概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社之欧阳计创编

概率论与数理统计课

后习题答案

时间：2021.02.11 创作：欧阳计 高等教育出版社 习题1.1解答

1.将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,B,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。

解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反）C(正，正)，（正，反），（反，正）

2.在掷两颗骰子的试验中，事件A,B,C,D分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件

AB,AB,AC,BC,ABCD中的样本点。 解：

(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),(2,2),,(2,6),,(6,1),(6,2),,(6,6)；AB(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)；

AB(1,1),(1,3),(1,5),,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；AC；BC(1,1),(2,2)；

ABCD(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)

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3.以A,B,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,B,C表示以下事件：

（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；

（3）只订一种报； （4）正好订两种报；

（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；

（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；

（9）三种报纸不全订阅。

解：（1）ABC； （2）ABC； （3）ABCABCABC；（4）ABCABCABC; （5）ABC；（6）ABC； （7）

ABCABCABCABC或ABACBC（8）ABC； （9）ABC

4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：A2,A2A3,A1A2,A1A2,A1A2A3,A1A2A2A3A1A3.

解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。

5.设事件A,B,C满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：ABC，ABC，BAC.

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解：如图：

6.若事件A,B,C满足ACBC，试问AB是否成立？举例说明。

解：不一定成立。例如：A3,4,5，B3，C4,5，那么，ACBC，但AB。

7.对于事件A,B,C，试问A(BC)(AB)C是否成立？举例说明。

解：不一定成立。 例如：A3,4,5，B4,5,6，C6,7，那么A(BC)3，但是(AB)C3,6,7。

8. 设P(A)1，P(B)1，试就以下三种情况分

32别求P(BA)：

（1）AB，（2）AB，（3）P(AB)1.

8解：（1）P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)1；

2（2）P(BA)P(BA)P(B)P(A)1；（3）

6113P(BA)P(BAB)P(B)P(AB)。

28. 已知P(A)P(B)P(C)1，P(AC)P(BC)1，

416P(AB)0求事件A,B,C全不发生的概率。

解：

P(ABC)PABC1P(ABC)=

1P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)111113100

1616844410.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设

各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红

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灯”=“全红”；B“全绿”；C“全黄”；D“无红”；E“无绿”；F“三次颜色相同”；G“颜色全不相同”；H“颜色不全相同”。

解：P(A)P(B)P(C)1111；

33327P(D)P(E)2228；P(F)1111；3332727272793!218P(G)；P(H)1P(F)1.

33399911.设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：

（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。

解：一次拿3

21C98C2件：（1）P30.0588；

C1001221C2C98C2C98（2）P0.0594；每次拿一件，3C100298230.0576；取后放回，拿3次：（1）P3100983 （2）P130.0588；每次拿一件，取后

100不放回，拿3次：（1）P2989730.0588；

1009998 （2）P19897960.0594

100999812.从0,1,2,,9中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： A1三个数字中不含0与5，A2三个数字中不含0或5。

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333C82C9C8714解：P(A1)3；P(A2)或315C1015C101C814P(A2)13

C101513.从0,1,2,,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。

5P934P8241解：P 490P1014.一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件

的概率：

（1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；

116解：（1）P160.41； （2）

12414C6112C12C6112P0.00061；（3）P0.0073 66121215.从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

13121C4C13C4C13C39解：P0.602或3C523111C4C13C13C13P10.602 3C52习题1.2解答

1.假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。

解：令Ai“取到的是i等品”，

i1,2,3P(A1A3)P(A1A3)P(A1)0.62。

P(A3)P(A3)0.93欧阳计创编 2021..02.11

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2.设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解：令A“两件中至少有一件不合格”，B“两件都不合格”

P(AB)P(B)P(B|A)P(A)1P(A)2C42C102C101C621 53.为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求

（1） 两种报警系统I和II都有效的概率； （2） 系统II失灵而系统I有效的概率； （3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的

