2018年湖南省湘潭市中考数学试卷
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分） 1．（3.00分）﹣2的相反数是（ ） A．2
B．﹣2 C． D．±2
2．（3.00分）如图所示的几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（3.00分）每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数（BMI）标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为（ ）
A．15 B．150 C．200 D．2000
4．（3.00分）如图，点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）
5．（3.00分）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是（ ）
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A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
6．（3.00分）下列计算正确的是（ ）
A．x2+x3=x5 B．x2•x3=x5 C．（﹣x2）3=x8 D．x6÷x2=x3
7．（3.00分）若b＞0，则一次函数y=﹣x+b的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
8．（3.00分）若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A．m≥1
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9．（3.00分）因式分解：a2﹣2ab+b2= ．
10．（3.00分）我市今年对九年级学生进行了物理、化学实验操作考试，其中物理实验操作考试有4个考题备选，分别记为A，B，C，D，学生从中随机抽取一个考题进行测试，如果每一个考题抽到的机会均等，那么学生小林抽到考题B的概率是 ． 11．（3.00分）分式方程
=1的解为 ．
B．m≤1
C．m＞1
D．m＜1
12．（3.00分）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．
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13．（3.00分）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点，若∠A=30°，则∠AOB= ．
14．（3.00分）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 ．（任意添加一个符合题意的条件即可）
15．（3.00分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 ．
16．（3.00分）阅读材料：若ab=N，则b=logaN，称b为以a为底N的对数，例如23=8，则log28=log223=3．根据材料填空：log39= ．
三、解答题（本题共10题，102分）
17．（6.00分）计算：|﹣5|+（﹣1）2﹣（）﹣1﹣18．（6.00分）先化简，再求值：（1+
）÷
．
．其中x=3．
19．（6.00分）随着航母编队的成立，我国海军日益强大，2018年4月12日，中央军委在南海海域降重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到
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达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：
≈1.414，
≈1.732，结果精确到1海里）．
20．（6.00分）为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
（1）学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；
（2）若学生小明和小刚各计划选修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
21．（6.00分）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，绘制了如图所示的两个不完整的统计图．
（1）求该校的班级总数； （2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均数．
22．（6.00分）如图，在正方形ABCD中，AF=BE，AE与DF相交于点O． （1）求证：△DAF≌△ABE； （2）求∠AOD的度数．
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23．（8.00分）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
24．（8.00分）如图，点M在函数y=（x＞0）的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C． （1）若点M的坐标为（1，3）． ①求B、C两点的坐标； ②求直线BC的解析式； （2）求△BMC的面积．
25．（10.00分）如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连结OM与CM． （1）若半圆的半径为10． ①当∠AOM=60°时，求DM的长； ②当AM=12时，求DM的长．
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（2）探究：在点M运动的过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
26．（10.00分）如图，点P为抛物线y=x2上一动点．
（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
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2018年湖南省湘潭市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共8小题，每题3分，共24分） 1．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）=2． 故选：A． 2．
【解答】解：该几何体的主视图是三角形，
故选：C． 3．
【解答】解：估计全校体重超标学生的人数为2000×故选：B． 4．
【解答】解：点A的坐标（﹣1，2），点A关于y轴的对称点的坐标为：（1，2）． 故选：A．
=150人，
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5．
【解答】解：连接AC、BD．AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，
∵DH=HA，DG=GC， ∴GH∥AC，HG=AC， 同法可得：EF=AC，EF∥AC， ∴GH=EF，GH∥EF，
∴四边形EFGH是平行四边形， 同法可证：GF∥BD， ∴∠OLF=∠AOB=90°， ∵AC∥GH，
∴∠HGL=∠OLF=90°， ∴四边形EFGH是矩形． 故选：B． 6．
【解答】解：A、x2+x3，无法计算，故此选项错误； B、x2•x3=x5，正确；
