 由于是一个公平对策，所以有（3）式的右边可以化简为： ph11ph20，

2222uW0ph11ph2uW0oh1oh2

综合（1）、（2）、（3）式，得到

122uW0ZuW0uW0ph1phuW0 122

3

122ph1phuW012122ph1ph所以，Z212RAW0 uW021dZ22ph1ph0显然，，故Z是一个关于的正单调变换，所以RW12A02dW0与

dRAW0有相同的符号。得证。 dW0（方法二）

FuWZp1u0W01hpu 2h0W对上式进行Taylor展开，且由F0，可得

122uW0ZuW0uW0ph1phuW0 122122ph1ph12uW0所以，Z2

uW0则由隐函数求导公式可得

puW0h11puW0h2FW0uW0ZdZ dW0FZuW0Z对上式最右边式子的分子利用Taylor展开，有

122ZuW0ph1ph12uW0FW0dZ2

dW0FZuW0Z122ph1ph12uW0将Z2代入上式有

uW0dZ1122uW0uW0uW022dRAW0ph1phph1ph 2211dW02uW0ZuW02dW02dRAW0dZ122ph1ph0由于12，所以，signsign。得证。 2dWdW00

4

第四章

4.1 证明：当证券组合前沿只由两种具有不同期望回报率的两个证券或组合生成时，这两个证券组合的任一组合都将是有效前沿组合，因为它会是给定期望的最小方差组合。具体推导过程如下：

假设这两种证券或证券组合的回报率和权重分别为(r1,r2)和(w1,w2)，其中

w1w21。则在给定一个回报率rp时，有rpwr11w2r2wr111w1r2。

由于r1、r2和rp是外生给定的，由上述不等式，只存在唯一的w1。也即，在给定一个回报率时，只有一个组合与之对应，因此相应的方差也只有一个，即为最小方差，所以该组合为前沿证券组合。

因此，当我们选取组合的权重w1,w2为（1，0）时表示的是组合中的第一种资产，它也是有效组合，因此会在有效组合前沿上。同理组合（0，1）也会在有效组合前沿上。综上所述，得证。

%%4.2（方法一） 在（4.14）中，令ErpErq

CA1%%%有Covr,rwVwEr pqqpDCCTp2CA1T%%由（4.15）知2rwVwEr ppqpDCC2%%%故有Covrp,rqrp 2%%rr由Covr %%%p,rqrpqp2r%pr%q0

又1 0,1

%%（方法二）当p不是mvp时，在（4.18）中，令ErpErq，因此

%%%Erp1qpErzcpqpErp

5

%%则 1qpErpErzcp0

%%由于ErpErzcp0 ，因此1qp0

故qp%%covrq,rp%2rp2%%%1，即covrq,rprp。

2%%%当p为mvp时，显然covrq,rprp1。得证。 C（方法二） （有问题，但这个思路不错） 由于组合P和组合q有相同的期望回报率

假设rpr1 rqr2 显然，其中E1E20且随机项1,2是彼此独立的

2%% Covr%p,rqrp%%%Covrp,rqrp则Covr1,21 Covr,2Covr,1Cov1,2Cov1,1000Cov1,1

2%%%%%（方法三） 反证法：假设Covr也即Covr%p,rqrp0 p,rqrp%%%令rrprqrp

%%%%%%由于Covrp,rqrp0，那么存在一个足够小的，使得rrp，但是rqrp，也

即rrqrp与题目矛盾，得证。

%%%%4.3 【证明】令rmvp为全局最小方差组合，re为有效组合，那么组合rmvp，re可以扩展到整个有效组合前沿。注意到

%%%%%%%Covrmvp,rmvpreCovrmvp,rmvpCovrmvp,re 11 =0C C%%%%记rfjrmvpajrermvp为任一有效套利组合，令

22%%%%mvpErermvp mvprermvp

%注意到Ermvp=

A1% 2r，所以有 mvpCC6

%%%%ErfjErmvpajErermvpAajmvp C而

%2rfj2mvp2 mvp22%%%ajmvpe2Covrmvp,rermvp 12222ajmvpe0ajmvpeC%%%2rC2rrAEppAp%由关系式Erq 22C%%%1C2r1Cr1Crppp%Epr2%%ErArfjfj%Erzcfj%1C2rfj12ACajmvpeAa2jmvpeC我们有 = 121Ca2jmvpeC222ajmvpeAajmvpemvpeajAmvpe =22a2jmvpemvpe不是一个关于a的线性的关系式，因此%r由以上的表达式可以看出Ejzcfj线性表出，所以 不能由Er%%Erzcpzcfj wjEr%%Erzcpj1zcfj得证。