概率。

解：令A“系统（Ⅰ）有效”，B“系统（Ⅱ）有效”则P(A)0.92,P(B)0.93,P(B|A)0.85（1）

P(AB)P(BAB)P(B)P(AB)P(B)P(A)P(B|A)0.93(10.92)0.850.862（2）P(BA)P(AAB)P(A)P(AB)0.920.8620.058（3）

P(AB)0.058P(A|B)0.8286

P(B)10.934. 设0P(A)1，证明事件A与B的充要条件是

证：：A与B，A与B也。P(B|A)P(B),P(B|A)P(B)P(B|A)P(B|A)：

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0P(A)10P(A)1又P(B|A)P(AB)P(AB)而由题设,P(B|A)P(A)P(A)P(AB)P(AB)即P(B|A)P(B|A)P(A)P(A)A与B。

[1P(A)]P(AB)P(A)[P(B)P(AB)]P(AB)P(A)P(B)，故

5. 设事件A与B相互，两个事件只有A发

生的概率与只有B发生的概率都是1，求P(A)和

4P(B).

解：P(AB)P(AB)1，又A与B

4P(AB)P(A)P(B)[1P(A)]P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)[1P(B)]P(A)P(B),P(A)P2(A)14141 即P(A)P(B)1。 426. 证明 若P(A)>0，P(B)>0，则有

（1） 当A与B时，A与B相容； （2） 当A与B不相容时，A与B不。

证明：P(A)0,P(B)0（1）因为A与B，所以P(AB)P(A)P(B)0，A与B相容。（2）因为P(AB)0，而P(A)P(B)0，P(AB)P(A)P(B)，A与B不。

7. 已知事件A,B,C相互，求证AB与C也。

证明：因为A、B、C相互，

P[(AB)C]P(ACBC)欧阳计创编 2021..02.11

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P(AC)P(BC)P(ABC)AB与C独P(A)P(C)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)[P(A)P(B)P(AB)]P(C)P(AB)P(C)立。

8. 甲、乙、丙三机床工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。

解：令A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么P(A1)0.7,P(A2)0.8,P(A3)0.9令B表示最多有一台机床需要工人照顾，那么

P(B)P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)0.70.80.90.30.80.90.70.20.80.70.80.1 0.9029. 如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0p1)，（称为元件的可靠性），假设各元件能否正常工作是相互的，计算下面各系统的可靠性。

系统I

1 n+1 1 2 n+2 2 n 2n n 解：令系统II A“系统（Ⅰ）正常工作”B“系统n+1 n+2 2n （Ⅱ）正常工作”Ai“第i个元件正常工作”，i1,2,,2nP(Ai)P,A1,A2,,A2n相互。那么P(A)P(A1A2An)(An1An2A2n)P(A1A2An)P(An1An2A2n)P(A1A2A2n)P(Ai)i1nin1P(A)P(A)iii12n2n2PnP2nPn(2Pn)欧阳计创编 2021..02.11

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P(B)P[(A1An1)(A2An2)(AnA2n)]P(AiAni)i1nn[P(Ai)P(Ani)P(Ai)P(Ani)]

i1n[2PP2]Pn(2P)ni110. 10张奖券中含有4张中奖的奖券，每人购买1张，求

（1） 前三人中恰有一人中奖的概率； （2） 第二人中奖的概率。

解：令Ai“第i个人中奖”，i1,2,3(1)

P(A1A2A3A1A2A3A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)12C4C61465651或P310981098109822C10（2）

P(A2)P(A1)P(A2|A1)P(A1)P(A2|A1)432 109109511. 在肝癌诊断中，有一种甲胎蛋白法，用这种方法能够检查出95%的真实患者，但也有可能将10%的人误诊。根据以往的记录，每10 000人中有4人患有肝癌，试求：

（1）某人经此检验法诊断患有肝癌的概率；

（2）已知某人经此检验法检验患有肝癌，而他确实是肝癌患者的概率。

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解：令B“被检验者患有肝癌”，A“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么，P(A|B)0.95,P(A|B)0.10,P(B)0.0004（1）

P(A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00040.950.99960.10.10034（2）

