对应学生书P243
一、选择题
1．(2010·天津模拟)如图所示，向量 、 、的终点A、B、C在一条直线上，且
＝－3，设＝p， ＝q， ＝r，则下列等式成立的是()
A．r＝－p＋2q
B．r＝p－q
C．r＝－p＋q[
D．r＝2p＋q
解析：∵ | ＝－3 | ，∴ | ＝－ | . | － | )＝ | ||
∴ | ＝ | |||||||
＋ | ＝ | － | ＝ | －( | ||||
＋ | ＝r＋p. | |||||||
∴q＝r＋p，∴r＝q－p，即r＝－p＋q.
答案：C
2．(2008·辽宁)已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 ＋
＝0，则 ＝()
A．2 － B．－ ＋2
C. － D．－ ＋
解析：依题意，得2( | － | )＋( | － | )＝0， | ||
＝2 | － | ，选A. | ||||
答案：A
3．(2008·全国Ⅰ)在△ABC 中， | ＝c， | ＝b，若点D 满足 | ＝2 | ，则 | 等于() |
A. b＋c | B. c－b | ||||
C. b－c | D. b＋c |
解析：方法一：如图，在△ABC中，
＝ ＋ ，又 ＝2，
∴＝ .
∵ ＝ －＝b－c，
∴ ＝ ＋ ＝c＋(b－c)＝b＋c，故选A.
方法二：∵ ＝2 ，即 － ＝2( － )，
∴ －c＝2(b－)，解得 ＝b＋c.
答案：A
4．(2010·汕头模拟)已知O 为△ABC 内一点，且 | ＋ | ＋2 | ＝0，则△AOC 与△ABC |
的面积之比是()
A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．1∶1
解析：设AC的中点为D，则＋ ＝2，
∴ ＋＋2 ＝2＋2 ＝0，
∴＝－，即点O为AC边上的中线BD的中点，
∴＝.
答案：A
5．(2010·聊城模拟)如图，在△ABC 中， | ＝ | ， | ＝3 | ，若 | ＝a， | ＝b，则 |
＝()
A. a＋b | ＋ | ＝ | ＋ | ＋ | ) | B．－a＋b | |||
C. a＋b | D．－a＋b | ||||||||
解析： | ＝ | ||||||||
＝ | ＋( | ＋ | )＝ | ＋ | ＋ | ||||
＝－ | ＋× | ＝－ | ＋( | ||||||
＝－ | ＋ | ＝－a＋b. | |||||||
答案：B
6．(2011·福建模拟)O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满
足 | ＝ | ＋λ( | ＋ | )，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的() | |||||
A．外心 | ＋ | B．垂心 | C．内心 | D．重心 | |||||
解析：∵λ( | )所在直线必过BC 边的中点，∴ | ＝λ( | ＋ | )，即点P 也必在BC | |||||
边的中线上，∴点P的轨迹一定通过△ABC的重心．
答案：D
二、填空题
7．(2010·通化模拟)设e1，e2 是两个不共线的向量，已知 | ＝2e1＋ke2， | ＝e1＋3e2， |
＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，则实数k的值为__________．
解析： ＝2e1＋ke2，
＝－ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2.
由 | ∥ | ，知2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)， |
∴ | 则k＝－8. |
答案：－8
8．(2010·濮阳一模)在△ABC 中， | ＝a， | ＝b，M 是CB 的中点，N 是AB 中点，且 | |
CN，AM 交于点P，则 | ＝__________. | ||
解析：如图所示， | ＝ | ＋ | ＝ | )＝－ | ＋ | ＋ | ＝－ | ＋ | ＝－a＋b. | ||
－ | ＋ | ＝－ | ＋× ( | ＋ | |||||||
答案：－a＋b
λ | 9．(2009·佛山调研)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若 | ＝2 | ， | ＝ | ＋ |
，则λ＝__________. |
解析：由图知， | ＝ | ＋ | ，① | ＝ | ＋ | ，∴λ＝. | |||
＝ | ＋ | ，② | ＝ | ＋2 | ，∴ | ||||
且 | ＋2 | ＝0. | |||||||
①＋②×2，得3 | |||||||||
答案：
三、解答题
10．(2011·东莞阶段检测)如图所示，在△ABC的中点，D、F分别是BC、AC的中点，
＝， ＝a， ＝b.
(1)用a，b表示向量 、、、、；
(2)求证：B，E，F三点共线．
解析：(1)延长AD到G，使 ＝，连接BG、CG，得到▱ABGC，
所以 ＝a＋b，
＝＝(a＋b)，
＝ ＝(a＋b)，
＝ ＝b，
＝－ ＝(a＋b)－a＝(b－2a)，
＝－ ＝b－a＝(b－2a)．
(2)由(1)可知， ＝ ，所以B，E，F三点共线.
11．(2010·临沂模拟)若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何
值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？
解析：设 ＝a，＝tb， ＝(a＋b)，
∴ ＝ － ＝－a＋b， ＝ － ＝tb－a.
要使A，B，C三点共线，只需 ＝λ ，
即－a＋b＝λtb－λa，
∴ 解得
∴当t＝时，三向量终点在同一直线上.
12．已知△ABC 中， | ＝a， | ＝b，对于平面ABC 上任意一点O，动点P 满足 | ＝ |
＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．
解析：依题意，由 | ＝ | ＋λa＋λb， | ＝λ | ， | |||
得 | － | ＝λ(a＋b)， | |||||
即 | ＝λ( | ＋ | )． | ||||
如图，以AB，AC 为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，则 | |||||||
∴A，P，D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点.
自助餐·选做题
1．在△ABC 所在平面上有一点P，满足 | ＋ | ＋ | ＝ | ，则△PAB 与△ABC 的面积 |
之比是()
A.B.C.D.
解析：∵ | ＋ | ＋ | ＝ | ， | |
∴ | ＝ | ||||
－ | － | ||||
＝ | － | － | ＋ | ||
＝ | － | ＝ | |||
＝2 | . | ||||
∴A，P，C三点共线，P为AC的三等分点，
∴ | ＝ | ＝. |
答案：A
2．(2011·泉州模拟)已知点O、A、B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且 ＝
，则()
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB的反向延长线上
C．点P在线段AB的延长线上
D．点P不在直线AB上
解析：由 | ＝ | － | ，得2 | ＝3 | － | ， | |
即2( | － | )＝ | ，即2 | ＝ | ＝－ | ， | |
即 | ＝－ | ， | |||||
∴P在线段AB的反向延长线上.
答案：B
3．过△ABC 的重心G 作一直线分别交AB，AC 于D，E，若 | ＝x | ， | ＝y | ， |
xy≠0，则＋的值为______．
解析：如图所示，题目中未说明是什么直线，可取特殊直线，令直线与BC平行，则
＝ | ， | ＝ | ， |
∴x＝y＝，
∴＋＝＋＝3.
答案：3
4．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足 | ＝ | ＋ | ，则△ABM 与△ABC |
的面积之比为______．
解析：如图．
∵ | ＝ | ＋ | ， | ， | ， |
∴4 | ＝3 | ＋ | ， | ||
3 | ＋ | ＝3 | ＋ | ||
∴3( | － | )＝ | － | ||
∴3 | ＝ | . |
故B、C、M三点共线．
设 | ＝ | ， | ＝ | ，则四边形AEMD 是平行四边形．易知| | |＝| | |，于是点M |
到直线AB的距离是点C到直线AB的距离的.
故△ABM与△ABC的面积之比为.
答案：
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