4.4 【证明】

由j%CErfjADn%Erzcfj2Amvpemvpeaj2mvpe

2%CErAmvpeajfjAmvpe%jEr2zcfjDmvpe2ajCmvpeAmvpemvpeaj =2Dmvpe2mvpeAmvpeajmvpe =2Dmvpe是一个关于a的线性的表达式 %r由上式可以看出jEjzcfj 7

wEr %%pErjjzcfzcfjj1jn1%即有Erzcfjp

%rwEjjj1nzcfj得证

第五章

5.1 由CAPM成立，我们有

%%EyrfymErmrf r%%ySy1Er所以，E%Sy1rfymmrf （1） Er得到

SyE%y% 1rfymmrfEr %ySyym又由（1）式，得E%mrfSy1rf， Er左边＝E%ySy%%Cov(ry,rm)2m%mrf Er%%SyCov(1r,m)yr% E%ymrf Er%%(r)r()mm E%y%%Cov[Sy(1r),m]yr%Ermrf %%(rr(m)m)%ErCov[%%y,rm]mrfy(%y) =E% E%yym%y

%%(%y)(r(rm)m)其中，%ErCov%%y,rmmrf。 ym%%r%yrmmE%y%E%yymmrfEr因此，Sy1rEr %%%1rfymErrErrfymmrfmfymmf =E%yym%y1rf

5.2证明同5.1。

8

5.3 ？？

%%5.4 Ermrf越大，则表明投资者更具风险厌恶。Ermrf表示单位风险%的价格，Ermrf越大表明要承担单位风险，投资者要求的风险酬金越大，因此其更具有风险厌恶。

%当不存在无风险利率的时候，可以用Erzcp代替之。

5.5？？

5.6 （a）解：对于投资者甲

由于他选择的“市场证券组合”的市场风险

2M0.75 0.250.0081 00.75 0.25 0 0.00252T2 =0.750.0081 +0.250.0025=0.0047124

证券A与市场的协方差AM=0.750.0081 =0.006075 所以，投资者甲关于A的值

对投资者乙

由于他选择的“市场证券组合”的市场风险

2M0.5 0.50.0081 00.5 0.5 0 0.00252TAMAM0.0060751.292M0.0047124

2 =0.50.0081 +0.50.0025=0.00265

证券A与市场的协方差AM=0.50.0081 =0.00405 所以，投资者乙关于A的值AM（b） 对投资者甲

T由于他选择的“市场证券组合”的权重为甲=（0.75, 0.25）

AM0.004051.53。 2M0.00265ErM甲0.75*0.30.25*0.20.275 对投资者乙

T由于他选择的“市场证券组合”的权重为乙=（05 ., 0.5）ErM乙0.5*0.30.5*0.20.25

9

%%根据CAPM有Er Er （0.275-rf）（0.25-rf）乙rf1.53甲rf1.29%%当Er有投资者甲比投资者乙要求更高的A的期望回报； 乙也即rf0.1156时，甲Er%%当Er乙也即rf0.1156时，两者都需要相同的A的期望回报； 甲Er%%当Er有投资者乙比投资者甲要求更高的A的期望回报。 乙也即rf0.1156时，甲Er（c）

2vT-1vvT-1vADCvT-1v% , A=1Vr ,B=rVr , C=1V1 ,D=BC-A2 ErzcMACEr%MC125 0V=0.0081 0 V-1=

0 0.00250 810.2025A=117.04 B=27.11 C=523.46 D=492.64

492.642117.04523.46%Er0.189对于甲投资者，zcM523.46 117.040.275523.46492.642117.04523.46%Er0.152对于乙投资者，zcM523.46 117.040.25523.46%所以投资者甲的证券市场线为Er 89甲M（0.275-0.189）甲0.1%投资者乙的证券市场线为Er 52甲M（0.275-0.152）甲0.1