C、（﹣x2）3=﹣x6，故此选项错误； D、x6÷x2=x4，故此选项错误； 故选：B．
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7．
【解答】解：∵一次函数y=x+b中k=﹣1＜0，b＞0， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限， 故选：C． 8．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根， ∴△=（﹣2）2﹣4m＞0， 解得：m＜1． 故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分） 9．
【解答】解：原式=（a﹣b）2 故答案为：（a﹣b）2 10．
【解答】解：∵物理实验操作考试有4个考题备选，且每一个考题抽到的机会均等，
∴学生小林抽到考题B的概率是：． 故答案是：． 11．
【解答】解：两边都乘以x+4，得：3x=x+4， 解得：x=2，
检验：x=2时，x+4=6≠0， 所以分式方程的解为x=2， 故答案为：x=2．
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12．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°，AB=AC． 又点D是边BC的中点， ∴∠BAD=∠BAC=30°． 故答案是：30°． 13．
【解答】解：∵AB是⊙O的切线， ∴∠OBA=90°，
∴∠AOB=90°﹣∠A=60°， 故答案为：60°． 14．
【解答】解：若∠A+∠ABC=180°，则BC∥AD； 若∠C+∠ADC=180°，则BC∥AD； 若∠CBD=∠ADB，则BC∥AD； 若∠C=∠CDE，则BC∥AD；
故答案为：∠A+∠ABC=180°或∠C+∠ADC=180°或∠CBD=∠ADB或∠C=∠CDE．（答案不唯一） 15．
【解答】解：设AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 故答案为：x2+32=（10﹣x）2．
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16．
【解答】解：∵32=9， ∴log39=log332=2． 故答案为2．
三、解答题（本题共10题，102分） 17．
【解答】解：原式=5+1﹣3﹣2=1． 18．
【解答】解：（1+==x+2．
当x=3时，原式=3+2=5． 19．
【解答】解：在△APC中，∠ACP=90°，∠APC=45°，则AC=PC． ∵AP=400海里，
∴由勾股定理知，AP2=AC2+PC2=2PC2，即4002=2PC2， 故PC=200
海里． ×
）÷
又∵在直角△BPC中，∠PCB=90°，∠BPC=60°， ∴PB=
=2PC=400
≈565.6（海里）．
答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为565.6海里． 20．
【解答】解：（1）画树状图为：
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共有12种等可能的结果数； （2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率= 21．
【解答】解：（1）该校的班级总数=3÷25%=12， 答：该校的班级总数是12；
（2）植树11棵的班级数：12﹣1﹣2﹣3﹣4=2，如图所示：
=．
（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（棵）， 答：该校各班在这一活动中植树的平均数约是12棵数． 22．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB， 在△DAF和△ABE中，∴△DAF≌△ABE（SAS），
，
（2）由（1）知，△DAF≌△ABE， ∴∠ADF=∠BAE，
∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90°，
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∴∠AOD=180°﹣（∠ADF+DAO）=90°． 23．
【解答】解：（1）设温情提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元， 根据题意得，2x+3×3x=550， ∴x=50，
经检验，符合题意， ∴3x=150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个， 根据题意得，意，∴50≤y≤52， ∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）=﹣100y+15000， 当y=52时，所需资金最少，最少是9800元． 24．
【解答】解：（1）①∵点M的坐标为（1，3） 且B、C函数y=（x＞0）的图象上 ∴点C横坐标为1，纵坐标为1 点B纵坐标为3，横坐标为
∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3） ②设直线BC解析式为y=kx+b 把B、C点坐标代入得
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，
解得
∴直线BC解析式为：y=﹣3x+4 （2）设点M坐标为（a，b） ∵点M在函数y=（x＞0）的图象上 ∴ab=3
由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b） ∴BM=a﹣∴S△BMC= 25．
【解答】解：（1）①当∠AOM=60°时， ∵OM=OA，
∴△AMO是等边三角形， ∴∠A=∠MOA=60°， ∴∠MOD=30°，∠D=30°， ∴DM=OM=10
②过点M作MF⊥OA于点F， 设AF=x， ∴OF=10﹣x，
∵AM=12，OA=OM=10，
由勾股定理可知：122﹣x2=102﹣（10﹣x）2 ∴x=∴AF=
， ，
，MC=b﹣
∵MF∥OD，
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∴△AMF∽△ADO， ∴
，
∴∴AD=
，
∴MD=AD﹣AM=（2）当点M位于连接BC， ∵C是
的中点，
之间时，
∴∠B=45°，
∵四边形AMCB是圆内接四边形， 此时∠CMD=∠B=45°， 当点M位于连接BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45° 综上所述，∠CMD=45°
之间时，
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26．
【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）
∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立． 如图一，过点P作PB⊥y轴于点B
设点P坐标为（a，a2） ∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1
∴点F坐标为（0，1） ②由①，PM=PF
QP+PF的最小值为QP+PM的最小值
当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP+PF的最小值为6．
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