练习题答案12

练习题

一、最佳选择题

1．SY,X表示( )。

ˆ对Y的离散程度 C．Y和X的离散程度 Ａ．Ｙ的离散程度 B．Yˆ的离散程度 Ｅ．X的离散程度 D．Y对Y2. 用最小二乘法确定直线回归方程的原则是各观察点距直线的（ ）。

A． 纵向距离之和最小 B．纵向距离的平方和最小 C．垂直距离之和最小 D．垂直距离的平方和最小确 E．纵向距离的平方和最大

3． Y＝14＋4X 是1－7岁儿童以年龄（岁）估计体重（市斤）的回归方程，若体重 换成国际单位kg，则此方程（ ）。

A． 截距改变 B． 回归系数改变 C． 两者都改变 D．两者都不改变 E．相关系数改变

4．直线回归系数假设检验，其自由度为（ ）。

A. n B. n-1 C. n-2 D. 2n-1 Ｅ. 2(n-1)

 5. 当r＝0时，Y＝a＋bX 回归方程中（ ）。

A．a必大于零 B．a必等于X C．a必等于零 D．a必等于Y E．a必等于b

6．在多元线性回归分析中,应变量总离均差平方和可以分解为回归平方和与残差平方和 两部分，试回答残差系指 ( )。

ˆ之差 A．观察值Yi与估计值Yi B．观察值Yi与平均值Y之差

ˆ与平均值Y的平方和之差 C．估计值YiD．观察值Yi与平均值Y之差的平方和

ˆ之差的平方和 E．观察值Yi与估计值Yi

二 、问答题

1．用什么方法考察回归直线是否正确？

2．简述回归系数方差分析Y的平方和自由度的分解。

3．简述回归分析中Y的标准差SY与剩余标准差SY,X的区别和联系。

4． 简述SYˆ与SY的区别。

05．举例说明如何用直线回归方程进行预测和控制？ 6．直线回归分析时怎样确定自变量和因变量？ 7．简述曲线回归常用的几种曲线形式。 三、计算题

1．一个产科医师发现孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有关，并且两者之间成正相关。现收集了31例待产妇24小时的尿，测量其中的雌三醇含量，同时记录产儿的体重。结果如下表，求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

待产妇尿中雌三醇含量与新生儿体重关系

编号 尿雌三醇 新生儿体重 编号 尿雌三醇 新生儿体重 （mg/24h） （kg ） （mg/24h） （kg） （1） (2) (3) （4） (2) (3) 1 7 2.5 17 17 3.2 2 9 2.5 18 25 3.2 3 9 2.5 19 27 3.4 4 12 2.7 20 15 3.4 5 14 2.7 21 15 3.4 6 16 2.7 22 15 3.5 7 16 2.4 23 16 3.5 8 14 3.0 24 19 3.4 9 16 3.0 25 18 3.5 10 16 3.1 26 17 3.6 11 17 3.0 27 18 3.7 12 19 3.1 28 20 3.8 13 21 3.0 29 22 4.0 14 24 2.8 30 25 3.9 15 15 3.2 31 24 4.3 16 16 3.2

2．为探讨某地饮水中氟含量与氟骨症的关系，试对测量得到的下列8对数据进行直线相 关分析 。

氟含量（mg/L）X： 0.47 0. 1.00 1.47 1.60 2.86 3.21 4.71

患 病 率（％）Y： 22.37 23.31 25.32 22.29 28.57 35.00 46.07 46.08

（1）按此资料绘制散点图？

（2）求直线回归方程并对回归系数作假设检验。

（3）试估计氟含量为2.00 mg/L时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并 说明其含义。

（4）求氟含量为2.00 mg/L时，患病率Y值的95％的容许范围，并解释其含义。

练习题参

一、最佳选择题：

1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A

二 、问答题

1．答：用以下三种方法判定： （1）直线必须通过点（X，Y）。

（2）若纵坐标、横坐标无折断号，将此线左端延长与纵轴相交，焦点的纵坐标必等于截距a。

（3）直线是否在自变量X的实测范围内。

2．答：SS总即（Y－Y），为反应变量Y的离均差平方和，表示在未考虑X与Y的回归关系时Y的变异，可分解为两部分的变异，一部分为回归平方和，另一部分为剩余平方和，分别用SS回和SS剩表示。这三个平方和，各有其相应的自由度，其关系为：总＝回＋残，