P(B)P(A|B)P(B|A)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)0.00040.950.0038 0.00040.950.99960.1 12. 一大批产品的优质品率为30%，每次任取1件，连续抽取5次，计算下列事件的概率：

（1）取到的5件产品中恰有2件是优质品；

（2） 在取到的5件产品中已发现有1件是优质品，这5件中恰有2件是优质品。

解：令Bi“5件中有i件优质品”，i0,1,2,3,4,5（1）P(B2)C52(0.3)2(0.7)30.3087（2）

P(B2|Bi)P(B2|B0)i15P(B2B0)P(B0)P(B2)0.30870.371

1P(B0)1(0.7)5 13. 每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的。开箱检验时，从中任取1件，如果检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收。假设由于检验有误，1件正品被误检是次品的概率是2%，1件次品被误判是正品的概率是5%，试计算：

（1）抽取的1件产品为正品的概率；

（2）该箱产品通过验收的概率。解：令A“抽取一件产品为正品”Ai“箱中有i件次

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B“该箱产品通过验收”品”，i0,1,222（1）P(A)P(Ai)P(A|Ai)110i0.910i0i03（2）

P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.90.980.10.050.887

14. 假设一厂家生产的仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，并以概率0.20定为不合格品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互），求：

（1）全部能出厂的概率；

（2）其中恰有2件不能出厂的概率；

（3）其中至少有2件不能出厂的概率。解：

令A“仪器需进一步调试”；B“仪器能出厂”A“仪器能直接出厂”；AB“仪器经调试后能出厂”显然BAAB，那么

P(A)0.3,P(B|A)0.8P(AB)PA)P(B|A)0.30.80.24所以

P(B)P(A)P(AB)0.70.240.94令Bi“n件中

恰有i件仪器能出厂”，i0,1,,n（1）P(Bn)(0.94)n（2）

n22P(Bn2)Cn(0.94)n2(0.06)2Cn(0.94)n2(0.06)2

（n3）2k0 15. 进行一系列试验，每次试验成功的概率均为p，试求以下事件 的概率：

（1）直到第r次才成功；

（2）第r次成功之前恰失败k次；

（3）在n次中取得r(1rn)次成功；

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1P(Bk)1P(Bn1)P(Bn)1Cn0.06(0.94)n1(0.94)n

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（4）直到第n次才取得r(1rn)次成功。

1rk解：（1）Pp(1p)r1（2）PCrrk1p(1p)1rnr（3）PCnrpr(1p)nr（4）PCnr 1p(1p)16. 对飞机进行3次射击，第一次射击命中率为0.4，第二次为0.5，第三次为0.7. 击中飞机一次而飞机被击落的概率为0.2，击中飞机二次而飞机被击落的概率为0.6，若被击中三次，则飞机必被击落。求射击三次飞机未被击落的概率。

解：令Ai“恰有i次击中飞机”，i0,1,2,3B“飞机被击落”显然：

P(A0)(10.4)(10.5)(10.7)0.09P(A1)0.4(10.5)(10.7)(10.4)0.5(10.7)(10.4)(10.5)0.70.36P(A2)0.40.5(10.7)0.4(10.5)0.7(10.4)0.50.70.41P(A3)0.40.50.70.14而P(B|A0)0，P(B|A1)0.2，

P(B|A2)0.6，P(B|A3)1所以

P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.458；

i03P(B)1P(B)10.4580.2

1.

习题1.3解答

设X为随机变量，且P(Xk)则

（1）

1(k1,2,), 2k判断上面的式子是否为X的概率分布； （2） 若是，试求P(X为偶数）和P(X5). 解：令P(Xk)pk1,k1,2,（1）显然k2110pk1，且pkk211 所以

12k1k12欧阳计创编 2021..02.11

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1,k1,2,为一概率分布。（2）P(X为2kP(Xk)偶数

)p2kk11112k41143k12511P(X5)pkk21

1216k5k5212.设随机变量X的概率分布为

kCP(Xk)e(k1,2,), 且0，求常数C.

