天津工业大学2004-2005试题及答案

一、填空题 （每小题3分，共12分）

xaaaaxaa1 行列式

aaxaaaax002 设矩阵A100010010000000，则矩阵A的秩R(A)

11101011111，则(A)10A 233 设A为三阶矩阵，A为其伴随矩阵，A4 设向量组（I）：1,2,,s和向量组（II）：1,2,,t的秩分别是r1和r2，且（I）中每个向量都可由（II）线性表示，则r1和r2的关系是 二、选择题（每小题3分，共12分）

1 排列246(2n)135(2n1)的逆序数为（ ） （A）n （B）0 （C）

n(n1)n(n1) （D） 222 一个n维向量组1,2,,s（s1）线性相关的充分必要条件是（ ） （A）含有零向量

（B）有两个向量的对应分量成比例 （C）有一个向量是其余向量的线性组合 （D）每一个向量是其余向量的线性组合

23 已知f(x)x2x1，方阵A的特征值为1,0,1，则f(A)的特征值为（ ）

（A）2,1,2 （B）2,1,2 （C）2,1,2 （D）2,0,2

4 二次型f(x1,x2,x3)(1)x1x2(1)x3，当满足（ ）时是正定二次型。 （A）1 （B）0 （C）1 （D）1

222111x111x11三、（10分）计算行列式D

1x111x1111四、计算下列各题（每小题8分，共24分）

1 讨论向量组1(1,1,0)T，2(1,3,1)T，3(5,3,t)T的线性相关性。 2 解矩阵方程

12342134X1213 1001003 已知矩阵A001与B0y0相似，求x与y。

01x001五、计算题（15分）当c,d取何值时，线性方程组

x1x2x3x4x513x2xxx3xc12345 x22x32x46x535x14x23x33x4x5d有解？在有解时，求出它的通解。

222六、计算题（15分） 求一个正交变换xCy，将二次型f(x)4x13x23x32x2x3

化为标准形。

七、解答下列各题（每小题6分，共12分） 1 设方阵A满足AA2EO，

证明：矩阵A及A2E都可逆，并求A及(A2E).

2 设1,2是某个齐次线性方程组的基础解系，问12，212是否也可构成该方程组的基础解系？并证明所得结论。

1212004-2005学年线性代数试题参考答案

一．填空题 （每小题3分，共12分）

xaaaaxaa1 行列式(x3a)(xa)3

aaxaaaax002 设矩阵A100010010000000，则矩阵A的秩R(A)5

11101011111，则(A)10A16 233 设A为三阶矩阵，A为其伴随矩阵，A4 设向量组1,2,,s（I）和向量组1,2,,t（II）的秩分别是r1和r2，且（I）中每个向量都可由（II）线性表示，则r1和r2的关系是r1r2 二、选择题（每小题3分，共12分）

1 排列246(2n)135(2n1)的逆序数为（ D ） （A）n （B）0 （C）

n(n1)n(n1) （D） 222 一个n维向量组1,2,,s（s1）线性相关的充分必要条件是（ C ） （A）含有零向量

（B）有两个向量的对应分量成比例 （C）有一个向量是其余向量的线性组合 （D）每一个向量是其余向量的线性组合

23 已知f(x)x2x1，方阵A的特征值为1,0,1，则f(A)的特征值为（ A ）

（A）2,1,2 （B）2,1,2 （C）2,1,2 （D）2,0,2

2224 二次型f(x1,x2,x3)(1)x1x2(1)x3，当满足（ C ）时，是正定二次型。

（A）1 （B）0 （C）1 （D）1

111x111x11三、（10分）计算行列式D

1x111x1111xx解：原式xx11x1111x1111x1111x1100xxx1111x1110x1111111001x10xx4

xx0x1x1xx

0x0x110xx0000

四、计算下列各题（每小题8分，共24分）

1 讨论向量组1(1,1,0)，2(1,3,1)，3(5,3,t)T的线性相关性。

TT511511511解：(1,2,3)133~022~011

01t01t00t1当t1时，向量组线性无关；

当t1时，向量组线性相关。

2 解矩阵方程

12342134X1213 122134解：X341312 

1114221124() 2311310131127 10219100100A001B0y03 已知矩阵与相似，求x与y。

01x001解： A与B相似 A与B的特征值相等 而B的特征值为1,y,1 故A的特征值也为1,y,1

1y(1)10x100由特征值的性质知

1y(1)A00101x即

1y(1)10xx0 故

1y(1)1y1五、计算题（15分）当c,d取何值时，线性方程组

x1x2x3x4x513x2xxx3xc12345 x22x32x46x535x14x23x33x4x5d有解？在有解时，求出它的通解。

解：对增广矩阵做初等行变换

13B0510~0010101214102011231020111326311060111111c01226~301226d0122611001200120016001c3 3d511c0~030d2013

cd2可知：当c0,d2时，方程组有无穷多解。 其通解为

x11152x22263xc1c0c00

2313x40100x00105其中c1,c2,c3为任意常数。

222六、计算题（15分） 求一个正交变换xCy，将二次型f(x)4x13x23x32x2x3

化为标准形。

400解：二次型的矩阵形式为A031

0134令AE000031(4)2(2)0 13得特征值为4,4,2

10当4时，解方程组(A4E)x0，得10，21

010显然，11,2是正交的，单位化为P10，P201220当2时，解方程组(A2E)x0，得31

10单位化为P132

12x100故正交变换为1x11y120x2y2 301221y32且有f(y)4y22214y22y3

七、解答下列各题（每小题6分，共12分） 1 设方阵A满足A2A2EO，

证明：矩阵A及A2E都可逆，并求A1及(A2E)1

1 证明：A(AE)2E 故A( 可知A可逆，A1AE)E 2AE 2(A2E)(A3E)A2A6E2E6E4E

故(A2E)(A3E)E 41 可知A2E可逆，(A2E)

A3E 42 设1,2是某个齐次线性方程组的基础解系，问12，212是否也可构成该方程组的基础解系？并证明所得结论。 解：显然12，212是该方程组的解 下证12，212的线性无关性

设有一组数1，2，使得1(12)2(212)0 即(122)1(12)20 1,2线性无关，故1220

12012而30 11故方程组只有零解，故12，212线性无关 于是12，212可构成该方程组的基础解系。