三元均值不等式

一、均值不等式。 1、二元均值不等式

R,则： 211ababa2b2设a、b22,当且仅当ab时取等。 ab即：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

2、三元均值不等式

设a、b、cR,则： 33abca2b2c21abc,当且仅当abc时取a1133bc等。

利用最原始的方法先证明：a3b3c33abc，（a、b、cR）。

证明：a3b3c33abcab3c33a2b3ab23abc

abcab2abcc23ababc

abcab2abcc23ab

abca2b2c2abbcca

abc12112ab2bc22ca20

所以:a3b3c33abc

把“a3→ a , b3 → b , c3→ c”得abc33abc即

abc33abc,当且仅当a = b = c时上式取”=”号.

*3、n元均值不等式

设a1、a2、a3、、anR, 调和平均数：Hnn1a1

111a2a3an几何平均数：Gnna1a2a3an 算术平均数：A1a2a3annan

平方平均数：Qa22a221a23annn

则HnGnAnQn，当且仅当a1a2a3an时取等。

二、利用三元均值不等式求最值 设a、b、cR,则：

abc33abc,当且仅当abc时取等。 变形1：(1)abc33abc（a，b,cR）等号成立abc。积为定值时，和有最小值（积定和最小）

3变形2：abcabc3（a，b,cR）等号成立abc。 和为定值时，积有最大值（和定积最大）

注意：一正，二定，三相等

例1、 求函数y2x24xx0的最小值。

:变式1：求函数yx4x12x1的最小值。

例2、 求函数yx212x10x2的最大值。

变式2：求函数yx1232x1x32的最大值。

变式3：求函数yx21x20x1的最大值。

变式4：求函数ysincos202的最大值。

例3、 已知a0,b0，且ab3，求yab2的最大值。

:变式5：已知a0,b0，且ab24，求yab的最小值。

例4、 已知ab0求ya1bab的最小值。

:变式6：已知abc求yac1abacbcb2的最小值。