一、幂的运算易错压轴解答题
1．对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果ax=N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN，例如：32=9，则log39=2，其中a=10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN.当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(M•N)=logaM+logaN. （1）解方程：logx4=2； （2）log28=________
（3）计算：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018=________(直接写答案)
2．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个的等式，这个等式可以为________；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值； ②若三个实数x，y，z满足2x×4y÷8z＝32，x2+4y2+9z2＝45，求2xy﹣3xz﹣6yz的值． 3．规定两数a，b之间的一种新运算※，如果ac＝b，那么a※b＝c． 例如：因为52＝25，所以5※25＝2，因为50＝1，所以5※1＝0． （1）根据上述规定，填空：2※8＝________2※ ＝________．
（2）在运算时，按以上规定：设4※5＝x，4※6＝y，请你说明下面这个等式成立：4※5+4※6＝4※30． 4．
（1）已知m＋4n-3=0，求2m·16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2－2（x2）2n的值． 5．
（1）你发现了吗？
________
，
，由上述计算，我们发；
（2）请你通过计算，判断 与
之间的关系；
（3）我们可以发现： ________ .
（4）利用以上的发现计算： 6．已知 （1）填空：
，
. =________；
=________.
（2）求m与n的数量关系. 7．我们知道,同底数幂的乘法法则为:
规定关于任意正整数m,n的一种新运算:h(m+n)=
（1）若h(1)= ，则h(2)=________. （2）若h(1)=k(k≠0),那么 整数) 8．
（1）已知10m=4，10n=5，求10m+n的值． （2）如果a+3b=4，求3a×27b的值． 9． 算一算，填一填.
________(用含n和k的代数式表示,其中n为正
(其中a≠0,m,n为正整数),类似地，我们
请根据这种新运算填空:
（1）你发现了吗？（ ）2= × ，（ ）2
﹣
= ，由上述计算，我
们发现（ ）2________（ ）2
﹣
（2）仿照（1），请你通过计算，判断 与
之间的关系．
（3）我们可以发现：（ ）（4）计算：（ ）2 ．
﹣
﹣m
________
（ab≠0）．
10．综合题
（1）已知x =
，y = ，求
（n为正整数）的值；
（2）观察下列各式：32-12=8×1，52-32=8×2，72-52=8×3，…，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.
11．综合题。
（1）若10x=3，10y=2，求代数式103x+4y的值． （2）已知：3m+2n﹣6=0，求8m•4n的值． 12．请阅读材料：
①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an ， 如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为
（即
=3）．
②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即
=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为=4）．
（1）计算下列各对数的值：
（即
log24________ ； log216=________ ； log264=________ ．
（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是________ ， 那么log24、log216、log264存在的关系式是________
（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
logaM+logaN=________ （a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）请你运用幂的运算法则am•an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．
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一、幂的运算易错压轴解答题
1．（1）解：∵logx4=2， ∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去)
（2）3 （3）-2017
【解析】【解答】(2)解：∵8=23 ， ∴log28=3, 故答案为3；
解析： （1）解：∵logx4=2， ∴x2=4,
∴x=2或x=-2(舍去) （2）3 （3）-2017
【解析】【解答】(2)解：∵8=23 ， ∴log28=3, 故答案为3；
( 3 )解：(lg2)2+lg2•1g5+1g5﹣2018 = lg2•( lg2+1g5) +1g5﹣2018 = lg2 +1g5﹣2018 =1-2018 =-2017 故答案为-2017.
【分析】(1)根据对数的定义，得出x2=4，求解即可； (2)根据对数的定义求解即；；(3)根据loga(M•N)=logaM+logaN求解即可.
2．（1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc
（2）解： ① ∵ a+b+c＝11， 则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121， a2+b2+c2 =121-2（a
解析： （1）（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc （2）解： ① ∵ a+b+c＝11， 则a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc=121，
a2+b2+c2 =121-2（ab+ac+bc）=121-2×38=45； ② 2x×4y÷8z＝32， 2x+2y-3z=25, ∴x+2y-3z=5，
则x2+4y2+9z2+4xy-6xz-12yz=25, 4xy-6xz-12yz=45-(x2+4y2+9z2)=25-45=-20, ∴ 2xy﹣3xz﹣6yz =-20÷2=-10.