k!解：ck1kk!e1，而k0kk!e01c1e1，

0!即c(1e)1

3.设一次试验成功的概率为p(0p1)，不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布。

解：P(Xk)p(1p)k1,k1,2,

4.设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1，当生产过程中出现废品时立即进行调整，X代表在两次调整之间生产的合格品数，试求

（1）X的概率分布； （2）P(X5)。 解：（1）P(Xk)(1p)kp(0.9)k0.1,k0,1,2,（2）P(X5)P(Xk5k)(0.9)k0.1(0.9)5

k55.一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？

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413151530P(X4)C()4C5()()

4444解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为

11p，所以这是一个n5,p的重复试验。

46.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互。

（1）若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；

（2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？

解：（1）1(0.99)20200.01(0.99)190.0175（按Poisson(泊松)分布近似）（2）

n100,np1000.011（按Poisson(泊松)分布近似）

P(XN1)kN1C100k100(0.01)(0.99)k100k1ke10.01查

k!kN1100表得N4

7.设随机变量X服从参数为的Poisson(泊松)分布，且P(X0)1，求

2 （1）； （2）P(X1). 解：

P(X0)1,ln20!2P(X1)1P(X1)1[P(X0)P(X1)]1111[ln2](1ln2)

222e0欧阳计创编 2021..02.11

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8.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。

解：P(X1)P(X2)，即

11!e22!e,2P（X0）e2P(e2)4e8

9.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到

紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；

（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

9.在长度为t的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为2t的Poisson(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）. 求

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；

（2）某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；

解：（1）t3,3P(X0)e2（2）

255t5,P(X1)1P(X0)1e2

2310.已知X的概率分布为： X -2 -1 0 1 2 3 欧阳计创编 2021..02.11

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P 2a 110 3a a a 2a 试求（1）a； （2）YX21的概率分布。

解：（1）2a13aaa2a1a1。

1010（2）

Y P 1038 3131 10510511.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.

f (x) 试求:（1）t的值； （2）X的概率密度； （3）P(2X2). 0.5 1t)0.50.531t1（2）解：（1）1 ( o t 22 1 2 3 x 11x,x[1,0图)1.3.8 2211f(x)x,x[0,3)（3）

26，其它0111111 P（2X2)(x)dx(x)dx226212100212.设连续型随机变量X的概率密度为

试确定常数a并求P(X).

6a0a1，即解：令f(x)dx1，即sinxdx1cosx0cosa0,a2P(X622)sinxdxcosx|63 2613.乘以什么常数将使exx变成概率密度函数?

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解：令 cex2xdx1即ce1(x)22edx1即

14ce141c1e

1414.随机变量X~N(,2)，其概率密度函数为

f(x)1e62x4x46 (x)

C试求,2；若已知C解：f(x)3若

2f(x)dx1f(x)dx，求C.

e(x2)22(3)216cex24x46232 ,

f(x)dxf(x)dx，由正态分布的对称性可

c知 c2.

15.设连续型随机变量X的概率密度为

以Y表示对X的三次重复试验中“X1”出

2现的次数，试求概率P(Y2).

解：P(X11139)2xdxP(Y2)C32()2()。 244401216.设随机变量X服从[1,5]上的均匀分布，试求P(x1Xx2). 如果

（1）x11x25； （2）1x15x2.

解：X的概率密度为

x21,1x5（1）f(x)4其他0,P(x1Xx2)P(x1Xx2)11dx(x21)（2）441511dx(5x1) 44x1欧阳计创编 2021..02.11

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17.设顾客排队等待服务的时间X（以分计）服从1的指数分布。某顾客等待服务，若超过

510分钟，他就离开。他一个月要去等待服务5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开的次数，试求Y的概率分布和P(Y1).

