用十字相乘法解一元二次方程

回顾：1.一元二次方程 的一般形式是： 2.一元二次方程 的根的个数的判断：（1）当 时，方程无解

（2）当 时，方程一解（3）当 时，方程两解 3.根与系数的关系（韦达定理）是：

作用：有根可求系数 4.求根公式：

作用：求根

5..求一元二次方程 的根的方法有： 6.常用求根方法是“十字相乘法”

新课讲解：用“十字相乘法”对某些特殊的多项式因式分解

一、二次项系数是1型：

例1：x2x3x25x6，反过来，就得到二次三项式x25x6的因式分解形式，即x25x6x2x3，其中常数项6分解成2,3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。

写成十字相乘形式是：

一般地，由多项式乘法，xaxbx2abxab，反过来，就得到

x2abxabxaxb

写成十字相乘形式是：

练习一 用“十字相乘法” 把以下多项式分解因式：

1

（1）x2-7x+6=0 （2）x2-5x+6=0

（3） x2+8x+16=0 （4）x29x80

（5）x210x240 （6）x2+(1+3)x+3=0

（7）x22x150 （8）x23x280

二：二次项系数不是1型：

例2：2x13x4=

反过来我们就得到 6 x 2  11 x  4 因式分解的结果： 6x11x42x13x4。

2我们把这个过程用以下划十字的形式来反映：（1）把二次项6x拆成2x3x，分别写在十字交叉的左边上下两角，（2）把常数项4拆成14，写在右边上下两角。上下两数可适当换位，使交叉相乘的和等于一次项！

2 1.因式分解竖式写

2x1 2.交叉相乘验一次项 3.横向写出

3x242x4+3x1=11x∴ 6x11x42x13x4

二、用“十字相乘法”解某些特殊的一元二次方程 例2 解方程：4x31x450

21-9

4

2

5

注意：要先把一元二次方程化为一般形式，且二次项系数要化为正数；常数项太大时要进行因数分解，以确定出应拆解的那两个数是什么。 解： x94x50 x90或4x50

154（-9）-31∴ x9,x512

4.

练习二解下列一元二次方程：

（1）2x27x3=0

（3）9x26x10

（5）2x25x3=0

（7）2x27x60

（9）16x28x3

成功的关键 2）2x27x3=0

(4)4x24x10 6）3a28a4=0

8）3x24x4010）x24x9603

（ （（ （

（11）xx161161 （12）x23x10

三：带字母的

（1） x2(a1)xa0 （2）x2(a1)xa0

(3)x2(m2m)xm30 （4）x2(m2m)xm30

（5）x2xa2a0 (6）x2xa2a0

总结：（1）当二次项系数是正数时，如果常数项是正数，必须拆成同号两个数相乘：一次项系数为正则拆成两个数同为正，一次项系数为负则拆成两个数同为负。

（2）当二次项系数是1时，如果常数项是负数，拆成异号两个数相乘：这两个数绝对值之差的绝对值正好是一次项系数的绝对值。

（3）不是所有二次三项式都能“十字相乘法” 进行因式分解，只是对某些特殊的多项式较为方便。如xx1不能用“十字相乘法” 进行分解。

2

4