2总n1，回＝1，残＝n-2。

3．答：SY表示在总体中，当X为某一定值时，个体Y值的波动范围。而剩余标准差SY,X是指当X对Y的影响被扣除后，Y方面仍有变异。这部分变异与X无关，纯属抽样变异。当

X与X接近且充分大时，可用SY,X代替SY。

4．答：Y是X对应Y的总体均数的一个样本估计值，S是反映其抽样误差大小的标准

Y误，其计算公式为SSYXY(x0X)211(x0X)2SYX；SY0是反映个体Y值2n(XX)nlXX的容许区间大小的，也就是说当总体中X为某定值时，Y值由于随机误差影响在Y0上下波动的范围的大小就取决于标准差

SY0，其计算公式为

SY0SYX(x0X)211(x0X)21SYX1。 2n(XX)nlXX5．答：步骤如下：

（1）根于研究目的确定预报因子（X）和预报量（Y），由X估计Y值，收集资料。

（2）建立预报方程YabX，并进行回归系数假设检验。若P小于检验水准，则回归

方程成立。

（3）根据回归方程在X实测范围内对Y进行预测，并计算X为某定值时，个体Y值波动范围（容许区间）。例如：1－7岁儿童，X为年龄，Y为体重，可根据年龄预测（估计）体重。

统计控制是利用回归方程进行逆估计，如要求因变量Y值在一定范围内波动，可以通过控制自变量X的取值来实现。步骤同前。例如：针刺哑门穴，进针深度Y与颈围X间存在直线关系，可根据X取值达到控制Y的目的。

6．答：

（1）Ⅰ型回归中，X为精密测定和严格控制的变量，Y为正态变量。表示原因的为X，表示结果的为Y。

（2）Ⅱ型回归中，X、Y均为服从正态分布的随机变量，互为因果，可计算两个回归方程。何者为X，何者为Y，根据研究目的确定。如身高、体重两变量，若目的只是由身高估计体重，则确定X为身高，Y为体重。

7．答：曲线回归常用的几种曲线形式有： （1）指数函数（Ye升而下降。

（2）幂函数（YaX），当b＞0时，Y随X上升而上升；当b＜0时，Y随X上升而下降。

（3）对数函数（YablnX），当b＞0时，Y随X上升而上升，先快后慢；当b＜

b(abX)），当b＞0时，Y随X上升而上升；当b＜0时，Y随X上

0时，Y随X上升而下降，先快后慢。

（4）logistic函数（Y1），当b＞0时，Y随X上升而下降；当b＜0时，Y随

1eabXX上升而上升。

三、计算题 1．解： （1）计算获得：

X534，X29876，Y99.2，Y2324.8，XY1750，

X3.2，Y17.23

XXYY1750XX253499.241.20

3153429876677.42

31XXYY4120.061 代入公式：b677.42XXaYbX3.20.06117.232.15 ˆabX21.50.061X Y（2）回归系数假设检验：

H0:0，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重有直线关系

H1:0，即孕妇尿中雌三醇含量与产儿体重无直线关系 0.05

由上面的计算结果：

XX677.42，YY6.74，XXYY4.12

22241.2YYˆ6.74677.424.23

4.230.38SX.Y0.38，Sb0.15

312677.420.61所以，t4.14

0.15自由度v31229，查t值表，t0.01/2,292.756，P0.01，按0.05检验水准，

2拒绝H0，认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与产儿体重之间存在线性回归关系。

2．解：

(1) 散点图如下

50403530252015105000.511.522.533.4.55氟含量（mg/L）氟含量与患病率的散点图患病率（%） (2) 由原始数据及散点图初步分析，估计本资料有直线趋势，故作下列计算