【解析】【解答】解：（1）大正方体面积=（a+b+c）2, 大正方体面积=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc,
故这个等式为：（a+b+c）2=a2+c2+b2+2ab+2ac+2bc；
【分析】（1）正方体面积可以用整体法和分割法求得，得出等式（a+b+c）2=a2+c2+b2 +2ab+2ac+2bc；
（2） ①把a+b+c＝11两边同时平方， 结合 ab+bc+ac＝38， 则可求出 a2+b2+c2的值 ； ②根据同底数幂相乘底数不变指数相加和同底数相除底数不变指数相除，再由已知的等式得到x+2y-3z=5，利用题（1）的等式，将两边同时平方，结合x2+4y2+9z2＝45， 即可得到2xy﹣3xz﹣6yz的值．
3．（1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30，
4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【
解析： （1）3；-4
（2）解：设4※5＝x，4※6＝y，4※30＝z， 则4x＝5，4y＝6，4z＝30， 4x×4y＝4x+y＝30，
∴x+y＝z，即4※5+4※6＝4※30． 【解析】【解答】（1）23＝8，2※8＝3， 24＝ ，2※ ＝﹣4，
﹣
故答案为：3；﹣4
【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算．
4．（1）解：∵m＋4n-3=0，∴m＋4n=3， = = 2m+4n = 23 =8 （2）解：原式= x6n-2x4n = (x2n)3-2(x2n)2 =64﹣2×16=64﹣32=32
解析： （1）解：∵m＋4n-3=0，∴m＋4n=3， （2）解：原式=
=
=
=
= =8
=64﹣2×16=64﹣32=32
【解析】【分析】（1）根据幂的运算法则变形后，代入已知即可得到结论；（2）原式变形后代入计算即可求出值．
5．（1）=
（2）解：计算得 (54)3=12564 ， (45)-3=12564 ∴ (54)3=(45)-3
（3）=
（4）解：利用以上的发现计算： = 【解析】
解析： （1）=
（2）解：计算得 ∴ （3）=
，
（4）解：利用以上的发现计算： =
【解析】【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；（3）根据（1）、（2）的规律即可得；（4）逆用积的乘方将原式变形为
=
，再利用同底数幂进行计算可得
6．（1）16；4
（2）解：∵ am=8 ， an=2 ∴ am=23=(an)3=a3n ∴m=3n
【解析】【解答】解：（1） am+n =am×an=16； =am÷an=4；
解析： （1）16；4 （2）解：∵ ∴ ∴m=3n
【解析】【解答】解：（1）
=am×an=16；
=am÷an=4；
，
【分析】同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。同底数幂的除法，底数不变指数相减。求数量关系只需要化为同底数的幂
7．（1）49 （2）kn+2017
【解析】【解答】（1）∵h(1)= 23 ， ∴h(2)=h(1+1)=h(1)h(1)=23×23=49 （2）∵h(1)=k(k≠0)，h(m+n)=
解析： （1） （2）kn+2017
【解析】【解答】（1）∵h(1)= ， ∴h(2)=h(1+1)=h(1)h(1)=×=
（2）∵h(1)=k(k≠0)，h(m+n)= h ( m ) • h ( n ) ∴h ( n ) • h ( 2017 ) =kn•k2017=kn+2017 故答案为：；kn+2017
【分析】（1）根据新定义运算，先将h(2)转化为h(1+1)，再根据h(m+n)= h ( m ) • h ( n )，即可得出答案。
（2）根据h(1)=k(k≠0),及新定义的运算，将原式变形为kn•k2017 ， 再利用同底数幂的乘法法则计算即可。
8．（1）解：10m+n=10m•10n=5×4=20 （2）解：3a×27b=3a×33b=3a+3b=34=81
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
解析： （1）解：10m+n=10m•10n=5×4=20 （2）解：3a×27b=3a×33b=3a+3b=34=81
【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
9．（1）= （2）解： （3）=
（4）解：（ 715 ）﹣2=（ 157 ）2= 22549
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ 23 ）2=（ 32 ）﹣2；故答案为：=；（3
解析： （1）= （2）解：
（3）=
（4）解：（ ）2=（ ）2=
﹣
﹣
【解析】【解答】解：（1）我们发现（ ）2=（ ）2；故答案为：=；（3）我们可以发现：（ ）
﹣m
=
（ab≠0）．故答案为：=；
【分析】本题为观察总结规律题型，细心运算即可.
10．（1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- 15 ）2n=25［（-5）×（- 15 ）］2n=25
（2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n. 验证：（2n+1)2-（2n
解析： （1）解：原式=（-5）2×（-5）2n×（- ）2n=25［（-5）×（- ）］2n=25 （2）解：规律：（2n+1)2-（2n-1)2=8n.
验证：（2n+1)2-（2n-1)2＝[(2n+1)+（2n-1)] [(2n+1)-（2n-1)] =4n×2=8n
【解析】【分析】（1）将x、y的值代入代数式，得出（-5）2×（-5）2n×（- 1 5 ）2n ， 再利用同底数幂的乘法法则及积的乘方法则计算即可。
（2）根据各个算式可知，左边为两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数，根据此规律，即可得出第n个等式为（2n+1)2-（2n-1)2=8n；再将等式的左边化简即可得证。
11．（1）解：∵10x=3，10y=2， ∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4 =33×24 =432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0， ∴3m+2n=6， ∴8m•4n=23
解析： （1）解：∵10x=3，10y=2， ∴代数式103x+4y=（10x）3×（10y）4 =33×24 =432
（2）解：∵3m+2n﹣6=0， ∴3m+2n=6，
∴8m•4n=23m•22n=23m+2n=26=64
【解析】【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形求出答案．
12．（1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264 （3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=x，logaN=y，
则ax=M，ay=N， ∴MN=ax•ay
解析： （1）2；4；6
（2）4×16=64；log24+log216=log264 （3）loga（MN）
（4）证明：设logaM=x，logaN=y， 则ax=M，ay=N， ∴MN=ax•ay=ax+y ，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）． 【解析】【解答】（1）∵22=4，∴log24=2， ∵24=16，∴log216=4， ∵26=64，∴log264=6；
（2）4×16=64，log24+log216=log264； （3）logaM+logaN=loga（MN）； （4）证明：设logaM=x，logaN=y， 则ax=M，ay=N， ∴MN=ax•ay=ax+y ，
∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）． 【分析】（1）根据对数的定义求解；
（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264； （3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；
（4）首先可设logaM=b1 ， logaN=b2 ， 再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．
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