第六章

6.1 （a） 0.200.403.500.600.1520.11 （b）0.4020.00490.6020.014.38103 6.2 （方法一）

2% 由CAPM有Er（8.5%-6%）=16% A6%4%Er（8.5%-6%）=12.5% B6%2.6 10

%∴Erp0.316%0.712.5%=13.55%

（方法二）

解：证券组合的因子敏感度由于

bp1b12b240.32.60.73.02

rf6% =8.5%

所以证券组合的均衡期望回报率为

Erprfbprf=6%+3.028.5%-6%=13.55%

6.3 初始价格为零：1230

对因子的敏感度为零：0.610.321.230 期望回报为正：0.410.320.330

故投资者可构造套利组合133，223 30

6.4 （a） 由CAPM，ERpRfERmRf=8%+16.2%=14.2% 又ERp0.080.05bp1+0.11bp20.080.050.50.11bp20.142

bp20.79

（b）ERp0.080.05bp1+0.11bp20.080.05bp1+0.1100.142

bp21.24

第七章

KS0, 0 7.1 证明Pmax1rf构造资产组合 A：一个欧式看跌期权P加一股普通股股票； B：数额等于

K的现金。 1rf 11

A B ST Vt PtSt KST K VA=VB VA>VB T时刻，A组合的价值为maxST, K，B组合的价值为K.A包含了多于B的获利机会，因而，在t时刻其价值也应该大于B。即满足PtStK1rfTt

KKS0, 0 所以在0时刻，PS0，又P0,所以Pmax1r1rff%%K1,K2 K1K2 maxK1S,0maxK2S,0

%%,K1PS,K2，因此欧式看跌期权是其执行价格的增函数。 所以PS

axSK,07.2 K1,K2 K1K2 m%1maSxK%

2,0%%,K1CS,K2，因此欧式看涨期权是其执行价格的减函数。 所以CS%当SK10时，欧式看涨期权是其执行价格的严格减函数。

7.3 该组合即为卖出straddle，当股票价格的方差增加时，这是一个不利策略。组合的盈亏图示如下：

12

Profit 0

K-C-P K-C K K+P K+P+C S

7.4

股权可以看做一个公司价值的看涨期权，其执行价格为债券的面值，同时可以把公司债权看做是无风险债券减去一个公司价值的看跌期权。设公司价值为V,债券价值为B,公司股票价值为S。假定公司价值服从几何布朗运动：dV=a*V*dt+delta*V*dz。由于题意不详，为简单起见，假设公司债券是一张零息票债券，债券的现值为400万，则其面值为：B(T)=400*exp(0.05*10)=660(万)。

根据BS公式可得：S=V*N(d1)-B(T)*N(d2)。根据V=B+S，可得S=500-400=100(万)。 由题意知：V=500，r=0.05，t=10，k=B(T)=660(万),所以由matlab隐含波动率函数Volatility = blsimpv(Price, Strike, Rate, Time, Value) 得delta=blsimpv(500,660,0.05,10,100)=0.0336. 下面可以很方便的根据BS公式得到当无风险利率跳变为0.1时的，公司的股票价格。由matlab函数call=blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility) 得 S=blsprice(500,660,0.1,10,0.0336)=257.1996（万） 所以B=V-S=242.8004=660*exp(-0.1*10) （万） 因此股票价格的变化为100-257.1996=-157.1996（万） 债务价格的变化为400-242.8004=157.1996（万）

7.5 看涨期权的delta值为cNd1；看跌期权的delta值为pNd11

ln(S0/X)(r2/2)(Tt)其中d1，N为累积正态分布函数，则有

Tt 13

ln(S0/X)(r2/2)(Tt)cNd1NTt71ln(44.75/40)(6.5%9.61%/2)365 =N719.61%365 =N0.98160.8365pNd110.836510.1635

(a) 由套期保值要求delta中性，即由100股股票与看涨期权的组合的delta等于0； 则看涨期权的份数为100c-100/0.8365=-119.5份，即卖出119.5份看涨期权。

(b) 由套期保值要求delta中性，即由5份看跌期权与股票的组合的delta等于0； 则要求股票的股数为5p50.1635=0.8175股

(c) 由套期保值要求delta中性，即1份看涨期权与看跌期权的组合的delta等于0 则要求看跌期权的份数为

7.6 期权合约的结果是一个零和博弈，期权合约的双方之所以签订合约是因为合约的双方对未来的预期不同。

7.7 到期时，债券的价格为1000maxmin2250, 170PT25, 0 ，

由于2250=170*（40-25），因此，该组合为一种普通债券，一个执行价格为$25的看涨期权多头和一个执行价格为$40的看涨期权空头组成。

cp-0.8365/-0.1635=5.1162。

 14