X15.96，X47.02，X2.00

Y249.01，Y8468.78，Y31.13，XY594.25

X15.96lX47.0215.18 n8Y249.01lY8468.78718.03 n8XY594.2515.96249.0197.48

lXYn822222XX222YYXY

blXY97.486.42 lXX15.18aYbX31.136.422.0018.29

回归系数假设检验：

H0:0，即氟含量与患病率之间无线性关系 H1:0，即氟含量与患病率之间有线性关系 0.05

SS总lYY718.028

lXY97.482 SS回625.983

lXX15.18 SS剩SS总SS回718.028625.98392.045

①方差分析（见表）：

方差分析表

变异来源 回归 剩余 总变异

SS 625.983 92.045 718.028

df 1 6 7

MS 625.983 15.341

F 40.805

P ＜0.01

2计算得F16.147，查F界值表，得P＜0.01，按0.05水准，拒绝H0，接受H1，可认为氟含量与患病率间有直线关系。 ② t检验：

H0:0，即氟含量与患病率之间无线性关系 H1:0，即氟含量与患病率之间有线性关系 0.05

SS总lYY718.028

lXY97.482 SS回625.983

lXX15.18SS剩SS总SS回718.028625.98392.045

2SS剩92.053.92 n282b0b6.42t6.38

SbSY•XlXX3.9215.18SY•X 按v6，查t界值表，得P0.001，按0.05水准，拒绝H0，接受H1，结论同上。

ˆabX18.296.42X来描述本题F40.816.39t，故可用直线回归方程Y患病率与增加氟含量的关系。

ˆ）绝对值特大的观测数据见表 异常点即对应于（YY残差的计算

ˆ YYˆ 序号 X Y Y1 0.47 22.37 21.31 1.06 2 0. 23.31 22.40 0.91 3 1.00 25.32 24.71 0.61 4 1.47 22.29 27.72 －5.44

5 1.60 28.57 28.56 0.01 6 2.86 35.00 36.65 －1.65 7 3.21 46.07 38.90 7.17 8 4.71 46.08 48.53 －2.45

由散点图及残差分析，第一点（X＝1.47，Y＝22.29）为可疑的异常点。 根据以上的计算结果，进一步求其总体回归系数的95％可信区间。 总体回归系数的95％可信区间

(bt0.05,(n2)Sb,bt0.05,(n2)Sb)(6.422.4473.9215.18,6.422.4473.9215.18)(3.96,8.88)Y23.213.96X,Y13.378.88X

按回归系数的95％可信区间下限和上限分别代入aYbX，得a123.21,a213.37。回归系数的95％可信区间上、下限对应的两条直线，回归方程为：

（3）估计氟含量为2.00mg/L时，患病率平均增加多少，计算其95％的可信区间，并说明含义。

SYSY*X1n(x0X)(XX)23.9218(2.002.00)215.181.39

当X＝2.00mg/L时，Yˆ的95％可信区间：

ˆtˆt(Y31.13＋2.447×1.39)＝（27.73，34.53） Yˆ，ˆ)＝(31.13－2.447×1.39，0.05/2,6SY0.05/2,6SY即总体中，氟含量为2.00mg/L时，患病率平均增加31.13mg/L，其95％的可信区间为（27.73，34.53mg/L）。

其含义为：当氟含量为2.00mg/L时，相应的平均增重服从一个正态分布（此正态分布的样本均数估计值为31.13mg/L），如果从此正态分布中重复抽样100次，这100个可信区间中理论上将有95个区间包含真正的总体均数（虽然这个总体均数真值是未知的）。 （4）求氟含量2.00mg/L时，患病率Y值的95％可信区间，并解释其含义。

SYSY*X11n(x0X)(XX)23.92118(2.002.00)215.184.16ˆ18.296.42X31.13，个体Y值的95％可信区间： 当x＝2.00mg/L时，Yˆtˆt(Y31.13＋2.447×4.16)＝（21.95，41.31） Yˆ，ˆ)＝(31.13－2.447×4.16，0.05/2,6SY0.05/2,6SY即估计，总体中，氟含量为2.00mg/L时，由95％的患病率增加体重在20.95，41.31mg/L范

围内。