解：

P(X10)1P(X10)1[1e]e2kP(Yk)C5(e2)k(1e2)5k,k0,1,2,3,4,5P(Y1)1(1e2)50.5167

1105习题1.4解答

1.已知随机变量X的概率分布为P(X1)0.2，P(X2)0.3，P(X3)0.5，试求X的分布函数；P(0.5X2)；画出F(x)的曲线。

0,x10.2,1x2解：F(x) 0.5,2x31,x3；

P(0.5X2)0.5F(x)曲线：

F(x)X的分布函数为 2. 设连续型随机变量试求:（1）X的概率分布；（2）P(X2|X1). 解：（1） 1X 113 0.500..40.40.2 2P(X1)23 （2）P(X2|X01)12P(X1)3P x 3.从家到学校的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互的，且概率

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均是0.4，设X为途中遇到红灯的次数，试求（1）X的概率分布；（2）X的分布函数。

解：（1）P(Xk)C3k(2)k(3)3k,k0,1,2,3 列成表

55格

0123 27368p 125125125125,x0027,0x112581（2）F(x),1x2 125117,2x3125,x31X 4.试求习题1.3中第11题X的分布函数，并画

出F(x)的曲线。

01211xx424解：F(x)111x2x24121x11x0

0x3x35. 设连续型随机变量X的分布函数为

试求:（1）A,B的值；（2）P(1X1)；（3）概率密度函数f(x).

(ABe2x)1A1又解：（1）F()xlim2xlim(ABe)F(0)0BA1（2）x0P(1X1)F(1)F(1)1e2（3）

2e2x,x0 f(x)F'(x),x006. 设X为连续型随机变量，其分布函数为

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试确定F(x)中的a,b,c,d的值。

解： F()0a1又F()1lim(bxlnxcx1)a0c1又x1d1 又

lim(bxlnxx1)d1xebee11 即b1

a，2(1x)7.设随机变量X的概率密度函数为f(x)试确定a的值并求F(x)和P(X解：a1).

adx1即 2(1x)arctanx|1a1a11dtarctanx,x22(1t)P(|X|1)F(1)F(1) 1111(arctan1)[arctan(1)]0.522F(x)x8.假设某地在任何长为t(年)的时间间隔内发生地

震的次数N(t)服从参数为0.1的Poisson(泊松)分布，X表示连续两次地震之间相隔的时间（单位：年），试求:

（1）证明X服从指数分布并求出X的分布函数；

（2）今后3年内再次发生地震的概率；

（3）今后3年到5年内再次发生地震的概率。

解：（1） 当t0时，

P(Xt)P(N(t)0)e0.1tF(t)P(Xt)1P(Xt)1e0.1t 当t0时，

1e0.1xF(t)0F(x)0x0Xx0服从指数分布

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（0.1）（2）F(3)1e0.130.26（3）

F(5)F(3)0.13

9. 设X~N(1,16)，试计算（1）P(X2.44)；

（2）P(X1.5)；（3）P(X4)；（4）P(X11).

解：（1）P(X（2）

P(X1.5)1P(X1.5)1.5111()1()0.98（3）

48414153P(|X|4)()()()()444453()()10.6678（4）

44P(|X1|1)P(X0)(X2)P(X0)P(X2)012113()1()()1()0.8253

44442.44)(2.44(1)3.44)()0.805144P(X60)P(X60)6070P(X60)10.8413(1)1010.某科统考成绩X近似服从正态分布N(70,102)，第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分？

解：P(Xx|X60)20而

100P(Xx)(X60)P(Xx)P(Xx|X60)又

P(Xx)0.20.84130.16826即

x70x70P(Xx)1(1)0.168260.831741010，x700.96，x79.6

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11. 设随机变量X和Y均服从正态分布，X~N(,42)，Y~N(,52)，而p1P(X4)，p2P(Y5)，试证明 p1p2. 证明：

4p1P(X4)(1)45p2P(Y5)11(1)(1)p1p2.

512. 设随机变量X服从[a,b]上的均匀分布，令

YcXdc0，试求随机变量Y的密度函数。

yd1yd,abfX解：fY(y)c|c|当c0c0,其它1,cadycbd时，fY(y)当c0时，c(ba)0,其他1,cbdycadfY(y)c(ba)

0,其他时间：2021.02.11 创作：欧阳计 欧阳计创编 2021..02.11